HAYT-BUCK-2013-Eletromagnetismo-Cap02, Transcrições de Eletromagnetismo

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Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico vamos estabelecer e descrever alguns princípios básicos de eletricidade. Neste pítulo, introduziremos a lei da Força Eletrostática de Coulomb e, então, formularemos esta lei de forma geral utilizando a teoria de campo. As ferramentas que desenvolveremos podem ser usadas para resolver quaisquer problemas em que o objetivo seja avaliar forças entre cargas elétricas ou determinar o campo elétrico associado com qualquer distribuição de carga. Inicialmente, restringiremos o estudo aos campos no vácuo ou espaço livre. Este estudo é aplicável aos seguintes meios: ar e outros gases. Materiais adicionais são introduzidos nos Capítulos 5 e 6 e campos variáveis no tempo são abordados no Capítulo 9. E As que formulamos a linguagem de análise vetorial no primeiro capítulo, 2.1 LEI EXPERIMENTAL DE COULOMB Documentos de pelo menos 600 a.C. mostram evidências de conhecimento sobre a ele- tricidade estática. Os gregos foram responsáveis pelo termo eletricidade, derivado de sua palavra para âmbar, e passaram muitas horas de lazer esfregando um pequeno peda- ço de âmbar nas suas roupas e observando como ele atraía pedaços de penugem e simila- res depois dessa fricção. Entretanto, seus principais interesses repousavam em filosofia e lógica, e não em ciência experimental, — e isso foi muitos séculos antes que o efeito de atração tivesse sido considerado alguma coisa diferente de mágica ou “força vital”. Dr. Gilbert, físico de Sua Majestade a Rainha da Inglaterra, foi o primeiro a fazer algum trabalho realmente experimental abordando esse efeito e, em 1600, estabe- leceu que o vidro, o enxofre, o âmbar e outros materiais que ele listou “não apenas atrafam para si próprios a palha, mas também todos os metais, madeira, folhas, pedra, terra, e até água e óleo”. Pouco tempo depois, um oficial da Engenharia do Exército Francês, Coronel Charles Coulomb, executou uma série elaborada de experimentos utilizando uma balança de torção sensível, (inventada por ele mesmo), para determinar quantitativa- mente a força exercida entre dois objetos, cada um com uma carga estática de eletri- Capítulo 2 « Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 27 cidade. O resultado publicado possui grande similaridade com a lei gravitacional de Newton (descoberta cerca de cem anos antes). Coulomb estabeleceu que a força entre dois objetos muito pequenos, separados pelo vácuo ou espaço livre por uma distância grande se comparada com seus tamanhos, é proporcional à carga de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os mesmos, ou 0102 F=k Rº onde Q, e Q» são as quantidades positivas ou negativas de carga, R é a separação e k é uma constante de proporcionalidade. Se o Sistema Internacional de Unidades! (SI) for utilizado, Q é medida em coulombs (C), R é medido em metros (m) e a força, em newtons (N). Isso será obtido se a constante de proporcionalidade k for escrita como 1 “Are A nova constante eq é chamada de permissividade do espaço livre e tem o valor me- dido em farads por metro (F/m), 1 = RO 10 1 €o = 8,854 x 10 367 10 F/m (1 A grandeza € não é adimensional, já que a lei de Coulomb mostra que ela tem a unidade CN « m2, Vamos, mais tarde, definir o farad e mostrar que ele tem as dimen- sões C?/N » m. Antecipamos essa definição utilizando a unidade F/m na Equação (1). A lei de Coulomb é agora p= 202 “ 4megR? (2) O coulomb é uma unidade de carga extremamente grande, pois a menor quanti- dade de carga conhecida é aquela de um elétron (negativa) ou próton (positiva), dada como 1,602 x 107!º C em unidades do SI. Com isso, uma carga negativa de um cou- lomb representa aproximadamente 6 x 10! elétrons.? A lei de Coulomb mostra que a força entre duas cargas de um coulomb cada, separada por um metro, é 9 x 10º N, ou aproximadamente um milhão de toneladas. O elétron possui uma massa, em repouso, de 9,109 x 1073! kg e tem um raio da ordem de 3,8 x 107! m. Isso não significa que o elétron possui uma forma esférica, mas serve apenas para descrever o tamanho da região na qual um elétron que se move lentamente tem a maior probabilidade de ser encontrado. Todas as outras partículas carregadas conhecidas, incluindo o próton, possuem massas e raios maiores, e ocupam um volume probabilístico maior que o do elétron. 1 O Sistema Internacional de Unidades (um sistema mks) é descrito no Apêndice B. Abreviações para as unidades são dadas na Tabela B.1. Conversões para outros sistemas de unidades são dadas na Tabela B.2, enquanto os prefixos desig- nando potências de dez no SI aparecem na Tabela B.3. 2 A carga e a massa de um elétron, assim como outras constantes físicas, são apresentadas na Tabela C.4 do Apêndice C. Capítulo 2 « Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 29 A força expressa pela lei de Coulomb é uma força mútua, já que cada uma das duas cargas experimenta uma força de mesma intensidade e direção, apesar de senti- dos opostos. Poderíamos ter escrito, da mesma maneira, 010» 010» = came Ro da Amor e q ; 2 4meoRh gl (5) A lei de Coulomb é linear, pois se multiplicarmos Q, por um fator n, a força em 9» será também multiplicada pelo mesmo fator n. É também verdade que uma força em uma carga na presença de várias outras cargas será a soma das forças naquela car- ga, em decorrência de cada uma das outras cargas que agem sozinhas. EP2.1. Uma carga O, = —20 uC está posicionada em A(—6, 4, 7) e uma car- ga Op = 50 uC está em B(5, 8, —2) no espaço livre. Se as distâncias são dadas em metros, encontre: (a) Rap; (b) Rap. Determine o vetor força exercido em Qu por Op se eo = (c) 10*/(367) F/m; (d) 8,854 x 10-12 F/m. Resp. la, + 4a, — 9a, m; 14,76 m; 30,76a, + 11,184a, — 25,16a, mN; 30,72a, + 11,169, — 25,134, mN 2.2 INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO Se agora considerarmos uma carga (como (), por exemplo) fixa em uma posição, e mo- vermos uma segunda carga lentamente em volta, notaremos que existe em todo lugar uma força atuando nessa segunda carga. Em outras palavras, essa segunda carga está evidenciando a existência de um campo de força associado com a carga Q,. Chamemos essa segunda carga de carga de teste” Q,. A força na mesma é dada pela lei de Coulomb, 010, = 4megRi, air Escrevendo essa força como uma força por unidade de carga, tem-se a intensidade de campo elétrico“, E surgindo de Q:: -F (9 O, 4reRi, E, air (6) E, é interpretado como o vetor força, tendo Q, como fonte, que age sobre uma carga de teste positiva. De forma mais geral, escrevemos a seguinte expressão de definição: E E= 9, (1 * N.deT.: Também denominada “carga de prova”. ** N. de T.: O estudante deve ter cuidado para não confundir o termo “intensidade”, aqui utilizado como parte da deno- minação dada a uma grandeza vetorial, com a situação do capítulo anterior na qual esse mesmo termo foi utilizado para indicar o módulo (valor absoluto) de um vetor qualquer. Eletromagnetismo na qual E, uma função vetorial, é a intensidade de campo elétrico avaliado no ponto onde a carga teste está localizada, que surge de todas as outras cargas na vizinhança — isso significa que o campo elétrico gerado pela própria carga teste não está incluído em E. A unidade de E corresponde à força por carga (newtons por Coulomb). Novamente, antecipando uma nova grandeza dimensional, o volt (V), que tem a unidade de joules por coulomb (J/C), ou newton-metros por coulomb (N - m/C), podemos medir de uma vez a intensidade de campo elétrico nas unidades práticas de volts por metro (V /m). Agora, vamos dispensar a maioria dos subscritos da Equação (6), reservando-nos o direito de utilizá-los novamente em qualquer momento que possa ocorrer um mal- -entendido. O campo elétrico gerado por uma única carga pontual torna-se: (o) 4megR? ap (8) Devemos nos lembrar de que R é a intensidade do vetor R, o segmento de reta orientado do ponto onde a carga pontual Q está posicionada até o ponto onde E é desejado, e de que ap é o vetor unitário na direção de Rº Vamos arbitrariamente posicionar Q), no centro de um sistema de coordenadas esféricas. O vetor unitário ar, então, se torna o vetor unitário radial a,, e R é r. Logo: E= 0, (9 4megr? * O campo possui um componente radial único e a sua relação com a lei do inverso do quadrado é óbvia. Se considerarmos uma carga que não esteja na origem do nosso sistema de co- ordenadas, o campo não mais possuirá simetria esférica, e aí poderemos utilizar, do mesmo modo, coordenadas cartesianas. Para uma carga Q posicionada no ponto fonte r=xa,+y'a; + za. conforme ilustrado na Figura 2.2, encontramos o campo em um ponto genérico r = xa, + yay + za, expressando R como r — r, e então Q dam d Q(r=r) Em = E PR - 4reolr-r[2|r-r| 4meolr—r' — Ola -x)a + — Day + (e — 2)a.] (o) Amex P+O-yP + —2PPr Anteriormente, definimos um campo vetorial como uma função vetorial de um vetor posição, e isso é enfatizado quando simbolizamos E em uma notação funcional por E(r). Como as forças de Coulomb são lineares, a intensidade de campo elétrico que tem como fonte duas cargas pontuais, O, em r; e Q» em r;, é a soma das forças sobre O; causadas por O, e O» agindo sozinhas, ou 0, 0» = a+ 4meglr — ri]? 4meglr — 19)? E(r) 3 Pretendemos firmemente evitar confundir r e a, com R e ap. Os dois primeiros se referem especificamente ao sistema de coordenadas esféricas, enquanto R e ap não se referem a nenhum sistema de coordenadas — a escolha está ainda disponível para nós. 32 Eletromagnetismo Se adicionarmos mais cargas em outras posições, o campo decorrente de n cargas pontuais é o Om Em)=))— Lam (1) Za 4meglr — Fm? EXEMPLO 2.2 Com o objetivo de ilustrar a aplicação da Equação (11), vamos encontrar E em P(1, 1, 1) causado por quatro cargas idênticas de 3 nC (nanocoulombs) posicionadas em Pi(1, 1,0), PX(—1,1,0), Pi(—1, —1,0) e P4(1, —1, 0), conforme mostrado na Figura 2.4. Solução. Descobrimos quer = a; +a,+a,r;=ar+a;y; portanto,r —r;=a,. As intensidades são: |r — ri] = 1, |r— r,| = J5, lr—-rj=3elr—-ry]= 45. Uma vez que Q/4meo = 3 x 10º /(4m x 8,854 x 10712) = 26,96 V +» m, pode- mos agora utilizar a Equação (11) para obter al 2a+a 2a, +2a,+a. 1 2açfa. 1 | E=2696| Se 4 o : Z*s UP ou E=6,82a, + 6,82a, + 32,8, V/m EP2.2. Uma carga de —0,3 uC está posicionada em A(25, —30, 15) (em cm), e uma segunda carga de 0,5 uC está em B(—10, 8, 12) cm. Calcule E em: (a) a origem; (b) P(15, 20, 50) cem. Resp. 92,3a; — 77,6a; — 94,2a.kV/m; 11,9a,; — 0,519a, + 12,4a,kV /m r=r Py(1,1,0) Pá(=1,0) PA (1,1,0) Figura 2.4 Uma distribuição simétrica de quatro cargas pontuais de 3 nC idênticas produ- zem um campo em P, E = 6,82a, + 6,82a, + 32,8a; V/m. Capítulo 2 « Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 33 1 yr EE 25366540) 0) E EP2.3. Avalie as somas: > FEET CER m=] Resp. 2,52; 0,176 2.3 CAMPO DEVIDO A UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE CARGAS Se visualizarmos agora uma região do espaço preenchida com um número imenso de cargas separadas por distâncias diminutas, perceberemos que podemos substituir essa distribuição de partículas muito pequenas por uma distribuição contínua e suave descrita por uma densidade volumétrica de carga, assim como descrevemos a água com uma densidade correspondente a 1 g/cm? (grama por centímetro cúbico) apesar de ela ser constituída por partículas de tamanho atômico e molecular. Podemos fazer isso somente se não estivermos interessados nas pequenas irregularidades (ou ondu- lações) no campo à medida que nos movemos de elétron para elétron, ou se nos im- portarmos pouco com o fato de a massa da água na verdade aumentar em quantidades pequenas (mas finitas) à medida que cada nova molécula é adicionada. Isso, na verdade, não se constitui em limitação alguma, porque os resultados finais que importam, para os engenheiros eletricistas, são quase sempre aqueles que dizem respeito a uma corrente em uma antena receptora, uma tensão em um circuito eletrô- nico ou uma carga em um capacitor ou, em geral, a algum fenômeno macroscópico de larga escala. É muito raro necessitarmos saber sobre uma corrente elétron por elétron.* Denotamos densidade volumétrica de carga por py, usando a unidade de coulombs por metro cúbico (C/m?). A pequena quantidade de carga AQ em um pequeno volume Av é AQ = pyAv (12) e podemos definir p, matematicamente pela utilização de um processo de limite na Equação (12), de forma que, AQ Py= lim Av>0 Av. 13) A carga total dentro de um volume finito é obtida integrando-se por todo esse volume, 0=] pudv (14) vol Apenas um sinal de integração é usualmente indicado, mas a diferencial dv significa integração por um volume e, logo, uma integração tripla. 4 Um estudo do ruído gerado por elétrons em semicondutores e resistores, entretanto, requer um exame da carga me- diante análises estatísticas. Capítulo 2 « Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 35 Finalmente, io —2.000p e 4000p 0,01 O ==10 =( À 1 1 =x = 10-18 (rom — 70%) = — = 0,0785 pc Q 712000 4000) 40 E onde pC indica picocoulombs. A contribuição incremental para a intensidade de campo elétrico em r produzida por uma carga incremental AQ em r' é AQ r—r pyÃv r>—r AE(r) = = (1) 4reglr-rP2|r—-r| 4relr-r[I|r—r] Se somarmos as contribuições de todas as cargas volumétricas em uma dada região e fizermos o elemento de volume Av se aproximar de zero à medida que o número desses elementos se torna infinito, o somatório se torna uma integral, pur)dv r—r gm= |) LE CO o . 4meglr = rr —r'| am Essa é novamente uma integral tripla e por isso (exceto no Exercício Proposto 2.4 a seguir) faremos o melhor possível para evitar essa integração. O significado das várias grandezas sob o sinal de integração na Equação (15) pode necessitar de uma pequena revisão. O vetor r, que parte da origem, posiciona o ponto de campo onde E está sendo determinado, enquanto o vetor r' se estende da origem até o ponto da fonte, onde p;(r)dv' está posicionado. A distância escalar entre o ponto de fonte e o ponto de campo é |r — r'| e a fração (r — r)/J|r — r'| é um vetor unitário que aponta do ponto de fonte em direção ao ponto de campo. As variáveis de integração” são x, y' e 7, em coordenadas cartesianas. EP2.4. Calcule a carga total dentro de cada volume indicado: (a) 0,1 < |x|, bl <02:0,= am