Geometria: Comprimento, Área e Volume de Paralelepípedos, Prismas, Pirâmides e Cilindros, Resumos de Geometria

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GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL

1.1. PARALELEPÍPEDOS RETÂNGULOS

Um paralelepípedo retângulo é um prisma reto cujas bases são retângulos.

AB  CD  A ' B ' C ' D ' a  COMPRIMENT O  BC  AD  B ' C ' A ' D ' b  LARGURA  AA ' BB ' CC ' DD ' c  ALTURA 

BD ' B ' D  A ' C  AC ' d  COMPRIMENTO DAS DIAGONAIS 

 

BD  d 1  COMPRIMENTO DE UMA DIAGONAL DE UMA BASE

Sendo A a área total e V o volume do paralelepípedo retângulo, são verdadeiras as seguintes relações: d  a^2  b^2  c^2 (1) A  2 . ab  bc  ac  (2) V  a. b. c^ (3)  a  b  c  2  d^2  A (4)

Sendo B a área da base, AL a área lateral, AT a área total, V o volume e h a altura

de um prisma, são verdadeiras as seguintes relações:

AT  AL  2 B V  B. h (8)

1.4. PIRÂMIDES

Uma pirâmide tem apenas uma base (polígono). As faces laterais são triângulos. A altura é a distância entre o vértice oposto à base e o plano da base. A reunião das faces laterais com a base é chamada superfície total da pirâmide.

Uma pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e cuja projeção ortogonal ao vértice sobre o plano da base é o centro da base. Em toda pirâmide regular as arestas laterais são triângulos isósceles (ou equiláteros) congruentes. Chamamos de apótema de uma pirâmide regular a medida de qualquer segmento de extremidades no vértice da pirâmide e no ponto médio da aresta da base (^)  m '.

Um tetraedro é uma pirâmide triangular.

Um tetraedro regular é um tetraedro que possui as seis arestas congruentes. As faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros congruentes.

Sendo R o raio da base, B a área da base, AL a área lateral, AT a área total, V o

volume e h a altura de um cilindro, são verdadeiras as seguintes relações:

Cilindro reto:

B   R^2 AL  2. . R. h AT  AL  2 B V  B. h (10)

Cilindro: V  . R 2. h

1.6. CONE

Um cone tem apenas uma base, que é um círculo. Altura é a distância entre o vértice e o plano da base. A reta que passa pelo vértice e pelo centro da base é chamada eixo do cone e os segmentos com extremidades no vértice e na circunferência da base são chamados geratrizes do cone.

Um cone reto (ou cone de revolução) é um cone cujo eixo é perpendicular à base.

Um cone oblíquo é um cone cujo eixo é oblíquo em relação à base.

Uma secção meridiana de um cone reto é a intersecção do cone com um plano que contém seu eixo. As secções meridianas de um cone reto são triângulos isósceles congruentes.

Um cone equilátero é um cone reto cuja secção meridiana é um triângulo equilátero.

Num cone equilátero, as geratrizes e os diâmetros da base são congruentes.

1.7. SEMELHANÇA DE SÓLIDOS

1. Dois sólidos de mesma natureza são ditos semelhantes se, e somente se, possuem os elementos homólogos ordenadamente proporcionais.

Chamaremos razão de semelhança   k à razão entre dois elementos lineares homólogos (correspondentes) de sólidos semelhantes.

Se dois sólidos são semelhantes e k é a razão de semelhança, temos:  k = razão entre arestas de faces homólogas;  k = razão entre alturas homólogas;  k = razão entre raios de bases homólogas;  (^) k = razão entre geratrizes homólogas.

2. A razão entre áreas homólogas de sólidos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Assim:  k^2 = razão entre áreas de bases;  k^2 = razão entre áreas laterais;  k^2 = razão entre áreas totais.

Importante: Secções em Pirâmides e Cones

Pode-se demonstrar facilmente (usando semelhança de triângulos) que, seccionando- se uma pirâmide ou um cone por um plano paralelo ao plano da base, obtém-se uma nova pirâmide ou cone semelhante ao sólido primitivo.

O : centro da base maior R : raio da base maior O ' : centro da base menor r : raio da base menor h^ : altura g : geratriz

AL  R  r  g (15) V  3 h  R 2  Rr  r^2  (16)

A fórmula (15) só vale se (^) OO 'for perpendicular às bases (tronco de cone reto).

1.9. SUPERFÍCIES ESFÉRICAS E ESFERAS

Definições: Seja P um ponto e R um número positivo. A superfície esférica de centro P e raio R é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a P é igual a R. A esfera de centro P e raio R é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a P é menor ou igual a R. Pode-se provar que a área de uma superfície esférica e o volume de uma esfera de

raio R são respectivamente iguais a 4  R^2 e 34  R^3.

Assim: A  4  R^2 (17) 3 3

V ^4  R (18)

Sólidos de Revolução

Seja  um semiplano de origem e (eixo) e nele uma superfície  (geratriz) que não

intercepta o eixo. Girando esse semiplano em torno de e , a superfície  gera um sólido

chamado sólido de revolução.

O cálculo do volume de sólidos de revolução pode ser feito de dois modos: 1º) Usando as expressões de volumes dos sólidos que já são conhecidos (cilindro, cone, troncos, etc.)

2º) Usando a fórmula V  2. . S. d (20)

Onde:  V = volume do sólido gerado;  S = área da superfície geradora;  d = distância do centro de gravidade da superfície ao eixo de rotação. A expressão anterior é chamada de fórmula de Pappus-Guldin para o cálculo de volume de sólidos gerados por rotação em torno de um eixo.

1.11. SUBCONJUNTOS DE UMA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Fuso esférico

R : raio da superfície esférica  : ângulo central do fuso

90

 R^2 

Afuso  (  medido em graus)

Calota esférica

Acalota  2  Rh

Zona esférica

Azona  2  Rh

Segmento esférico de uma base

V  6 h  3 r^2  h^2 

1.13. COMPLEMENTOS DE GEOMETRIA

Diedros (ou Ângulos Diédricos)

Definições:

Sejam  1 e  2 dois semiplanos com origem em numa reta r. A reunião dos semiplanos

 1 e  2 é chamada diedro (ou ângulo diédrico). A reta r é chamada de aresta do diedro

e os semiplanos  1 e  2 são chamados faces do diedro.

Secção Reta e Medida de um Diedro

Seja  1 r  2 um diedro com aresta r e faces  1 e  2.

Seja



OA uma semi-reta contida em  1 tal que O  r e OA  r

 e seja

 OB uma semi-reta

contida em  2 tal que O  r e OB  r



. O ângulo AÔB é chamado de secção reta do

diedro e, por definição, a medida do diedro é a medida do ângulo AÔB. As medidas dos diedros são usadas para comparar e classificar os mesmos. Assim sendo, podemos definir expressões como diedro agudo, diedro reto, diedro obtuso, diedros complementares, diedros suplementares, etc.

Triedros (ou Ângulos Triédricos)

Sejam VA , VB  e VC  três semi-retas não-coplanares com origem no ponto V. A reunião

dos ângulos AV B

 , AV C

 e B VC

 é chamada triedro (ou ângulo triédrico) V  A , B , C .

O ponto V é chamado vértice do triedro; as semi-retas

 VA ,

 VB e

 VC são chamadas

arestas do triedro e os ângulos AV B

 , AV C

 e B VC

 são chamados faces do triedro.