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Os conceitos de álgebra de grassmann, também conhecida como álgebra exterior, e álgebras de leibniz, suas propriedades e relações. A álgebra de grassmann é uma álgebra associativa com unidade gerada por {ei : i ∈ n∗}, satisfazendo determinada relação para todo i, j ∈ n∗. Já as álgebras de leibniz são definidas por meio de identidades e podem ser livremente geradas por um conjunto. O documento também aborda a álgebra livre de leibniz e a substituição de y por α−1y na base.
Tipologia: Slides
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Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT Dissertação de Mestrado
Identidades Polinomiais para as Álgebras de Leibniz de Dimensão Menor ou Igual a 3
Salvador-Bahia Outubro de 2017
Melo Junior, Alberoni Ferreira de, 1985 Identidades Polinomiais para as Álgebras de Leibniz de Dimensão Me- nor ou Igual a 3 / Alberoni Ferreira de Melo Junior. – Salvador: UFBA,
77 f.
Orientadora: Profa. Dra. Manuela da Silva Souza. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática e Estatística, Programa de Pós-graduação em Matemática,
PI-Álgebras. 2. Leibniz, Álgebra de. I. Souza, Manuela da Silva. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática e Estatís- tica. III. Título.
CDU : 512.
Deus sabe como foi difícil para mim! Nos últimos meses eu estava “já cansado, mas ainda perseguindo” (Juízes 8:4). Sinto, porém, gratidão e paz pela consciência do dever cumprido, segundo a Sua vontade. Por isso a Ele toda honra e glória! Agradeço à minha mãe pela dedicação e pela paciência. À minha namorada pelo apoio e pela companhia nas horas difíceis. Agradeço também aos parentes, amigos e colegas pelo incentivo e pela ajuda. Agradeço à professora Manuela, que me aceitou já na metade do curso e pacien- temente me orientou. Aos demais professores e equipe de funcionários da Pós-Graduação também dedico meu “muito obrigado”. Agradeço à banca examinadora pela disponibilidade, presença e contribuição. E finalmente agradeço à FAPESB e à CAPES pelo apoio financeiro concedido a mim durante todo o meu mestrado.
“Mas esforçai-vos, e não desfaleçam as vos- sas mãos; porque a vossa obra tem uma re- compensa.”
II Crônicas 15:
Let L be an algebra over a field. Suppose that such algebra satisfies, for all x, y, z in L, the Leibniz identity (xy)z = (xz)y + x(yz).
This algebra, called Leibniz algebra, is a generalization of Lie algebras. In this work, is given the classification, up to isomorphism, of Leibniz algebras of dimension less than or equal to 3 over the field of Complex Numbers. We show the bases of the identities of some of these algebras. This is new in the literature.
Keywords: Polynomial Identities, Leibniz Algebras, T-ideals.
facilmente se reduz à identidade de Jacobi. Desde então, pesquisadores buscaram estender conhecidos resultados em álgebras de Lie para o caso das álgebras de Leibniz, como o Teorema de Lie e o Teorema de Levi. Este último estabelece que toda álgebra de Leibniz é a soma direta de um ideal solúvel e uma álgebra de Lie semissimples. A principal motivação para o estudo dessas álgebras é a existência de uma teoria de (co)homologia que, restritas às álgebras de Lie, fornece novos invariantes. Além disso, elas pareciam estar relacionadas de forma natural a vários tópicos tais como Geometria Diferencial, Topologia Algébrica Clássica, Geometria não comutativa, dentre outros. Uma das vertentes fundamentais a que devemos dedicar atenção a fim de obtermos maior entendimento de um membro desta classe de álgebras é a sua classificação, a menos de isomorfismo. Este problema torna-se, no entanto, muito difícil à medida que a dimensão da álgebra aumenta. Alguns resultados foram publicados para dimensões baixas e neste presente trabalho, no Capítulo 2, analisamos o artigo de Rikhsiboev e Rakhimov [13], que trata da classificação das álgebras de Leibniz tridimensionais no corpo dos Números Complexos. Outro problema difícil na busca pelo entendimento da estrutura de uma álgebra é o de descrever as identidades polinomiais desta. Como o conjunto T (L) de todas as identidades, chamado de T -ideal da álgebra L, é um ideal invariante por endomorfismos da álgebra livre F{X}, devemos encontrar um conjunto gerador, como T -ideal para T (L). Tal conjunto é chamado base das identidades de L. A investigação do T -ideal depende da característica do corpo. No Capítulo 1, veremos alguns conceitos preliminares, tais como a construção da álgebra livre F{X} na classe mais ampla possível: a classe de todas as álgebras. Mais adiante, construímos a álgebra livre de Leibniz D(X), onde moram os polinômios cujas identidades formam os T -ideais das álgebras de Leibniz bidimensionais e de dimensão 3, objetos da investigação que faremos no terceiro capítulo. Veremos também a importância do processo de multilinearização dos polinômios para esta investigação, que no nosso caso (char(C) = 0) pode ser reduzida à investigação das identidades polinomiais multilineares. A vantagem disto é verificar apenas se os polinômios se anulam nos elementos de uma base da álgebra. No Capítulo 2, classificamos as álgebras de Leibniz Complexas de dimensão menor ou igual a 3. Separamos entre as álgebras de Lie e as álgebras não Lie, uma vez que a classificação das álgebras de Lie é mais conhecida. A classificação das álgebras de Leibniz não Lie tridimensionais se baseia, como já dito, no artigo de Rikhsiboev e Rakhimov. No Capítulo 3, encontramos todas as bases das identidades das álgebras de Leibniz bidimensionais. Encontramos ainda alguns T -ideais das álgebras de Leibniz não Lie de dimensão 3. Destacamos que tais identidades polinomiais moram na álgebra livre de Leibniz D(X) e que este resultado é novo na literatura.
Neste capítulo são apresentados os conceitos e resultados básicos para o nosso estudo. Apresentamos o nosso ambiente: as álgebras. Mais precisamente, as PI-álgebras.
Considere F um corpo qualquer.
Definição 1.1. Um espaço vetorial A é chamado álgebra (ou F-álgebra) se A é munido com uma operação ∗, isto é, uma aplicação ∗ : (A, A) → A, chamada multiplicação (ou produto), tal que para todo a, b, c ∈ A e todo α ∈ F:
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c, a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c, α(a ∗ b) = (αa) ∗ b = a ∗ (αb).
Escreveremos ao longo deste trabalho ab em vez de a∗b. Note que as propriedades acima equivalem a dizer que a multiplicação é uma operação bilinear. Veja também que a noção de álgebra é uma classe mais ampla que a noção de espaço vetorial e de anel. Um subconjunto {ei : i ∈ I} é dito uma base da álgebra A se for base de A como espaço vetorial. Definimos então a dimensão da álgebra A como sendo a dimensão do espaço vetorial A. É importante observar que, fixada uma álgebra A, um produto em A é unicamente determinado pelos produtos entre os elementos de uma base de A via extensão linear. Uma álgebra A é dita: (i) associativa, se (ab)c = a(bc) para todo a, b, c ∈ A; (ii) comutativa, se ab = ba para todo a, b ∈ A; (iii) com unidade, se existe 1 ∈ A tal que 1 a = a1 = a para todo a ∈ A. 3
é denominado endomorfismo. Segue como exemplo de ideal o núcleo do homomorfismo de álgebra, o mesmo núcleo como homomorfismo de anéis.
Definição 1.7. Seja A uma álgebra e I um ideal de A. Consideremos o espaço vetorial quociente A/I = {a + I : a ∈ A}, sendo a + I = {a + x : x ∈ I}. Para cada a ∈ A, denotemos o elemento a + I por ¯a. As operações de soma e produto por escalar são definidas por ¯a + ¯b = a + b e λ¯a = λa
para a, b ∈ A e λ ∈ F. O produto é dado por ¯a · ¯b = ab, que está bem definido e é bilinear. Portanto A/I, munido deste produto, é uma álgebra chamada de álgebra quociente de A por I.
Ressaltamos que os teoremas de isomorfismo de grupos e anéis também são válidos para álgebras.
Definição 1.8. Dizemos que R é a subálgebra gerada por um de seus subconjuntos, diga- mos S = {si}i∈I , se todo elemento r ∈ R pode ser escrito como combinação linear sobre F de produtos da forma si 1 · · · sit , onde sij ∈ S. Neste caso denotaremos R = 〈S〉.
Exemplo 1.9. Seja V um espaço vetorial de dimensão infinita enumerável, com base denotada por {e 1 , e 2 , e 3 ,... }. Definimos álgebra de Grassmann E(V ) de V (ou ál- gebra exterior) como sendo a álgebra associativa com unidade gerada por {ei : i ∈ N∗}, satisfazendo a seguinte relação para todo i, j ∈ N∗^ :
e^2 i = 0 e eiej = −ej ei.
Sua base como espaço vetorial é
{ei 1 ei 2 · · · eik : i 1 < i 2 < · · · < ik, k ≥ 1 } ∪ { 1 }
e além disso, se char(F) = 2, então a álgebra de Grassmann é comutativa. Decorre de eiej = −ej ei que
(ei 1 · · · eim )(ej 1 · · · ejk ) = (−1)mk(ej 1 · · · ejk )(ei 1 · · · eim ) (1.1)
para quaisquer m, k ∈ N.
Podemos escrever E(V ) como soma direta dos subespaços vetoriais E(V )(0)^ e E(V )(1), gerados pelos conjuntos
{ 1 , ei 1 ei 2 · · · eim : m par} e {ei 1 ei 2 · · · eim : m ímpar},
respectivamente. Portanto, da igualdade (1.1), podemos concluir que ax = xa para quaisquer a ∈ E(V )(0)^ e x ∈ E(V ), isto é, Z(E(V )) = E(V )(0).
A teoria na classe das álgebras associativas é largamente conhecida. Mas nosso presente estudo se dá na classe das álgebras não associativas. Como exemplo desta última classe temos:
Exemplo 1.10. Considere um espaço vetorial A sobre F, com char(F) 6 = 2, e uma base {v 1 ,... , vn}. Considere ainda a multiplicação em A definida por vivj = 12 (vi + vj ). Temos que A munido desta multiplicação é uma álgebra mas não é associativa, pois (v 1 v 2 )v 3 6 = v 1 (v 2 v 3 ), por exemplo.
Outro exemplo de uma classe de álgebras (em geral) não associativas é o seguinte:
Definição 1.11. Dizemos que uma álgebra A é uma álgebra de Lie se, para cada a, b, c ∈ A, vale:
(i) aa = 0, (propriedade anticomutativa); (ii) (ab)c + (bc)a + (ca)b = 0, (identidade de Jacobi).
De fato, as álgebras de Lie não são em geral associativas, pois apesar de (xx)y = 0, o produto x(xy) não precisa ser nulo. Observe que (i) implica em ab = −ba para todos a, b em A, visto que
0 = (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = ab + ba.
Se char(F) 6 = 2, então (i) é equivalente a ab = −ba, para quaisquer a, b ∈ A.
Exemplo 1.12. O espaço vetorial R^3 com o produto vetorial usual × é uma álgebra de Lie.
Exemplo 1.13. O espaço vetorial das matrizes Mn(F) é uma álgebra de Lie com o produto dado pelo comutador [x, y] = xy − yx, em que xy denota o produto usual de x por y. Em sentido mais amplo, se A é uma álgebra associativa, então A como espaço vetorial é uma álgebra de Lie com o produto dado pelo comutador [·, ·], denotada por A(−).
Exemplo 1.14. O conjunto sln(F) das matrizes n × n com traço zero e com o produto dado pelo comutador é uma subálgebra de Lie de Mn(F)(−).
Uma das generalizações da álgebra de Lie foi redescoberta por Loday [11] na década de 1990, e nela está fundamentada o presente trabalho. Ela é definida da seguinte forma:
Definição 1.15. Uma álgebra L sobre um corpo F é chamada de álgebra de Leibniz se satisfaz a seguinte identidade, chamada de identidade de Leibniz:
(xy)z = (xz)y + x(yz), ∀x, y, z ∈ L. (1.2)
Exemplo 1.18. Seja A uma F-álgebra associativa e T um operador F-linear T : A → A tal que T 2 = T. Defina a multiplicação por:
a ∗ b := (T b)a − a(T b), ∀a, b ∈ A.
Então A é uma álgebra de Leibniz. Precisamos ver que A satisfaz a identidade de Leibniz. Com efeito, dados a, b, c ∈ A, segue que
(a ∗ b) ∗ c = ((T b)a − a(T b)) ∗ c = (T c)((T b)a) − (T c)(a(T b)) − ((T b)a)(T c) + (a(T b))(T c).
Por outro lado, temos
(a ∗ c) ∗ b + a ∗ (b ∗ c) = ((T c)a − a(T c)) ∗ b + a ∗ ((T c)b − b(T c)) = (T b)((T c)a − a(T c)) − ((T c)a − a(T c))(T b) +(T ((T c)b − b(T c)))a − a(T ((T c)b − b(T c))) = (T b)((T c)a) − (T b)(a(T c)) − ((T c)a)(T b) + (a(T c))(T b) +((T c)(T b))a − ((T b)(T c))a − a((T c)(T b)) + a((T b)(T c)).
Como A é associativa, ficamos com
(a ∗ c) ∗ b + a ∗ (b ∗ c) = −(T b)(a(T c)) − ((T c)a)(T b) + ((T c)(T b))a + a((T b)(T c)).
e a igualdade (a ∗ b) ∗ c = (a ∗ c) ∗ b + a ∗ (b ∗ c) segue.
Observe no exemplo acima que A é uma álgebra de Lie se, e somente se, T é o operador identidade.
Definição 1.19. Define-se, por indução, os seguintes subespaços da álgebra de Leibniz L:
L(0)^ = L L′^ = LL ...
L(k)^ = L(k−1)L(k−1).
Esses subespaços são ideais de L. Para ver isso basta notar que se I e J são ideais de L, então IJ também é ideal. Assim, L′^ = LL é um ideal, bem como L′′^ = L′L′, etc. Essa sequência de ideais é conhecida por série derivada de L.
Definição 1.20. Uma álgebra de Leibniz é solúvel se alguma de suas álgebras derivadas
se anula, isto é, L(k^0 )^ = { 0 } para algum k 0 ≥ 1 (e, portanto, L(k)^ = { 0 } para todo k ≥ k 0 ) e L(k^0 −1)^6 = { 0 }. Este k 0 é chamado de índice de solubilidade de L.
Exemplo 1.21. As álgebras de Lie abelianas, isto é, álgebras cujo produto de dois quais- quer elementos é sempre nulo, são solúveis, pois essa classe de álgebras é definida por A′^ = 0.
1.2 Álgebras Livres
Nesta seção iremos construir uma álgebra livre na classe de álgebras mais ampla possível: a classe de todas as álgebras. Veremos que, a menos de isomorfismo, esta álgebra livre é única, fixada a cardinalidade do conjunto X que a gera. Vale ressaltar que esta álgebra livre não é associativa. Seja X = {x 1 , x 2 , x 3 ,... } um conjunto infinito enumerável, onde xi é chamado de variável. A este conjunto acrescentemos mais dois símbolos, parênteses à esquerda e à direita, para obtermos X∗^ = X ∪ {(, )}. Duas sequências a 1 a 2... am e b 1 b 2... bn, onde ai, bj ∈ X∗, são iguais se m = n e ai = bi para i = 1,... , m. Definimos indutivamente um conjunto V [X] de sequências de elementos do conjunto X∗^ que chamaremos de palavras não associativas de elementos do conjunto X. Todos os elementos de X pertencem a V [X]. Se x 1 , x 2 ∈ X e u, v ∈ V [X] \ X, então as únicas sequências pertencentes a V [X] são x 1 x 2 , x 1 (u), (v)x 2 e (u)(v). O número de elementos do conjunto X que aparecem numa palavra v é chamada comprimento da palavra não associativa v, e denotaremos por δ(v).
Proposição 1.22. Seja v uma palavra não associativa de elementos de X. Então: (i) o número de símbolos “(” em v é igual ao número de símbolos “)”; (ii) em qualquer subsequência inicial da palavra v, o número de símbolos “(” não é menor que o número de símbolos “)”.
Demonstração: (i) Observando as únicas sequências possíveis, se δ(v) = 1 ou δ(v) = 2, não há símbolos “(” nem “)”. Se δ(v) = 3, então temos v = x 1 (u) ou v = (u)x 2 , em que u é uma sequência com duas letras, sem parênteses. Caso δ(v) = 4, vemos que v = x 1 (u) ou v = (u)x 2 , onde δ(u) = 3. Neste caso, u = x 3 (w) ou u = (w)x 4 , e w é uma sequência com duas letras, sem parênteses. Portanto,
v = x 1 (x 3 (w)) ou v = x 1 ((w)x 4 ) ou v = (x 3 (w))x 2 ou v = ((w)x 4 )x 2.
Podemos ter também v = (u)(w), onde δ(u) = δ(w) = 2. O resultado segue por indução sobre o comprimento da palavra v. (ii) Note que palavras de comprimento 1 e 2 não têm parênteses. No caso da palavra w tal que δ(w) = 3 temos, como possíveis sequências, w = x 1 (u) ou (u)x 2 , cujas subsequências iniciais começam com “(” (ou não têm parênteses). Como δ(u) = 2,
