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6 GEOMETRIA DESCRITIVA: CONCEITOS BÁSICOS. 6.1 NOÇÕES BÁSICAS DE DESENHO TÉCNICO. Para o desempenho das várias atividades na sociedade, o homem,.
Tipologia: Exercícios
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(Original produzido pelo Prof. Admir Basso)
Departamento de Engenharia Civil da UFSCar Expressão Gráfica para Engenharia
Para o desempenho das várias atividades na sociedade, o homem, necessita de sistemas de comunicação. Assim é, que se apresenta a linguagem – escrita ou falada – como os dois sistemas de comunicação mais comuns. Esses dois sistemas de comunicação, em determinadas condições tornam-se ineficientes. A comunicação naval utiliza-se de um sistema baseado em bandeiras. A comunicação entre mudos é feita através de movimento dos dedos – linguagem dos sinais. Entre cegos a comunicação é feita através de um sistema especial de relevos – o sistema braile. Em algumas especialidades do conhecimento humano, a fala ou a escrita, como sistema de comunicação, também é insuficiente. Neste caso, destacam-se as engenharias e a arquitetura. Nessas especialidades a criação ou manipulação de objetos tridimensionais torna-se até impossível através da linguagem. O sistema de comunicação desenvolvido nessa especialidade foi o DESENHO. Entende-se o desenho como um sistema de representação dos objetos. Estes objetos são representados normalmente em um espaço bidimensional. Pense no projeto de um carro e de todos os seus componentes. Precisa haver uma forma de combinação e padronização dos desenhos de modo que todos os envolvidos no processo de produção, sejam engenheiros mecânicos, de produção, elétricos, ou outros, possam entender facilmente as simbologias utilizadas. A representação de um objeto tridimensional, como este carro, em um espaço bidimensional, como um papel ou uma tela de computador, tem como finalidade dois objetivos. O primeiro é mostrar – comunicar – a forma que o objeto tem na realidade, isto é, reproduzir o aspecto que o objeto teria. Esse tipo de representação denomina-se DESENHO PERSPECTIVO ou PERSPECTIVA simplesmente. Quando se deseja colocar em evidência as dimensões do objeto, dimensões estas, cujo conhecimento é imprescindível para a construção do objeto, tem-se o segundo objetivo. Essa operação gráfica é denominada DESENHO PROJETIVO. Para se atingir estes dois objetivos, isto é, a Perspectiva e o Desenho Projetivo realiza-se uma operação gráfica na qual liga-se o objeto real a sua representação em um plano. Essa operação gráfica é denominada PROJEÇÃO.
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pontos são geradas considerando-se a superfície CÔNICA. Veja a representação na Figura 6.2.
Figura 6.2. PROJEÇÕES CÔNICAS DE PONTOS
Por este motivo, porque a superfície gerada parece um cone quando o centro de projeções está a uma distância finita do plano de projeções, o sistema de projeção é denominado SISTEMA CÔNICO DE PROJEÇÕES ou PROJEÇÕES CÔNICAS. Colocando o centro de projeções a uma distância infinita do plano de projeções (ou seja, o CP não poderá ser visualizado na figura de representação do espaço), tem-se o segundo sistema de projeções. A situação do Centro de Projeções será dada por uma reta “t” denominada DIREÇÃO DAS PROJETANTES ou DIREÇÃO DE PROJEÇÕES (Figura 6.3).
t: Direção das Projetantes. π: Plano de Projeções. A’: Projeção do ponto A.
Figura 6.3. PROJEÇÃO DO PONTO A SEGUNDO A DIREÇÃO t
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A projeção de um ponto “A” qualquer do espaço será a intersecção, com o plano de projeções, de uma reta que contenha o ponto A e seja paralela à direção das projetantes, conforme Figura 6.4.
Figura 6.4. DIREÇÃO t DAS RETAS PROJETANTES
Repetindo-se a operação para vários pontos do espaço, as retas projetantes serão geratrizes de uma superfície CILÍNDRICA. Este sistema de projeções é denominado SISTEMA CILÍNDRICO DE PROJEÇÕES ou PROJEÇÕES CILÍNDRICAS. A direção de projeções pode assumir uma posição particular. A direção de projeções pode ser perpendicular (formando ângulo reto) ao plano de projeções, conforme mostra a figura 6.5. Neste caso o sistema é denominado SISTEMA CILÍNDRICO ORTOGONAL DE PROJEÇÕES.
Figura 6.5. PROJEÇÕES CILINDRICAS ORTOGONAIS DE PONTOS
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6.2 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS
Antes de iniciarmos o estudo das projeções cilíndricas ortogonais sobre planos ortogonais, aprofundaremos o estudo sobre projeções cilíndricas. Isto porque os conceitos fundamentais independem do tipo de projeção. Os conceitos fundamentais necessários são os teoremas que regem o sistema em estudo. Não iremos demonstrá-los, pois a revisão de tais teoremas tem a finalidade de fornecer-nos as ferramentas necessárias para trabalhar com o sistema de representação e entender os conceitos básicos. A seguir veremos os conceitos individualizados para retas. Pense que as figuras e objetos que vamos trabalhar são mais complexos, formados por diversos segmentos de retas e planos. Por isso, é importante estudar conceitos genéricos antes para depois poder aplicar mais facilmente. Vamos lá?
Teorema 01.
A projeção cilíndrica de uma reta do espaço será: a) pontual se essa reta for paralela à direção de projeções. b) uma reta se a reta do espaço não for paralela à direção de projeções.
Para determinarmos a projeção de uma reta não paralela à direção de projeções é suficiente determinarmos a projeção de dois pontos a ela pertencentes. Assim, consideramos a reta “s” formada pelos pontos “A” e “B”.
Figura 6.6. TEOREMA 1.
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Analisando-se a figura anterior, pode-se afirmar que: a) neste caso, pode-se observar que s’ é um ponto que coincide com A’ e B’; b) aqui, s’ é reta que possui o segmento de reta A’ B’, que é a projeção dos pontos A e B, respectivamente.
Teorema 02.
Duas retas paralelas entre si têm projeções cilíndricas: a) paralelas entre si, quando não são paralelas à direção de projeções e não pertencem a um plano paralelo à direção de projeções. b) coincidentes, quando não são paralelas à direção de projeções, mas pertencerem a um plano paralelo à direção de projeções. c) pontuais, quando forem paralelas à direção de projeções.
Figura 6.7. TEOREMA 2.
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Teorema 04.
Uma figura contida em um plano paralelo ao plano de projeções tem sua projeção cilíndrica em VERDADEIRA GRANDEZA.
Figura 6.9. TEOREMA 4.
Na figura 6.9 pode ser observado que a projeção da figura triangular formada pelos vértices A, B e C, contida no plano β aparece em
dos vértices A’, B’ e C’. Isto só é possível devido ao fato, já ressaltado no
Teorema 05.
Qualquer figura contida em um plano paralelo à direção de projeções, tem sua projeção coincidente com a reta intersecção do plano que a contém com o plano de projeções.
Figura 6.10. TEOREMA 5.
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Observe na figura 6.10 que a projeção da figura triangular formada pelos vértices A, B e C, contida no plano β, que é paralelo à direção projetante t, aparece reduzida a um segmento de reta que contém os pontos A’, B’ e C’. Neste caso, isto só é possível devido ao fato, já ressaltado no teorema 5, de que o plano β é paralelo à direção projetante.
Teorema 06.
Duas retas ortogonais ou perpendiculares entre si, sendo que uma delas é paralela ao plano de projeções, terão suas projeções cilíndricas ORTOGONAIS perpendiculares entre si.
Figura 6.11. TEOREMA 6
Observando a Figura 6.11, podemos ver que as retas r e s, contidas em planos diferentes e ortogonais (ou seja, perpendiculares) entre si, possuem as projeções r’ e s’ também ortogonais ou perpendiculares entre si. Note que o Teorema 06 só é válido para PROJEÇÕES CILÍNDRICAS ORTOGONAIS, ou seja, quando a direção de projeção é perpendicular ao plano π. Agora vamos introduzir um novo conceito que é muito importante para o nosso estudo de Geometria Descritiva. A reta gerada pela intersecção dos planos β e π, é denominada TRAÇO do plano β com o plano π. Esta reta – o TRAÇO – pode ser observada na figura 6.10. Um outro aspecto interessante do nosso estudo é que uma situação de geometria descritiva pode ser representada por letras e símbolos. O Teorema 6 demonstrado na Figura 6.11 pode ser descrito da seguinte forma:
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O sistema de Felipe Büche, que associa um plano de projeções e a distância do ponto a esse plano – é a geometria cotada – largamente utilizada em representações topográficas. O outro sistema, de Gaspar Monge, combina dois sistemas cilíndricos ortogonais de projeções, tais que, os planos de projeções sejam perpendiculares entre si. Esse sistema é a base do sistema de representações utilizado em desenho técnico. Monge quando idealizou a utilização de dois sistemas cilíndricos ortogonais adotou uma simbologia particular que vamos estudar. Esse sistema de representação foi idealizado para uso na matemática e está representado na Figura 6.12.
PH: Plano Horizontal. PV: Plano vertical. PHA: Plano Horizontal Anterior. PHP: Plano Horizontal Posterior. PVS: Plano Vertical Superior. PVI: Plano Vertical Inferior. LT: Linha de Terra.
Figura 6.12. REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA DE MONGE.
Os dois sistemas cilíndricos ortogonais são perpendiculares entre si, e são denominados PLANOS VERTICAIS (PV) e PLANO HORIZONTAL (PH). Os planos: horizontal e vertical são secantes e a reta intersecção é denominada LINHA DE TERRA (LT).
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O plano vertical divide o plano horizontal em dois semiplanos denominados: PLANO HORIZONTAL ANTERIOR (PHA) e PLANO HORIZONTAL POSTERIOR (PHP). O plano horizontal divide o plano vertical em dois: PLANO VERTICAL SUPERIOR (PVS) e PLANO VERTICAL INFERIOR (PVI). Os quatros semiplanos descritos anteriormente definem quatro diedros retos, ou seja, quatro diferentes regiões do espaço separadas pelos semiplanos. Esta simbologia pode ser visualizada na Figura seguinte.
Figura 6.13. VISTA LATERAL DO SISTEMA DE MONGE E SEUS RESPECTIVOS DIEDROS.
O PRIMEIRO DIEDRO (1º D) é formado pelos semiplanos vertical superior e horizontal anterior. Os semiplanos vertical superior e horizontal posterior definem o SEGUNDO DIEDRO. O TERCEIRO DIEDRO e QUARTO DIEDRO são definidos pelos seguintes semiplanos: horizontal posterior com vertical inferior e vertical inferior com horizontal anterior respectivamente (Figuras 6.12 e 6.13). As direções das projeções mostradas na Figura 6.12: tV do plano vertical e tH do plano horizontal não são representadas. Essas direções de projeções são perpendiculares aos respectivos planos de projeções. Toda reta projetante será paralela à direção de projeções. Aqui você pode ver a aplicação do teorema “Se duas retas são paralelas, e um plano é perpendicular a uma delas então o plano será perpendicular à outra” nos permite afirmar que toda reta projetante será perpendicular ao plano de projeções. Entender este teorema vai ajudar a simplificar a representação dos desenhos.
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Figura 6.15. REPRESENTAÇÃO SIMPLIFICADA DA ÉPURA.
A linha de terra gerada pela intersecção dos planos horizontal e vertical, em épura, é designada por ”LT”, “L” à esquerda e “T” à direita do leitor da épura (Figura 6.15). Lembre-se que na seção anterior do nosso estudo, também chamamos esta linha de TRAÇO. Os limites dos semiplanos horizontais e verticais, bem como as suas abreviações, não precisam ser representados em épura, podendo ficar subentendido, já que não haverá alteração do sistema de representação. A épura será o “espaço” necessário e suficiente para que possamos ter os primeiros conhecimentos da aplicação do desenho técnico. A seguir vamos começar a entender que existem diversas formas de padronização que precisamos conhecer para facilidade o entendimento dos objetos.
Em épura os traçados das linhas submetem-se às seguintes convenções: a) As linhas que servem para a representação dos objetos são de traço contínuo para as partes vistas e interrompidas para as partes invisíveis. Um ponto de um objeto é visto em projeção horizontal, se o raio visual do observador (suposto colocado no infinito acima do plano horizontal), não atravessar o objeto antes de atingir o ponto considerado, é e oculto no caso contrário. Para a projeção vertical temos a mesma postura. b) As linhas de construção e as linhas de chamada são com traços interrompidos. c) As projeções de pontos do espaço são representadas por letras maiúsculas. Na projeção vertical recebem o índice 2 (projeção do ponto A: A 2 ) e na projeção horizontal recebem o índice 1 (A 1 ). d) As projeções de retas ou semi-retas são designadas em projeções por letras minúsculas acrescidos dos índices 1 e 2 para as projeções horizontais e verticais respectivamente. e) Os planos são representados por letras do alfabeto grego.
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A projeção de um ponto no primeiro diedro acontece conforme Figura 6.16.
a) no espaço. b) em épura.
Figura 6.16. REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO A NO ESPAÇO E EM ÉPURA.
Na Figura 6.16, para determinarmos a projeção horizontal A 1 do ponto A, passamos uma perpendicular ao plano horizontal por A – semi- reta AA 1. Para determinarmos a projeção vertical A 2 do ponto A, passamos por A a perpendicular ao plano vertical de projeções – semi-reta AA 2. Por A 1 e A 2 – projeções do ponto A – traçamos A 2 a e A 1 a perpendiculares à Linha de Terra (LT). O quadrilátero AA 1 aA 2 é um retângulo, porque tem os lados paralelos dois a dois, como perpendiculares ao mesmo plano, e os ângulos retos. Os lados são iguais dois a dois – AA 2 = A 1 a e AA 1 = A 2 a. A distância do ponto A ao plano horizontal denomina-se COTA; a distância do ponto A ao plano vertical denomina-se AFASTAMENTO. A cota do ponto A – semi-reta AA 1 – é igual à perpendicular A 2 a. O afastamento do ponto A é igual a perpendicular A 1 a. Essas duas perpendiculares – A 2 a e A 1 a – concorrem num mesmo ponto da linha de terra por pertencerem ao plano que contém o retângulo. Plano este perpendicular ao plano horizontal por conter uma reta perpendicular ao plano horizontal. O mesmo acontecendo com o plano que contém o retângulo em relação ao plano vertical. Sabemos da Geometria de Posição que quando um plano é perpendicular a dois outros que se cortam, é perpendicular à intersecção desses dois últimos, concluímos que o plano do retângulo é perpendicular à linha de terra (LT). Quando efetuamos a coincidência do plano vertical com o horizontal, a semi-reta A 2 a continua perpendicular à linha de terra pelo ponto “a”.
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traço vertical da reta coincide com o próprio traço (V ≡ V 2 ). A projeção horizontal do traço vertical pertence à linha de terra. Podemos observar que a reta que acabamos de estudar não tem nenhuma característica especial com relação aos planos de projeções. É uma reta qualquer do espaço. Mas em geometria descritiva temos diversos casos onde um conjunto de retas assume posições particulares com relação aos planos de projeções. Essas retas são ditas NOTÁVEIS e podem ser conhecidas através do estudo da Figura 6.18.
a) t // PV ∧ t // PH b) h // PH c) f // PV
d) p ⊥ PH ∧ p // PV e) t ⊥ PV ∧ t // PH f) t ∈ β ∧ β ⊥ PH e β ⊥ PV
Figura 6.18. POSIÇÃO EM ÉPURA DAS RETAS NOTÁVEIS.
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A primeira reta da figura 6.18 – t – é paralela a dois planos de projeções. O teorema 04 visto em “noções básicas” nos possibilita afirmar que qualquer segmento de reta (AB) pertencente a ela se projeta em verdadeira grandeza (VG). As projeções A 2 B 2 e A 1 B 1 tem o mesmo comprimento que o segmento AB do espaço. Nos casos “b” e “c”, as retas – h e f – são paralelas ao plano horizontal e ao plano vertical, respectivamente. As retas – p e v – representadas nos casos “d” e “e” são perpendiculares aos planos horizontal e vertical, respectivamente. O teorema 01 nos afirma que as projeções horizontal e vertical, respectivamente, dessas retas será um ponto. O teorema 04 nos diz que qualquer segmento de reta contido nelas se projeta em VG nas projeções vertical e horizontal, respectivamente. A reta – t – do caso “f” é inclinada aos dois planos de projeções, porém, pertence a um plano perpendicular aos dois planos de projeções. Sabemos da geometria de posição que:
Você conseguiu imaginar o posicionamento destas retas notáveis no espaço? É importante que você saiba tanto passar a representação do espaço para uma épura quanto o contrário. Ou seja, a partir do estudo da épura, você consegue observar a reta no espaço. Vamos fazer este exercício mental super importante... Depois que você conseguiu imaginar, veja se confere com os desenhos da Figura 6.19 seguinte.
a) b)
