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Tudo sobre equações algébricas
Tipologia: Esquemas
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Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado em Matemática Profissional em Rede Nacional da Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA) como requisito para a obtenção do grau de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Ensino de Matemática Orientador: Prof. Dr. Antonio Gomes Nunes
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado em Matemática Profissional em Rede Nacional da Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA) como requisito para a obtenção do grau de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Ensino de Matemática
Aprovada em:
Prof. Dr. Antonio Gomes Nunes (Orientador) Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA)
Prof. Dr. Walter Martins Rodrigues - UFERSA Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA)
Profª. Drª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA)
À minha família, por sua capacidade de acreditar e investir em mim. Mãe, seu cuidado e dedicação foi que deram, em alguns momentos, a esperança para seguir. Pai, em minha memória ficaram somente boas lembranças. A todos que passaram pela minha vida e que hoje não estão conosco.
Agradeço a Deus pela vida e por tudo que podemos aprender com ela. À minha mãe, Maria José de Souza, que sempre me incentivou e acreditou que conseguiria obter exito em minha vida por meio de meus esforços, sempre trabalhando com respeito e ética. Minha mãe foi uma grande mestre para mim, apesar de apenas saber escrever o seu nome, ensinou-me coisas que remetem aos mais altos níveis de sabedoria, ética, filosofia e educação. À minha família, em especial, à minha irmã Patricia Regina de Souza, aos meus sobrinhos, dando um destaque à mais nova sobrinha, Ana Sofia. Ao Prof. Dr. Antonio Gomes Nunes pelo acompanhamento e dedicação no decurso deste trabalho. Ao Doutorando em Engenharia Elétrica, Ednardo Moreira Rodrigues, e seu assistente, Alan Batista de Oliveira, aluno de graduação em Engenharia Elétrica, pela adequação do template utilizado neste trabalho. Agradeço a todos os professores do Programa de Mestrado em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) da UFERSA pela dedicação, flexibilidade e empatia demonstrada em várias situações, sempre compreendendo as dificuldades enfrentadas por todos os discentes. À Coordenadoria de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro por meio bolsa de estudos.
“Vivir es lo más peligroso que tiene la vida” (Alejandro Sanz)
The main objective of this work is to show the viability of applying the study of Linear Diophan- tine Equations in High School classes. For that, it is necessary some knowledge of Theory of Numbers that can be introduced based on Elementary School contents, such as Greatest Common Divisor, Euclid’s algorithm, divisibility and division algorithm. Some others will be introduced, such as the congruence study, which is related to the remains of the Euclidean division. In the first chapters, a basis on Elementary Theory of Numbers will be presented, as they are essential in the resolution of Linear Diophantine Equations. Emphasis will be placed on solving linear Diophantine equations in some everyday problems, however, it is essential to present elementary methods for solving some types of non-linear Diophantine equations, such as factorization and the use of inequalities. The purpose is to show that the introduction to problem solving by means of Linear Diophantine Equations in two unknowns does not require advanced knowledge, allowing it to be done in High School.
Keywords: Linear Diophantine Equations. Greatest Common Divisor. Congruences. Number’s Theory. High school
Figura 1 – Imagem da capa do livro VI da obra Aritmética de Diofanto. Tradução latina (1670) da obra Aritmética de Diofanto feita por de Méziriac......... 17 Figura 2 – Tábua da representação do sistema de numeração maia, sistema de base vigesimal. Fonte: (EVES, 2004)........................ 29 Figura 3 – Gráfico da solução da equação x^2 − 2 y^2 = 1.................. 52 Figura 4 – Gráfico da solução da equação 20x + 50 y = 150, quando k = 6........ 55 Figura 5 – Gráfico da solução da equação 20x + 50 y = 150, quando k = 7........ 56 Figura 6 – Gráfico indicando o sexo dos entrevistados, 17 do sexo masculino e 6 do sexo feminino..................................... 78 Figura 7 – Faixa etária................................... 79 Figura 8 – Tempo de docência em matemática....................... 79 Figura 9 – Quanto ao tipo de graduação.......................... 80 Figura 10 – Quanto à graduação.............................. 80 Figura 11 – Quanto ao domínio do conteúdo "equações diofantinas lineares"....... 81 Figura 12 – Quanto ao domínio do conteúdo "equações diofantinas lineares"....... 81 Figura 13 – Quanto à inserção do conteúdo "equações diofantinas lineares"no ensino médio. 82 Figura 14 – Notas de desempenho da Escola Estadual Coronel Solon no IDEB. Fonte: http://ideb.inep.gov.br/resultado/...................... 100
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2 OBJETIVOS
2.1 Objetivo Geral
Elaborar uma sequência didática através de uma pesquisa bibliográfica para inserir equações diofantinas lineares no ensino médio, sendo estas aulas aplicadas concomitantemente com o estudo de equações lineares.
2.2 Objetivos Específicos
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3 RESUMO HISTÓRICO
Neste capítulo, faz-se um breve resumo sobre alguns fatos históricos e alguns per- sonagens, tais como Diofanto de Alexandria, do qual se dá origem ao termo diofantina, e seus principais trabalhos na matemática, em especial, às equações diofantinas.
3.1 Diofanto de Alexandria
Pouco se sabe sobre a vida de Diofanto de Alexandria, a maioria dos historiadores estimam que ele viveu no século III da era Cristã, apesar de ter sua carreira florescido em Alexandria não é conhecido o local de seu nascimento. Uma das poucas informações sobre ele é encontrado em forma de epigrama, na obra Antologia Grega datada por volta do quinto ou sexto século da Era Cristã.
Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta parte de sua vida, e somando uma duodécima parte a isto cobriu-lhe as faces de penugem; Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma sétima parte, e cinco anos após seu casamento concedeu-lhe um filho. Ai! infeliz criança tardia; depois de chegar à medida de metade da vida de seu pai, o Destino frio o levou. Depois de se consolar de sua dor durante quatro anos com a ciência dos números ele terminou sua vida. (BOYER, 1974, p. 130)
O epigrama anterior é um problema que hoje se resolve facilmente por meio da resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, como segue:
x = 6 x + 12 x + 7 x + 5 + x 2 + 4 ⇒ x = 84. (3.1)
Portanto, considerando a veracidade do registro acima é possível saber que Diofanto faleceu com a idade de 84 anos. Dentre os matemáticos que estudaram a Teoria dos Números, sem dúvida, Diofanto foi um dos mais importantes, depois dele vários gênios notáveis se debruçaram sobre problemas de Teoria dos Números, tais como Fermat, Euler, Gauss, entre outros. Sua obra Aritmética, escrita por volta de 250 d.C. principalmente da solução de equações indeterminadas com coeficientes inteiros. Segundo Eves (2004):
Diofanto de Alexandria teve uma importância enorme para o desenvolvimento da álgebra e uma grande influência sobre os europeus que posteriormente se dedicaram à teoria dos números. Tal como no caso de Herão, nada se sabe com certeza acerca da nacionalidade de Diofanto e da época exata em que viveu. Apesar de haver algumas evidências tênues de que possa ter sido contemporâneo de Herão, a maioria dos historiadores tende a situá-lo no século III de nossa era. Além do fato de que sua carreira floresceu em Alexandria, nada mais de certo se sabe sobre ele, embora se encontre na Antologia grega um epigrama que se propõe a dar alguns detalhes de sua vida. (EVES, 2004, p. 207)
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indeterminadas ou a resolver equações por meios não geométricos, no entanto, pode ter sido, de fato, o primeiro a se inclinar para a utilização de uma notação algébrica. No volume I de Arithme são introduzidas as abreviações que caracterizaram o período da álgebra sincopada.
Tabela 1 – Alguns símbolos e significados na notação sincopada. Símbolo Significado ς última letra da palavra arithmos, a quantidade desconhecida ∆ϒ^ as duas primeiras letras de dynamis (∆ϒNAMIΣ), o quadrado da quantidade desconhecida Kϒ^ primeira letra de kybos (KϒBOΣ), o cubo da quantidade desconhecida ∆ϒ∆ o quadrado-quadrado, a quarta potência ∆ϒK o quadrado-cubo, a quinta potência KϒK o cubo-cubo, a sexta potência Fonte: Roque e Carvalho (2012).
É observado que Diofanto começa a separar as operações aritméticas com uma notação algébrica e diferindo-as das associações com a geometria, o que era forte característica da matemática grega. Ainda, segundo Roque e Carvalho (2012), a relação com a geometria era tão forte que um número com uma potência maior do que três não correspondia a nenhuma grandeza. No entanto, segundo Boyer (1974), foi Brahmagupta, um matemático hindu que viveu em 628 da Era Cristã, na Índia central, o primeiro a determinar uma solução geral de equações no conjunto dos inteiros.
(...) dar uma solução geral da equação linear diofantina [do tipo] ax + by = c, onde a, b e c são inteiros. Para que essa equação tenha soluções inteiras, o máximo divisor comum de a e b deve dividir c; e Brahmagupta sabia que se a e b são primos entre si, todas as soluções da equação são dadas por x = p + mb; y = q˘ma, onde m é um número inteiro arbitrário [sendo p e q uma solução inteira particular]. (...) Brahmagupta merece muito louvor por ter dado todas as soluções inteiras da equação linear diofantina, enquanto que Diofante de Alexandria tinha se contentado em dar uma solução particular de uma equação indeterminada” (BOYER, 1974, p. 161).
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4 CONHECIMENTOS PRELIMINARES EM TEORIA DOS NÚMEROS
Antes de se abordar o tema equações diofantinas é imprescindível o entendimento de novas notações, definições e teoremas particulares da Teoria dos Números. Neste capítulo serão apresentados alguns princípios, teoremas e proposições importantes, tais como o Princípio da Boa Ordenação (PBO), o Princípio da Indução Finita, o Algoritmo da divisão, o Algoritmo de Euclides, o Teorema Fundamental da unicidade, o Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC), algumas proposições sobre divisibilidade e Aritmética Modular. Os critérios de divisibilidades são conteúdos geralmente tratados no 6º ano do Ensino Fundamental, conforme norteadamente sugere a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) nas habilidades EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06. (EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. (BRASIL, 2018, p. 301) Portanto, faz parte das habilidades esperadas em alunos do ensino médio, visto que as competên- cias são cumulativas.
4.1 Princípio da Boa Ordem e de Indução Finita
Dois princípios muito importantes na matemática são os Princípio da Boa Ordem
