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Equações algébricas do 2º grau pelo métodos hindu
Tipologia: Esquemas
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Monografia apresentada ao Programa de P´os- graduac¸ ˜ao em Matem´atica da Universidade Tec- nol´ogica Federal do Paran´a como requisito par- cial para obtenc¸ ˜ao do t´ıtulo de “Especialista em Ciˆencias” – ´Area de Concentrac¸ ˜ao: Matem´atica.
Orientadora: Sara Coelho Silva
A Deus, pois sem ele n˜` ao sou capaz de nada.
E a minha fam´ılia que ´e minha fonte de energia.
Agradec¸o a todos que me apoiaram direta ou indiretamente no desenvolvimento deste tra- balho.
Em especial ao coordenador do curso, que esteve sempre pronto a nos atender, sanando nossas d´uvidas a qualquer hora. E `a minha orientadora que com toda paciˆencia e atenc¸ ˜ao me orientou neste trabalho.
VALENTI, Patricia. O desenvolvimento da linguagem alg´ebrica e suas contribuic¸ ˜oes para a sala de aula. 53 f. Monografia – Programa de P´os-graduac¸ ˜ao em Matem´atica, Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a. Campo Mour˜ao, 2011.
Uma parcela consider´avel dos alunos entram na escola com o preconceito de que a disciplina de matem´atica ´e a mais dif´ıcil e, uma grande maioria torna este preconceito uma realidade, tendo dificuldades com a matem´atica. No objetivo de amenizar esta resistˆencia dos alunos a esta disciplina h´a muitos pesquisadores investindo em m´etodos para transmitir o conte´udo de forma atraente. Nesse intuito surgem v´arias tendˆencias matem´aticas, entre elas a hist´oria da matem´atica. Mas para que se trabalhe com a hist´oria da matem´atica em sala de aula ´e necess´ario que o professor tenha conhecimento desta. Portanto, neste trabalho apresentaremos parte desta hist´oria, mais especificadamente traremos um pouco da hist´oria da ´algebra para o conhecimento dos professores e, no final de cada sess˜ao apontaremos algumas sugest˜oes que podem ser utilizadas em sala de aula.
Palavras-chave: Algebra, Ensino, Hist´´ oria.
VALENTI, Patricia. Algebraic language development and its contributions to the classroom. 53 f. Monografia – Programa de P´os-graduac¸ ˜ao em Matem´atica, Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a. Campo Mour˜ao, 2011.
A considerable parcel of students enter school with the prejudice that the discipline of math is the most difficult and, a large majority makes this prejudice a reality, having difficulties with math. In object of reduce this student resistance to this discipline there is many researchers investing in methods for convey the content of attractive form. In this intention appear several mathematical trends, between them the history of mathematics. But in order to work with the history of mathematics in the classroom is necessary that the teacher have knowledge of this. So, in this paper we present part of this story, more specifically we bring a little of history of algebra to the knowledge of teachers and at the end of each session we will point some suggestions that can be used in the classroom.
Keywords: Algebra, Teaching, History.
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E comum a apresentac^ ´ ¸ ˜ao da ´algebra, na educac¸ ˜ao b´asica como um conte´udo abstrato e sem aplicabilidade.
V´arias pesquisas em educac¸ ˜ao matem´atica indicam que esta apresentac¸ ˜ao pode se tornar mais interessante e humanizada se estiver vinculada aos aspectos hist´oricos pois, a Hist´oria da Matem´atica pode:
A coleta de dados, foi feita em obras de autores cl´assicos da hist´oria da matem´atica, e as informac¸ ˜oes foram colocadas em ordem cronol´ogica, para que se possa perceber o desen- volvimento da linguagem alg´ebrica no decorrer dos s´eculos, podendo auxiliar o professor de matem´atica da educac¸ ˜ao b´asica nas aulas de ´algebra.
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A fonte prim´aria rica sobre a matem´atica eg´ıpcia antiga est´a no papiro Rhind com data aproximadamente de 1650 a.C., onde se pode encontrar m´etodos de multiplicac¸ ˜ao e divis˜ao dos eg´ıpcios, o uso que faziam de frac¸ ˜oes unit´arias, seu emprego a regra da falsa posic¸ ˜ao e muitas aplicac¸ ˜oes da matem´atica a problemas pr´aticos. ´E baseado nesse papiro e outros como o papiro Moscou com data aproximadamente de 1850 a.C que se pode dizer como se desenvolveu a algebra eg´´ ıpcia.
O m´etodo utilizado pelos eg´ıpcios para resoluc¸ ˜ao de equac¸ ˜oes lineares consistia de uma estimativa inicial e uma correc¸ ˜ao final, m´etodo ao qual posteriormente os europeus deram o nome de “regra da falsa posic¸ ˜ao”.
Esta regra ´e um m´etodo para resolver equac¸ ˜oes atribuindo valores `a inc´ognita; se a igual- dade n˜ao for satisfeita, esse valor ´e alterado por meio de uma simples proporc¸ ˜ao.
Para resolver: x + x 4 = 30 (2.1.1)
Assuma qualquer valor conveniente para x , digamos x = 4. Substituindo em (2.1.1) obtemos: 4 + 44 = 5, em vez de 30. Como o 5 teve que ser multiplicado por 6 para dar 30, logo a resposta ser´a 4 × 6 = 24. O problema abaixo, ´e um cl´assico exemplo encontrado no Papiro Ahmes, onde a quantidade procurada ´e considerado como mont˜ao:
Um mont˜ao, sua metade, seus dois terc¸os, todos juntos s˜ao 26. Digam-me: Qual ´e a quantidade?
O primeiro passo para a resoluc¸ ˜ao desse problema ´e escrevˆe-lo de forma alg´ebrica, onde representaremos um mont˜ao por x :
x + x 2 + 23 x = 26
O segundo passo ´e substituir o x por um n´umero qualquer, vamos escolher 18:
O terceiro passo ´e utilizar os valores falsos 18 e 39 para montar uma regra trˆes simples:
(^1839) = mont 26 ao ˜
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mont ao ˜. 39 = 18. 26 mont ao ˜ = (^46839) mont ao ˜ = 12
E assim encontramos o resultado do problema que ´e 12. De acordo com (BAUMGART, 1992) Diofante, s´eculo IV, em seu texto Arithmetica , usa um m´etodo semelhante para a resoluc¸ ˜ao de equac¸ ˜oes simultˆaneas.
2.1.1 Sugest˜ao did´atica
E comum termos como conte´´ udos da 6a^ s´erie (7o^ ano) Equac¸ ˜ao do 1o^ grau e Regra de trˆes. Portanto, o professor poder´a apresentar situac¸ ˜oes problemas que podem ser descritas por equac¸ ˜oes de primeiro grau e explorar a participac¸ ˜ao dos alunos na sugest˜ao de valores “falsos”. Logo em seguida, deve-se fazer uso da regra de trˆes simples, para analisar o resultado “falso” e assim determinar o valor correto. Esse m´etodo de resoluc¸ ˜ao pode ser utilizado em sala de aula como recurso para resoluc¸ ˜ao de equac¸ ˜oes de primeiro grau e tamb´em para equac¸ ˜ao do segundo grau para quando os alunos ainda n˜ao sabem resolver problemas pela f´ormula de Bhaskara.
O objetivo aqui ´e utilizar a hist´oria da matem´atica para envolver o aluno na resoluc¸ ˜ao do problema, fazendo uso de uma investigac¸ ˜ao ao inv´es de uma mera aplicac¸ ˜ao de f´ormulas e regras.
A partir de algumas resoluc¸ ˜oes por investigac¸ ˜ao ent˜ao, podemos apresentar t´ecnicas que auxiliar˜ao no c´alculo.
Os alunos tamb´em poder˜ao criar equac¸ ˜oes do 1o^ grau baseados nos exemplos do Papiro de Ahmes: formando duplas, um aluno escreve uma equac¸ ˜ao do 1o^ grau envolvendo x , que e um valor conhecido por ele e oculto para o outro da dupla, que dever´´ a resolver a equac¸ ˜ao para decifrar o enigma proposto pelo colega. Assim, o professor pode explorar as t´ecnicas de resoluc¸ ˜ao de equac¸ ˜oes do 1o^ grau e incentivar a interatividade.
H´a aproximadamente quatro milˆenios antes de nossa era os babilˆonicos j´a haviam cons- tru´ıdo casas e templos decorados com cerˆamicas e mosaicos art´ısticos em desenhos geom´etricos. Governantes locais se uniram a principados e constru´ıram um sistema de canais para irrigar a terra e controlar a inundac¸ ˜ao.
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16x16 = 256 (^ k 2 )^2
256 - 252 = 4 (^ k 2 )^2 − p = t^2
A ra´ız quadrada de 4 ´e 2.
2 k^ )^2 −^ p^ =^ t
16 + 2 = 18 comprimento k 2 + t = x
16 - 2 = 14 k 2 − t = y
(5)(Prova) Multiplique 18 comprimento por 14 largura.
18 × 14 = 252´area
( (^) k 2 +^ t
) ( (^) k 2 −^ t
= k 42 + t^2 = p = xy
Note que em um primeiro momento (1) o problema ´e formulado, a seguir (2) os dados s˜ao apresentados, e a resposta j´a ´e dada (3), depois ent˜ao que ´e apresentada o m´etodo de soluc¸ ˜ao (4), e finalmente a resposta ´e testada (5).
Como no exemplo acima, eles apresentavam o passo a passo para encontrar a resoluc¸ ˜ao de uma determinada forma de equac¸ ˜ao. E de acordo com (EVES, 2004) nenhum exemplo do que hoje chamamos demonstrac¸ ˜ao foi encontrado na matem´atica oriental antiga.
A forma apresentada acima ´e a estrutura de resoluc¸ ˜ao utilizada pelos babilˆonicos. Vamos entender a resoluc¸ ˜ao do problema estudando a forma geral:
Dado o sistema: { x + y = k xy = p fac¸amos:
2^ k +^ t^ =^ x 2^ k −^ t^ =^ y
onde,
t =
k 2 )^2 − p
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Portanto, para encontrar o valor de t , devemos resolver uma raiz quadrada.
A veracidade da regra acima ´e evidenciada ao substituirmos em x + y = k e x. y = p , os valores dados para x e y. { x + y =
( (^) k 2 −^ t
( (^) k 2 +^ t
= 2 k 2 − t + t = k xy =
( (^) k 2 −^ t
) ( (^) k 2 +^ t
( (^) k 2
Podemos perceber que a maneira que resolviam o sistema n˜ao ´e igual a que usamos hoje, mas os babilˆonios tamb´em sabiam resolver por substituic¸ ˜ao como utilizamos atualmente, por´em eles preferiam seu m´etodo param´etrico.
O problema acima de acordo com (BOYER, 1996) tem significado hist´orico, pois, a Algebra grega (geom´´ etrica) dos pitag´oricos (c. 540 a.C.) e de Euclides(c.300 a.C.) (que em Os elementos organizou a matem´atica existente em seu tempo) seguiam o mesmo estilo de m´etodo de soluc¸ ˜ao, utilizando segmentos de retas, ´areas e ilustrac¸ ˜oes por figuras geom´etricas. S´eculos mais tarde, o grego Diofante, s´eculo IV,tamb´em usou a abordagem param´etrica em seu trabalho com as equac¸ ˜oes “diofantinas”.
Outro problema babilˆonico pede o lado de um quadrado se a diferenc¸a entre a ´area desse quadrado e seu lado ´e o n´umero (sexagesimal) 14,30.
Segundo (EVES, 2004) para a resoluc¸ ˜ao desse problema, no qual temos:
x^2 − px = q (2.2.1)
usaremos a f´ormula: x =
p 2 +^ q^ +^
p 2 (2.2.2) O primeiro passo ´e transformar o problema em uma equac¸ ˜ao. Para tanto, considerando como x a medida do lado do quadrado, temos:
x^2 − x = ( 14 , 30 ) 60
Transformando para a base decimal:
x^2 − x = 14. 601 + 30. 600
x^2 − x = 840 + 30
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Agora ´e s´o substuir os valores encontrados em: x =
√ (^) p 2
(^2) + q + p 2
x = 29; 30 60 + 0; 30 60 x = 0 , 2960 + 0 , (^160) x = 30 = 30. 600
De acordo com (BOYER, 1996) uma tabela que foi de grande utilidade para a ´algebra babilˆonia j´a n˜ao ´e encontrada mais nos manuais de hoje. Ela era formada por uma tabulac¸ ˜ao dos valores de n^3 + n^2 para valores inteiros de n. Para os babilˆonios mostrar a soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao quadr´atica completa n˜ao era dif´ıcil, pois tinham desenvolvido operac¸ ˜oes alg´ebricas flex´ıveis e muitas f´ormulas simples de fatorac¸ ˜ao lhes eram familiares. Transportavam termos em uma equac¸ ˜ao somando iguais a iguais, e multiplicando ambos os membros por quantidades iguais para remover frac¸ ˜oes ou eliminar fatores. Somando, por exemplo, 4 ac a ( a − b )^2 podiam obter ( a + b )^2. N˜ao usavam letras para representar quantidades desconhecidas, pois o alfabeto ainda n˜ao fora inventado, mas palavras como “comprimento”, “largura”, “´area” e “volume” serviam bem nesse papel.
Segue um exemplo retirado de (BOYER, 1996), onde abordaremos, `a direita, a resoluc¸ ˜ao com notac¸ ˜oes modernas. Adotando para largura e comprimento x e y , respectivamente:
4 largura^ +^ comprimento^ =^7 maos comprimento + largura = 10 maos
Substitua cada ”‘m˜ao”’ por cinco ”‘dedos”’;
4 x^ +^ y^ =^35 y + x = 50 E observando que uma largura igual de 20 dedos e um comprimento igual de 30 dedos satisfaz as duas equac¸ ˜oes.
x = 20
{^ y^ =^30 (^14 20) + 30 = 35 30 + 20 = 50
Logo a soluc¸ ˜ao
x = 20 y = 30
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2.2.1 Sugest˜ao did´atica:
O professor pode apresentar aos alunos a “receita dos babilˆonicos” para resolverem sis-
temas de equac¸ ˜oes do tipo:
x + y = k xy = p
sem fazer uso de substituic¸ ˜ao, o que levaria a uma
equac¸ ˜ao do segunto grau. Esse tipo de “receita” pode ser utilizado para sistemas de equac¸ ˜oes e equac¸ ˜oes de primeiro grau. Ao explorar as “receitas” em problemas similares, o aluno estar´a de- senvolvendo a leitura alg´ebrica aplicando um m´etodo em outras equac¸ ˜oes, o que desencadear´a no desenvolvimento do racioc´ınio l´ogico. Pode-se ainda, explorar nestes problemas o sistema de numerac¸ ˜ao babilˆonico (posicional e de base 60), fazendo uso de uma bibliografia auxiliar para compreens˜ao da notac¸ ˜ao e das operac¸ ˜oes utilizadas pelos babilˆonios, observando tamb´em que esta base ainda ´e usada atualmente nas unidades de tempo: hora, minuto e segundo.
Em conjunto com os professores das disciplinas de arte, hist´oria e geografia, pode se desen- volver um projeto, onde o professor de hist´oria estaria trabalhando, como os alunos, a hist´oria da civilizac¸ ˜ao babilˆonica antiga e atual. O professor de geografia contribuiria com a localizac¸ ˜ao babilˆonica. Nas aulas de arte o professor, juntamente aos alunos, construiria em argila a es- crita cuniforme. O professor de matem´atica trabalharia com o desenvolvimento alg´ebrico nesta civilizac¸ ˜ao. Por meio desse trabalho interdisciplinar, a ´algebra deixaria de ser vista, pelos alunos, como um conte´udo abstrato da matem´atica e quando lembrassem da ´algebra, fariam uma ligac¸ ˜ao com a hist´oria. Esse projeto tornaria essa ´area da matem´atica mais contextualizada e estaria trabalhando, com os alunos, a cultura de uma civilizac¸ ˜ao.
Nos ´ultimos milˆenios a.C. houve muitas mudanc¸as econˆomicas e sociais. Algumas civili- zac¸ ˜oes desapareceram, o poder da Babilˆonia e do Egito declinou e alguns povos entre eles os gregos passaram para o primeiro plano.
Segundo (BOYER, 1996), o mundo grego por muitos s´eculos teve seu centro entre os mares Egeu e Jˆonio, mas a civilizac¸ ˜ao helˆenica n˜ao se localizava somente ali. Em 600 a. C. colˆonias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar Negro e Mediterrˆaneo e foi nestas regi˜oes afastadas que um novo impulso se manifestou na matem´atica. Os colonistas a beira-mar tinha uma vantagem, pois estavam em condic¸ ˜oes de viajar para os centros antigos de conhecimento e adquirirem informac¸ ˜oes de primeira m˜ao sobre astronomia e matem´atica. Os gregos n˜ao hesitavam em absorver elementos de outras culturas, de outra forma n˜ao tinham aprendido t˜ao depressa e passado a frente de seus predecessores, tudo o que tocavam davam
