Baixe Geometria Analítica: Propriedades de Vetores e Ortogonalidade e outras Exercícios em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity!
Geometria Analítica
PRODUTO ESCALAR
Chama-se produto escalar de dois vetores u^ ^ x 1 i y 1 j z 1 k e v x 2 i y 2 j z 2 k , e se representa por u v x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2.
- Propriedades Para quaisquer vetores u , v e w e o número real
, é fácil verificar que: u^ v v u
u^ v^ w ^ u v u w
u^^ v ^ (^ ^ u ) v u (^ v )
u^ ^ v ^0 se u^ ^0 e u^ ^ u ^0 , se u ^ ^0 = (0,0,0) 2 u u u De fato vimos que o módulo do vetor
u x , y , z
é dado por u x^2 y^2 z^2 , tendo em vista que
u u x , y , z x , y , z x^2 y^2 z^2
, conclui-se que u u u .
- Ortogonalidade entre dois vetores Dois vetores são ortogonais se, e somente se, u v 0 Exemplos:
1) Dados os vetores u^ ^3 ,^ ^5 ,^8 e v^ ^4 ,^ ^2 ,^1 . Determine u^ ^ v.
2) Sejam os vetores u^ ^3 ,^2 ,^1 e v^ ^ ^1 ,^ ^4 ,^1 . Calcular:
a) u^^ ^ v ^ ^2 u v ^ ^2 ,^2 ,^0 ^ ^7 ,^8 ,^3 = 14 – 16 + 0 = - 2
b) ^3 ,^2 ,^1 ^ ^3 ,^2 ,^1 ^32194114
u u ^2 ^2 ^2
c) 0 ^ u^ ^0 ,^0 ,^0 ^ ^3 ,^5 ,^8 = 0
Exercícios 1)Dados os vetores u^ = (1, -2, 3) e v^ = (-4, 2, -1), calcule: a) ( u^ + v^ ). (2 u^ – 3 v^ ) b) (2 u^ + 3 v^ ). ( u^ – v^ )
- Dados os vetores u = (4, a , -1) e v = ( a , 2, 3) e os pontos A(4,-1,2) e B(3,2,-1), determinar o valor de a tal que u ^ (^ v BA )^5
- Dados os vetores u = (3, 2, 1) e v = (-1, -4, -1). Calcular: a) 2 u b) ( u^ + v^ ). (2 u^ – v^ )
- Sendo u 4 e v 2 e u . v =3, calcular ( u
- Efetue as operações indicadas com os vetores u^ ^3 i^ k , v^ ^ i j ^2 k e w^ ^3 j. a) w - v b) 6 u 4 w c) v 2 w
- Qual o valor de
para que os vetores a^ ^ ^ i ^2 j ^4 k e b^ ^2 i^ (^1 ^2 ^ ) j ^3 k sejam ortogonais.
- Dados os pontos A(4,0,-1) , B(2,-2,1) e C(1,3,2) e os vetores u = (2, 1, 1) e v = (-1, -2, 3),
obter o vetor X^ tal que 3 X^ ^2 v X AB^ u ^ v.
- Prove que A(-1,2,3) , B(-3,6,0) e C(-4,7,2) são vértices de um triângulo retângulo.
