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Aldo Brito de Jesus

Identificação das Cônicas

Vitória da Conquista

21 de fevereiro de 2018

Aldo Brito de Jesus

Identificação das Cônicas

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao colegiado do curso de Licenciatura em Ma- temática da Universidade Estadual do Sudo- este da Bahia – UESB / Campus de Vitória da Conquista - BA, para obtenção do título de Licenciada em Matemática sob orientação do Professor Me. Antônio Augusto Oliveira Lima

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – UESB Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas – DCET Curso de Licenciatura em Matemática

Orientador: Prof. Me. Antônio Augusto Oliveira Lima

Vitória da Conquista

21 de fevereiro de 2018

Aldo Brito de Jesus

Identificação das Cônicas

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao colegiado do curso de Licenciatura em Ma- temática da Universidade Estadual do Sudo- este da Bahia – UESB / Campus de Vitória da Conquista - BA, para obtenção do título de Licenciada em Matemática sob orientação do Professor Me. Antônio Augusto Oliveira Lima

Trabalho aprovado. Vitória da Conquista, 21 de fevereiro de 2018:

Prof. Me. Antônio Augusto Oliveira Lima Orientador

Prof(a). Dra. Alexsandra Oliveira Andrade Convidado

Prof(a). Me. Clenia Andrade Oliveira de Melo Convidado

Vitória da Conquista

21 de fevereiro de 2018

Agradecimentos

As palavras aqui escritas provavelmente serão apagadas em algum momento da história, no entanto, a gratidão é um sentimento que está presente dentro de cada ser humano, ou ao menos de alguns. Deste modo, venho por meio de algumas palavras demonstrar meus sinceros agradecimentos a todas aquelas pessoas que de alguma forma contribuiu para a elaboração deste trabalho.

Gostaria de agradecer a Deus por me manter vivo e por ter me dado força e sabedoria para chegar até aqui. Gostaria de agradecer a minha mãe por se fazer presente em todos momentos de decisões difíceis e me apoiar em cada uma delas, com certeza sem ela está caminhada seria muito mais difícil. Agradeço também ao meu pai, meus irmão e a todos os demais familiares, em especial ao meu tio Vivaldino pelo apoio em um momento difícil do curso.

Agradeço ao professor Antônio Augusto Oliveira Lima por ter aceitado ser meu orientador e por servir de motivação e exemplo de professor dedicado e compromissado com a Matemática e com formação de professores. Gostaria de agradecer também a todos os demais professores que fizeram parte da minha formação até o momento e que compartilharam seus conhecimentos comigo. Em especial agradeço a professora Ana Paula Perovano e ao professor Altemar Brito pelo apoio.

Por fim, agradeço a todos os meus colegas da graduação, por de alguma forma ter compartilhado suas experiências comigo. Em especial agradeço a Bianca Nogueira, Ícaro Borges, Jaysa Carvalho, Maritza Camilli e Palane Alves pelo apoio e companheirismo em todos os momentos em que precisei.

Abstract

The present work had as objective to use some concepts of Linear Algebra to identify which type of conic is given by a quadratic equation with two variables. For this, a bibliographical survey was made on the conic sections and on some concepts of Linear Algebra and Analytical Geometry. In the first chapter we deduce the general equation of the conics and the reduced equations of the ellipse, the hyperbola, and the parabola. In the next two chapters we present a small discussion about linear transformations, similar matrices, characteristic polynomials, diagonalization of symmetric real matrices, among other concepts. The fourth and last chapter was devoted to the study of the matrix form of a quadratic equation and reduction of it to one of the reduced equations of the conics.

Keywords : Conical sections. Diagonalization of matrices. Linear transformations.

• Introdução Sumário
• 1 CÔNICAS
• 1.1 Definição e Propriedades
• 1.2 Equação geral das cônicas
• 1.3 Equação reduzida da parábola
• 1.4 Equação reduzida da elipse
• 1.5 Equação reduzida da hipérbole
• 2 TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
• 2.1 Coordenadas
• 2.2 Tranformações Lineares
• 2.3 Matrizes como tranformações lineares
• 2.4 Representação matricial de um operador linear
• 2.5 Mudança de base
• 3 DIAGONALIZAÇÃO: AUTOVALORES E AUTOVETORES
• 3.1 O Polinômio Característico
• 3.2 Matrizes semelhantes
• 3.3 Diagonalização de matrizes reais simétricas
• 4 IDENTIFICAÇÃO DAS CÔNICAS
• 4.1 Forma matricial da equação quadrática
• 4.2 Mudança de coordenadas
• 4.3 Translação de eixos
• 4.4 Identificação
• 5 CONCLUSÃO
  • REFERÊNCIAS

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1 Cônicas

1.1 Definição e Propriedades

Atualmente existem várias maneiras de definir as cônicas, neste trabalho vamos adotar a definição apresentada por Sato (2005) baseada no trabalho do matemático belga Germinal Pierre Dandelin sobre as propriedades focais das cônicas e na descoberta de Pierre de Fermat de que as seções cônicas podem ser expressas por equações do segundo grau nas coordenadas (x, y). Para que a definição faça sentido vamos enunciar algumas proposições referentes as cônicas apresentadas no trabalho intitulado “As cônicas e suas Aplicações” de Sato (2005). Dadas as retas g, l ∈ R^3 de modo que g e l não sejam perpendiculres e g ∩ l = {V }, rotacionando g ao redor do ponto V ∈ R^3 obtemos um cone circular reto de vértice V e eixo l. Toda reta obtida pela rotação de g é chamada de geratriz do cone e o ângulo agudo α formado por g e l é denominado de semi-ângulo do vértice do cone. Seja K o cone obtido na rotação da reta g ao redor do ponto V. Dado um plano π ∈ R^3 , temos duas possibilidade, ou V ∈ π ou V ∈/ π. Em ambos os casos, a interseção do cone K com o plano π determina uma cônica. No caso em que V ∈ π a cônica é degenerada e pode ser uma reta, um par de retas, ou um ponto. No caso em que V ∈/ π a cônica é suave e pode ser uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. Seja β o ângulo formado entre o plano π e o eixo do cone K. Comparando os ângulos α e β, temos três possibilidades: i) α < β, nesse caso a cônica será um ponto ou uma elipse; ii) α = β e nesse caso a cônica será uma parábola ou uma reta; iii) α > β e nesse caso a cônica será uma hipérbole ou um par de retas. A demonstração das proposições abaixo estão baseadas na existência de superfícies esféricas S 1 e S 2 que se inscrevem no cone K, ao longo de circunferências ζ 1 e ζ 2 , e são tangentes ao plano π nos pontos F 1 e F 2. Sejam τ 1 e τ 2 os planos que contem respectivamente as circunferências ζ 1 e ζ 2. Por definição, os pontos F 1 e F 2 são denominados focos da cônica e as retas d 1 e d 2 , determinadas por τ 1 ∩ π e τ 2 ∩ π respectivamente, são as diretrizes da cônica. A excentricidade e de uma cônica é por definição o quociente e = (^) cosαcosβ. Com exceção da circunferência (elipse de excentricidade 0), toda cônica suave tem pelo menos uma reta diretriz e um foco. As propriedades apresentadas abaixo relacionam

Capítulo 1. Cônicas 10

Figura 1 – Elipse Figura 2 – Parábola Figura 3 – Hipérbole

a excentricidade, a reta diretriz e o foco de uma cônica suave. Vamos apresentar uma demonstração da primeira proposição, o leitor interessado pode encontrar as demais demonstrações em Sato (2005).

Proposição 1.1.1 Se μ é uma cônica suave distinta de uma circunferência com excentri- cidade e , diretriz d , e foco associado F , então

dist(P, F ) = e · dist(P, d) , para todo ponto P ∈ μ.

Demonstração 1.1.1 Seja τ o plano contendo ζ = S ∩ K , onde S é a superfície esférica inscrita no cone K de vértice V , e seja P um ponto arbitrário em μ.

Note que os pontos V e P determinam uma geratriz g do cone K que intercepta ζ no ponto R_. Passando pelo ponto_ P trace uma reta s perpendicular ao plano τ e uma reta t

Capítulo 1. Cônicas 12

Em um sistema de coordenadas cartesianas, temos que um ponto P (x, y) pertence a uma cônica se, e somente se,

dist(P, F ) dist(P, d) =

√ (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 | ax √+ by + c | a^2 + b^2

= e. (1.1)

Onde F (x 0 , y 0 ) é o foco, d : ax + by + c = 0 é a diretriz e e é uma constante não negativa. Fazendo k^2 = (^) a 2 e +^2 b 2 , temos

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 = k^2 [|ax + by + c|]^2 = (kax + kby + kc)^2.

Fazendo a substituição l = ka, m = kb e n = kc obtemos a equação focal das cônicas

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 − (lx + my + n)^2 = 0,

onde x 0 e y 0 são as coordenadas do foco e lx + mx + n = 0 é a equação da reta diretriz. Observe que

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 − (lx + my + n)^2 = 0 ⇔ (1 − l^2 )x^2 + (− 2 lm)xy + (1 − m^2 )y^2 + [−2(x 0 + ln)]x + [−2(y 0 + mn)]y + (x 02 + y 02 − n^2 ) = 0.

Fazendo A = 1 − l^2 , B = −lm, C = 1 − m^2 , D = −2(x 0 + ln), E = −2(y 0 + mn) e F = x 02 + y 02 − n^2 = 0, obtemos a equação do segundo grau

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. (1.2)

A equação 1.2 é denominada equação cartesiana geral das cônicas. Variando os valores das constantes A, B, C, D, E e F podemos obter pontos, retas, circunferências, parábolas, elipses e hipérboles.

Proposição 1.2.1 Seja μ uma cônica suave dada pela equação Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0_. A diretriz_ d da cônica μ é paralela a um dos eixos x ou y sempre que tivermos B = 0_._

Demonstração 1.2.1 Note que B = −lm e d : lx + my + n = 0_. Como_ m, l ∈ R , temos que B = 0 se, e somente se, m = 0 ou l = 0_. Sendo assim, temos três possibilidades:_

i) m = 0 e l 6 = 0 ⇒ d : lx + n = 0 ⇔ d : x = − ln. ii) m 6 = 0 e l = 0 ⇒ d : my + n = 0 ⇔ d : y = − mn. iii) m = 0 e l = 0 , neste caso a cônica é uma circunferência. Em qualquer um dos casos a diretriz d é paralela a um dos eixos.

Capítulo 1. Cônicas 13

No capítulo 4 veremos que usando alguns conceitos da Álgebra Linear, toda cônica pode ser reduzida a uma equação com B = 0.

Dada uma cônica μ no plano, podemos escolher um sistema de eixos x′, y′^ ortogonais, de modo que o eixo x′^ passe pelo foco F e o eixo y′^ coincida com a diretriz d. Seja O′^ a origem desse sistema de coordenadas. Fazendo O′F = 2p, segue da definição 1.2.1 que um ponto P com coordenadas (x′, y′) pertence à cônica μ de diretriz d, foco F e excentricidade e se, e somente se,

[ dist(P, F ) dist(P, F )

] 2

 

√ (x′^ − 2 p)^2 + (y′^ − 0)^2 |x′|

 

2 = e^2. (1.3)

Simplificando a equação 1.3 obtemos a equação das cônicas em função dos parâmetros p e e: (1 − e^2 )x′^2 − 4 px′^ + y′^2 = − 4 p^2. (1.4)

Vamos usar a equação 1.4 para obter equações particulares para a elipse, a hipérbole e a parábola.

1.3 Equação reduzida da parábola

Por definição, uma cônica é uma parábola se, e somente se, e = 1. Sendo asssim, a equação 1.4 reduz-se a:

− 4 px′^ + y′^2 = − 4 p^2 ⇔ y′^2 = 4p(x′^ − p). (1.5)

Seja O o ponto de coordenadas (p, 0), podemos realizar uma translação de eixos coordenados de modo que O seja a origem de um novo sistema de coordenadas xy, onde as coordendas estão relacionados da seguinte maneira:

x′^ = x + p,

y′^ = y.

No novo sistema de coordenadas (x, y) obtemos a equação

y^2 = 4px, (1.6)

denominada equação reduzida da parábola.

1.4 Equação reduzida da elipse

Segue da definição 1.2.1, que a excentricidade e da elipse satisfaz a condição 0 < e < 1. Sendo assim, (1 − e^2 ) > 0 , de modo que podemos dividir a equação 1.4 por

Capítulo 1. Cônicas 15

Note que no caso da hipérbole, temos 1 − e^2 = −| 1 − e^2 | = −(

1 − e^2 )^2. Sendo assim, a equação 1.13 pode ser escrita como ( x′^ − (^) (1−^2 pe (^2) )

) 2 [ (^2) pe 1 − e^2

] 2 −

y′^2 [ (^2) pe √ 1 − e 2

] 2 = 1. (1.14)

Seja O o ponto de coordenadas ( (^1) −^2 pe 2 , 0), podemos realizar uma translação de eixos coordenados de modo que O seja a origem de um novo sistema de coordenadas xy, onde as coordendas estão relacionados da seguinte maneira:

x′^ = x + (^1) −^2 p e 2 ,

y′^ = y. Aplicando a translação e fazendo as substituições a = (^12) − pee 2 e b = √^21 pe − e 2 , obtemos a equação reduzida da hipérbole com focos sobre o eixo x

x^2 a^2 − y

2 b^2

Observe que 0 < 1 − e^2 < 1 , logo 1 − e^2 <

1 − e^2 e, portanto a = (^12) − pee 2 > √^21 pe − e 2 = b.

Observação 1.5.1 Caso tivéssemos escolhido o eixo y′^ passando pelo foco F e o eixo x′ coincidindo com a diretriz d , as equações reduzidas da parábola, da elipse e da hipérbole seriam respectivamente,

x^2 = 4py, x

2 b^2 +^

y^2 a^2 = 1,^

y^2 a^2 −^

x^2 b^2 = 1.^ (1.16)

16

2 Transformações Lineares e Matrizes

O objetivo deste capítulo é revisar alguns conceitos da Álgebra Linear que serão utilizados no capítulo 4 para realizar uma mudança de variável na equação 1.2, de modo que o coeficiente B seja nulo. O leitor que tiver domínio em relação ao conteúdo de Transformações Lineares pode descartar este capítulo e passar para o próximo.

2.1 Coordenadas

Seja V um espaço vetorial n-dimensional sobre um corpo K com base S = {u 1 , u 2 , ..., u n }. Então qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito, de modo único, como uma combinação linear dos vetores da base S, digamos,

v = a 1 u 1 + a 2 u 2 + ... + a n u n.

Dizemos que os n escalares a 1 , a 2 , ..., a n são as coordenadas de v em relação à base S; essas coordenadas formam um vetor [a 1 , a 2 , ..., a n ] de K n^ denominado vetor de coordenadas de v em relação a base S. Esse vetor é denotado por [v] S ou simplesmente, [v].

Exemplo 2.1.1 Considere o espaço real R^2_. Dadas as bases_ S 1 = {u 1 , u 2 } = {(− 1 , 0), (0, 1)} e S 2 = {e 1 , e 2 } = {(1, 0), (0, 1)} e o vetor v = (2, 2)∈ R^2_. Temos,_ [v] S 1 = [2, 0] e [v] S 2 = [2, 2].

Observação 2.1.1 Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K e S = {u 1 , u 2 , ..., u n } uma base de v_. Então a cada vetor_ v ∈ V corresponde uma única ênupla [v] S de K_. Por outro lado, a cada ênupla_ [c 1 , c 2 , ..., c n ] de K n^ corresponde um único vetor c 1 u 1 + c 2 u 2 + ... + c n u n de V_. Segue que a base_ S determina uma aplicação bijetora. Além disso, existe um isormorfismo entre V e K n.

2.2 Tranformações Lineares

Definição 2.2.1 Sejam V , U espaços vetorias sobre um corpo K_. Uma transformação linear_ F : V −→ U é uma correspondência que associa a cada vetor v ∈ V um único vetor F (v) ∈ U de modo que valham, para quais quer v, w ∈ V e k ∈ K , as relaçõs: (1) F (v + u) = F (v) + F (u). (2) F (kv) = kF (v).

Capítulo 2. Transformações Lineares e Matrizes 18

F A (v + w) = A(v + w) = Av + Aw = F A (v) + F A (w). F A (kv) = A(kv) = k(Av) = kF A (v).

Observação 2.3.1 Segue das definições de espaço solução de um sistema homogêneo e de espaço coluna de uma matriz que: Im F A = col (A) e N uc F A = nul (A). Onde, col (A) denota o espaço coluna de A e nul (A) denota o espaço nulo de A_._

Exemplo 2.3.1 (Rotação de um ângulo θ em torno da origem em R^2 ) Uma aplicação matricial importante é dada pela matriz   cos θ^ −sen θ sen θ cos θ

 .

Trata-se de um operador R : R^2 −→ R^2 , que leva cada vetor v ∈ R^2 no vetor R(v) ∈ R^2 resultado da rotação de v em torno da origem dada por um ângulo θ. No capítulo 4 veremos um pouco melhor sobre tal rotação. É claro que N uc R = {(0, 0)} e Im R = R^2_._

2.4 Representação matricial de um operador linear

Seja T um operador linear de um espaço vetorial V e suponha que S = {u 1 , u 2 , ..., u n } seja uma base de V. Os vetores T (u 1 ), T (u 2 ), ..., T (u n ) de V podem ser escrito com uma combinação dos vetores da base S, digamos T (u 1 ) = a 11 u 1 + a 21 u 2 + ... + a n 1 u n T (u 2 ) = a 12 u 1 + a 22 u 2 + ... + a n 2 u n ....................................................... T (u n ) = a 1 n u 1 + a 2 n u 2 + ... + a nn u n.

Definição 2.4.1 A transposta da matriz de coeficientes [a ij ] , denotada por [T ] S , é deno- minada representação matricial de T em relação à base S ou, simplesmente, matriz de T na base S_. As colunas de_ [T ] S são, respectivamente, os vetores de coordenadas de T (u 1 ), T (u 2 ), ..., T (u n ).

[T ] S =

    

a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ...... ... a n 1 a n 2 · · · a nn

    

Exemplo 2.4.1 Seja F : R^2 −→ R^2 o operador linear definido por F (x, y) = (2x + 3 y, 4 x − 5 y). Dada a base S = {u 1 , u 2 } = {(1, 2), (2, 5)} , temos que

Capítulo 2. Transformações Lineares e Matrizes 19

F (u 1 ) = (8, −6) = 52u 1 + (−22)u 2_._ F (u 2 ) = (19, −17) = 129u 1 + (−55)u 2_._

[F ] S =

  52 129 − 22 − 55

  (^).

Teorema 2.4.1 Sejam T : V −→ V um operador linear e S uma base finita de V_. Então, para qualquer vetor_ v ∈ V , temos [T ] S [v] S = [T (v)] S.

Demonstração 2.4.1 Seja S = {u 1 , u 2 , · · · , u n } uma base finita de V_. Fazendo_ i = 1, 2 , · · · , n , temos que

T (u i ) = a i 1 u 1 + a i 2 u 2 + ... + a in u n = ∑ nj =1 a ij u j. Segue que [T ] S é uma matriz quadrada de ordem n cuja j -ésima linha é

(a 1 j , a 2 j , · · · , a nj ). Supondo que

v = k 1 u 1 + k 2 u 2 + · · · + k n u n = ∑ ni =1 k i u i, temos [v] S = [k 1 , k 2 , · · · , k n ] T^. Pela linearidade do operador T , segue que

T (v) = T (∑ ni =1 k i u i ) = ∑ ni =1 k i T (u i ) = ∑ ni =1 k i (∑ nj =1 a ij u j ) = ∑ ni =1(∑ nj =1 a ij k i )u j = ∑ n j =1(a^1 j^ k^1 +^ a^2 j^ k^2 +^ · · ·^ +^ a nj^ k n )u j^. Assim, [T (v)] S é o vetor coluna cuja j -ésima entrada é

a 1 j k 1 + a 2 j k 2 + · · · + a nj k n. Agora note que

(a 1 j , a 2 j , · · · , a nj ) · (k 1 , k 2 , · · · , k n ) = a 1 j k 1 + a 2 j k 2 + · · · + a nj k n. Logo a j -ésima entrada de [T ] S [v] S é igual a j -ésima entrada de [T ] S. Concluímos então que [T ] S [v] S = [T (v)] S.

Exemplo 2.4.2 Considere o operador linear F : R^2 −→ R^2 e a base S a seguir F (x, y) = (2x + 3y, 4 x − 5 y) e S = {u 1 , u 2 } = {(1, 2), (2, 5)}. Dado v = (5, −7) , temos F (v) = (− 11 , 55) , [v] S = [11, −3] e [T (v)] S = [55, −33]. Aplicando a matriz [F ] S no vetor de coordenadas [v] s, temos

[F ] S [v] S =

  8 11 − 6 − 11

 

  11 − 3

  (^) =

  55 − 33

  (^) = [F (v)] S. (2.1)