Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes, Manuais, Projetos, Pesquisas de Cálculo

Baixe Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Cálculo, somente na Docsity!

e-Tec Brasil

• Matemática Instrumental

Grandezas geométricas:

perímetros, áreas e volumes

Ricardo Ferreira Paraizo

Aula

Meta

Apresentar as grandezas geométricas: perímetro, área e volume.

Objetivos

Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:

1. transformar uma unidade de medida de comprimento em outra;
2. calcular a área de algumas das principais figuras geométricas planas;
3. transformar uma unidade de área em outra;
4. transformar uma unidade de volume em outra;
5. resolver problemas de aplicação de transformação de medidas e cálculo de áreas das figuras planas.

Pré-requisito

Para acompanhar esta aula, é importante ter em mãos: cartolina, cola e tesoura.

e-Tec-Brasil –

Matemática Instrumental

290

Escrever na folha de caderno: O perímetro (2p) é: 2p = 279,4 + 279,4 + 215,9 + 215, Logo, 2p = 990,6 mm

Medidas de comprimento

Desde a Antigüidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada povo possuía sua própria unidade. Com o desenvolvimento do comércio, ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada SISTEMA MÉTRICO grandeza. Foi assim que, em 1791, surgiu o SISTEMA MÉTRICO DECIMAL. DECIMAL Faz parte do sistema internacional (SI) de unidades. Este é adotado no Brasil e tem como unidade principal e fundamental ometro.

Saiba mais... Metro A palavra metro tem origem grega métron e significa “ o que mede ”. Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro corresponde a uma fração da circunferência da Terra, mais precisamente a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil, o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Aula 12

-^

Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes

Além do metro, que é a unidade fundamental de comprimento, existem ainda seus 291 múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados pelos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili.

Mudança de unidades de comprimento

Utilizamos os múltiplos do metro para medir grandes distâncias e os submúltiplos para medir pequenas distâncias.

Veja os múltiplos e submúltiplos do metro na tabela a seguir:

Tabela 12.1: Múltiplos e submúltiplos do metro.

Múltiplos (^) FundamentalUnidade Submúltiplos quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro km hm dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Observe que cada unidade de comprimento é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

km = quilômetro (mil vezes o metro)

hm = hectômetro (cem vezes o metro)

dam = decâmetro (dez vezes o metro)

m = metro (unidade fundamental)

dm = decímetro (décimo do metro)

cm = centímetro (centésimo do metro)

mm = milímetro (milésimo do metro)

Para a mudança de unidade no sistema métrico decimal, podemos usar uma regra prática, que explicaremos logo a seguir. Por exemplo: o comprimento do terreno retangular onde fica a minha casa é 55,6 m. Quantos centímetros correspondem a essa medida?

Aula 12

-^

Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes

Outro exemplo: 293

Agora, vamos transformar 234 cm em dm.

A medida é 234 cm = 234,0 cm.

Veja a tabela:

km hm dam m dm cm mm 2 3 4, 0

Observe que o último algarismo antes da vírgula e a própria vírgula devem ficar na coluna da unidade indicada inicialmente, ou seja, na coluna do cm. Depois disso, deslocamos a vírgula para a unidade desejada.

Veja:

A vírgula desloca-se para o dm:

km hm dam m dm cm mm 2 3, 4 0

Logo, 234 cm = 23,4 dm.

A seguir, há uma atividade para que você pratique um pouco e fixe esse conceito, que é o pré-requisito para entender as unidades de área que virão a seguir.

Atividade 1 Atende ao Objetivo 1

Complete:

a. 5,3 km = .................. m

b. 2,36 m = ................ cm

e-Tec-Brasil –

Matemática Instrumental

(^294) Unidades de área

Vamos pegar um pedaço de papel e uma régua. Com a régua vamos fazer um retângulo de 10 cm x 5 cm e quadriculá-lo com cinqüenta quadrados de mesmo tamanho.

Veja como ficou o retângulo quadriculado:

Zsuzsanna Kilián

Fonte: www.sxc.hu Figura 12.2: Saber calcular a área do retângulo é fundamental para entender o cálculo da área de outras figuras planas.

e-Tec-Brasil –

Matemática Instrumental

296 No quadrado, como todos os lados são iguais, podemos dizer que a base é igual a l e a altura é igual a l. Então, substituindo na fórmula, temos: Aquadrado l. l Vamos a uma situação prática para que você entenda melhor: Imagine que precisamos fazer um canteiro para replantar 50 mudas de alface de tal forma que cada pé ocupe 400 cm². Qual deverá ser a área desse terreno? Não se assuste com o que foi pedido. Você vai ver que não é complicado resolver a questão. Podemos resolver este problema usando uma regra de três simples, ou seja: 1 pé de alface ocupa 400 cm² 50 pés de alface ocuparão x cm².

pé cm^2 1 400 ⇒ x = 50.400 ⇒ x = 20.000 cm^2 50 x

Área das principais figuras planas

Nesta seção, você vai aprender que a fórmula da área do retângulo é a base para o cálculo de áreas de figuras planas elementares. Observe!

Figura 12.3: Usando unidade de área na prática agrícola.

Ricardo Ferreira Paraizo

Aula 12

-^

Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes

Área do triângulo 297

Veja o retângulo a seguir: traçando uma diagonal, dividimos esse retângulo em dois triângulos iguais.

Você já conhece a fórmula da área do retângulo (A = b. h). Então, o que fazer para determinar a área do triângulo?

Ora, se o retângulo foi dividido em dois triângulos iguais e desejamos saber a área de apenas um deles, basta dividir a área do retângulo por 2. Ou seja:

Atriângulo = b.h 2

Área do paralelogramo

Observe as figuras a seguir. Para o cálculo da área, podemos “cortar” um pedaço do paralelogramo e encaixá-lo do outro lado, transformando-o num retângulo:

Veja que a altura do paralelogramo é a distância de uma base a outra. Sendo assim, a altura é perpendicular à base. Com isso, a área do paralelogramo é igual à área do retângulo obtido, ou seja, o produto das medidas da base pela altura.

Aparalelogramo = b.h

Aula 12

-^

Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes

Agora, construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de “cabeça 299 para baixo” em relação ao outro.

A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio. Assim, a área do trapézio é:

Atrapézio = (^ base maior (B)^ + 2 base menor (b)) ⋅^ h

Atividade 2 Atende ao Objetivo 2

Calcule a área da superfície de um bloco de pedra em forma de paralelogramo de 8 m de base e 6 cm de altura.

e-Tec-Brasil –

Matemática Instrumental

300

Atividade 3 Atende ao Objetivo 2

O quadrilátero ABCD adiante representa um terreno em forma de trapézio, sendo 35% desse terreno ocupado por uma reserva florestal. A área total do terreno ABCD e a área da reserva florestal são respectivamente iguais a:

Dados: AB = 5 km DE = 4 km DC = 2 km a. 14 km² e 4,9 km² b. 15 km² e 5,25 km² c. 14 km² e 6,0 km² d. 15 km² e 6,3 km² e. 10 km² e 6,3 km²

e-Tec-Brasil –

Matemática Instrumental

302 Para fazer a transformação de km^2 para m^2 , vamos construir uma tabela com todas as unidades de área.

Observe que, quando trabalhamos com unidade de área, colocamos em cada casa, à direita da vírgula, dois dígitos. E com a mesma regra prática usada para as transformações de unidades de comprimento, podemos resolver esse problema. Veja:

Então, 3,421 km^2 equivalem a 3.421.000 m^2.

Saiba mais... Medidas agrárias Para medir as superfícies de terrenos, podemos utilizar as medidas agrárias: i. hectare (ha) ii. are (a) iii. centiare (ca)

Se colocarmos a vírgula aqui, lemos a medida em m^2.

Aula 12

-^

Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes

A mudança de unidade se faz da mesma forma que nas medidas de superfície (área). 303

20.000 ca = 2 ha 1 a = 100m^2

ha a ca 2 00 00

• 1 alqueire utilizado em Minas Gerais, Rio de Janeiro e Goiás vale 48.400 m^2 = 4,84 ha.
• 1 alqueire utilizado em São Paulo vale 24.200 m^2 = 2,42 ha.
• 1 alqueire utilizado no Norte vale 27.225 m^2 = 2,7225 ha.

Atividade 4 Atende ao Objetivo 3

Complete:

a. 5 km^2 = ...............m^2

b. 14400 m^2 = ............km^2

c. 0,0242 km^2 =...........m^2

Volume

Quando estudamos o cálculo de área, trabalhamos com figuras da geometria plana. Agora, vamos observar os corpos que temos ao nosso redor, isto é, aqueles que ocupam lugar no espaço, como os rios, os móveis ou qualquer tipo de construção. Freqüentemente, temos de calcular volume de espaço que um tanque, por exemplo, ocupa. Tal conhecimento é fundamental para a agropecuária.

Aula 12

-^

Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes

305

Com isso, o volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura. O volume de um paralelepípedo de dimensões a , b e c é:

O volume de um corpo é a quantidade de espaço que ele ocupa. Quanto maior o espaço ocupado, maior o seu volume, e vice-versa.

Atenção!

Quanto ao volume do cubo, também é o produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura. Como os três comprimentos são iguais, tome um deles e o eleve ao cubo.

V = a x b x c

Mudanças de unidades de volume

Imagine uma caixa d’água que tem volume de 4,387 m 3 (metros cúbicos). Você saberia dizer quantos cubinhos de 1 cm de ARESTA cabem nessa caixa? Veja o diagrama com as unidades de volume e pense um pouco...

V = a^3

ARESTA

Em Geometria, é a linha de intersecção de duas faces de um sólido. Um cubo, por exemplo, tem 12 arestas.

a

a

a

e-Tec-Brasil –

Matemática Instrumental

(^306) km (^3) hm (^3) dam (^3) m (^3) dm (^3) cm (^3) mm 3

As unidades de volume aumentam ou diminuem de 1.000 em 1.000, isto é, cada unidade de volume é 1.000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 1.000 vezes menor do que a imediatamente superior.

km^3 hm^3 dam^3 m^3 dm^3 cm^3 mm^3

4, 387 000 Observe que em cada casa colocamos três dígitos, pois se trata de volume.

Se colocarmos a vírgula aqui, lemos a medida em cm³.

Portanto, 4.387.000,0 cm³, ou seja, cabem 4.387.000,0 cubinhos de 1 cm de aresta dentro dessa caixa d’água. Agora é sua vez! Tente fazer as atividades a seguir para fixar o conceito e os procedimentos para transformar unidades de volume. Depois, tente resolver a atividade-desafio.

Atividade 5 Atende ao Objetivo 4

Complete: a. 3 m^3 = ...................dm^3 b. 5.400 dm^3 = ........... m^3 c. 50.000 mm^3 = ........ cm^3