L'axiome d'Archimède et la théorie des aires en géométrie euclidienne, Esquemas de Matemática

Baixe L'axiome d'Archimède et la théorie des aires en géométrie euclidienne e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity!

Grandeurs et mesures

André PRESSIAT

IUFM d’Orléans-Tours

Equipe DIDIREM - INRP

Grandeurs : le cas des aires

De Euclide à Hilbert

sous la conduite de R. Hartshorne

Les aires chez Euclide La notion d’égalité de figures (triangles) est déjà présente. Pour traiter les questions concernant ce que nous appelons “aire”, Euclide parle d’un nouveau type d’égalité des figures, sans utiliser un nouveau mot pour cela.

Propriétés satisfaites par la nouvelle relation d’“égalité” 3 - Les différences de figures “égales” entre elles sont “égales” 2 - Les sommes de figures “égales” entre elles sont “égales” 4 - Les moitiés de deux figures “égales” sont “égales”. (7’) 5 - Le tout est plus grand que la partie. (9) De plus, Euclide utilise deux autres propriétés admises : 1 - Des figures congruentes sont “égales” 6 - Si deux carrés sont “égaux”, leurs côtés sont égaux.

Figures équidécomposables Deux figures P et P' sont équidécomposables s'il est possible d'écrire chacune d'elles sous forme de réunions de triangles n'empiétant pas l'un sur l'autre :

P = T

1

» T

2

» ... » T

n

P ' = T '

1

» T '

2

» ... » T '

n telles que, pour chaque i , les triangles T i et T' i soient “égaux” (Hilbert emploie le mot “congruents” au lieu de “égaux”). En allemand, le mot correspondant est “zerlegungsgleich” qui signifie “égale décomposition”, ou “égal découpage”. T 1 T 2 T 3 T 4 T' 1 T ' 2 T ' 3 T ' 4

Figures de même contenance (ou équicomplémentaires) Deux figures P et P' sont équicomplémentaires s'il existe des figures Q et Q' telles que : Dans les six premières éditions, Hilbert emploie le mot “inhaltsgleich”, qui signifie littéralement “contenu égal”, ou “superficie égale” ; dans les quatre éditions suivantes, il emploie “ergängzungsgleich” qui signifie “égal par complément”.

- P et Q n'empiètent pas l'une sur l'autre ; - P' et Q' n'empiètent pas l'une sur l'autre ; - Q et Q' sont équidécomposables ;

• P^ »^ Q^ et^ P '^ »^ Q ' sont équidécomposables.

Pour cela, on décompose chacune d'elles en deux triangles : D C A (^) B E G D C B^ E^ F G

• les triangles ADE et CDG pour la première,
• les triangles BCF et CDG pour la seconde. Il suffit de démontrer que ADE et BCF sont congruents. P ~ Q! : P et Q sont équidécomposables. P ≈ Q! : P et Q sont équicomplémentaires.

Equidécomposables équicomplémentaires

fi

Equicomplémentaires Equidécomposables

fi

? Faux sans l’axiome d’Archimède. En admettant l’axiome d’Archimède, résultat non démontré à ce jour par des moyens purement géométriques. La réciproque est vraie dans un plan de Hilbert vérifiant l’axiome d’Euclide ( P ) et l’axiome d’Archimède ( A ) à condition de disposer d’une fonction mesure pour les aires , à valeurs dans son corps des segments.

Bilan provisoire": Dans un plan de Hilbert, ≈ est une relation qui satisfait les propriétés 1, 2 et 3 énoncées au départ. Comment satisfaire les propriétés 4, 5 et 6"? Axiome de de Zolt ( Z ) Si Q est une figure incluse dans la figure P , et si P \ Q a un intérieur non vide, alors P et Q n’ont pas la même contenance. On ne connaît pas à ce jour de démonstration purement géométrique de cet énoncé à partir de la définition de figures d’égale contenance donnée ci-dessus. Dans un plan euclidien dans lequel ( Z ) est satisfait, 4 , 5 et 6 le sont aussi.

• La réciproque du théorème de Pythagore (I.48)
• La caractérisation d’une tangente à un cercle" (si d’un point extérieur à un cercle on mène deux droites coupant le cercle de telle manière que le carré de l’une est égale au rectangle formé par les segments de l’autre, alors la première est tangente au cercle).
• "L’existence d’un triangle isocèle dont les angles à la base sont le double de l’angle au sommet, et la construction du pentagone régulier à la règle et au compas. L’axiome ( Z ) est satisfait s’il existe dans le plan de Hilbert avec ( P ), une fonction mesure pour les aires.

Définition : Une fonction mesure pour les aires sur un plan de Hilbert est une application a de l’ensemble P des figures à valeurs dans un groupe abélien ordonné G telle que":

• Pour tout triangle T , a ( T ) > 0 G
• Si T et T’ sont des triangles congruents, alors a ( T ) = a ( T’ ),
• Si deux figures P et Q n’empiètent pas l’une sur l’autre, alors :

a ( P » Q ) = a ( P ) + a ( Q ).

a ( T ) est appelée aire de la figure P , relativement à la fonction a.

Hartshorne démontre l’existence et l’unicité d’une telle fonction a dans un plan de Hilbert avec (P), prenant ses valeurs dans le corps des segments et satisfaisant la formule usuelle donnant l’aire d’un triangle : a(ABC) = 1 / 2 bh , b désignant la longueur de l’un des côtés, et h la hauteur correspondante. Il convient de démontrer que la définition est indépendante de la base du triangle choisie, et de la triangulation utilisée pour décomposer une figure (démonstration est assez délicate). On en déduit que dans un plan euclidien, toute la théorie euclidienne des aires est satisfaite à condition d’interpréter l’"égalité des figures en termes de figures de même contenance (ou de figures équicomplémentaires).

On peut même démontrer le résultat suivant : Dans un plan de Hilbert avec ( P ), muni d’une fonction mesure des aires a, deux figures P et P’ ont même contenance si et seulement si a ( P ) =" a ( P’ ). Dans un tel cadre, la théorie des aires obtenue à l’aide de la fonction a et celle des figures de même contenance sont essentiellement équivalentes.