Baixe Análise de Retas e Círculos e outras Exercícios em PDF para Geometria, somente na Docsity!

Profª Msc. Débora de Oliveira Bastos

IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

Matemática I

para Tecnólogo em Construção de Edifícios

DISCIPLINA CARÁTER CÓDIGO

MATEMÁTICA I- Cálculo I (^) obrig 11

CRÉDITOS LOCALIZAÇÃO NO QSL CH TOTAL PRÉ-REQUISITOS EIXO DE FORMAÇÃO

05 1 o^ período 75h Fundamentos

de Matemática

Fundamentos

EMENTA

Plano coordenado: Distância entre Pontos. Equação da Reta. Equação da

Circunferência, Trigonometria: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo,

Identidades, Circulo Trigonométrico. Aplicações. Funções de uma variável real

Função Exponencial e Logaritmo. Limites: Definição e Propriedades. Limites

Algébricos, Trigonométricos e Transcendentes. Derivada: definição Propriedades e

Cálculo.

BIBLIOGRAFIA

1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P. e EDWARDS, Bruce H. Cálculo com

Aplicações. Editora LTC, 4. Ed.

2. HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um curso moderno e suas

aplicações. Editora LTC, 6. Ed.

3. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do

Brasil,1982.

4. MENEGHETTI, André, et al.Pré-Cálculo. IMEF Furg. Rio Grande, 2012.

Programa.

1. Sistemas de Coordenadas no Plano. Sistema de Coordenadas no Plano. Representação de Pontos no Plano. Distância entre dois pontos no Plano. Cálculo do Coeficiente Angular da Reta. Equação da Reta. Posições relativas da reta no plano. Interseção de retas. Distância de um Ponto a uma Reta. Distância entre Retas Paralelas. Equação de Circunferência. Equação da Parábola. Equação da Elipse. Equação da Hipérbole.
2. Funções. Definição. Domínio, Imagem e Gráfico. Funções Clássicas nos Reais: Identidade, Linear, Quadrática, Valor Absoluto. Operações Algébricas com Funções. Composição de Funções. Função Inversa. Função Logaritmo e Exponencial. Funções Trigonométricas Inversas.
3. Limites. Ideia Intuitiva. Definição e Propriedades. Cálculo de Limites Algébricos. Limites Trigonométricos. Limites ao Infinito. Limites Transcendentes. Continuidade de Funções.
4. Derivadas. Definição e Propriedades. Interpretação Geométrica. Regras de Derivação. Derivação da Função Composta. Derivada das Funções Trigonométricas. Derivada das Funções Inversas. Derivada das Funções transcendentes. Derivadas de Ordem Superior.

Geometria Analítica

A Geometria analítica tem como objetivo estudar os entes geométricos, mas com as facilidades da álgebra, possível através da análise de equações. Estudaremos o ponto, a reta, o círculo, a parábola, a hipérbole e a elipse, inseridos no sistema de referência de coordenadas clássico: O plano cartesiano.

1. Plano Cartesiano

O plano cartesiano é composto por dois eixos ortogonais, cuja intersecção é a referência principal do sistema: a origem O (0,0). As coordenadas dos pontos são determinadas a partir do deslocamento, em relação à origem, necessário até o ponto. Cada ponto é localizado por duas coordenadas. P(xp, yp) 1ª coordenada – abscissa – x 2ª coordenada – ordenada - y

Os eixos dividem o plano cartesiano em quatro partes, chamados quadrantes. Orientados no sentido anti-horário como na figura ao lado.

 Deslocamento à esquerda da origem: x < 0.  Deslocamento à direita da origem: x > 0.  Deslocamento abaixo da origem: y < 0.  Deslocamento acima da origem: y > 0.  Ponto pertence ao eixo ox: y = 0. Veja ponto A na figura acima.  Ponto pertence ao eixo oy: x = 0. Veja ponto B na figura acima.

Exemplo: Representar os pontos, a seguir, no plano cartesiano: A(1,2),

B(2,1), C(3, 1), D(0,1), E(3,0), F(2,1), G(4,3), H(1,0) e I(0,5).

II Q^ I^ Q

III Q IV^ Q

2. Distância entre dois pontos no plano

Distância entre quaisquer dois objetos é a medida do menor caminho que liga esses dois objetos. No caso dos objetos serem pontos, o menor caminho entre eles é determinado por um segmento de reta. Notação: d(A,B) Lê-se: Distância entre A e B.

Exemplo: Determinar a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5).

Para generalizar o processo, a fim de obter uma fórmula para a distância entre dois pontos, analisaremos a seguinte situação hipotética: Considerando dois pontos não alinhados horizontalmente, nem verticalmente, podemos obter um triângulo retângulo, definido pelas coordenadas de A e de B. Sempre podemos determinar a medida dos catetos:  Cateto horizontal: xb – xa.  Cateto vertical: yb – ya.

Assim pelo Teorema de Pitágoras:

d(A,B)² = (xb  xa)²+ (yb  ya)² e portanto:

d( A,B) (xb xa)²(yb ya)²

Exemplos: 1. Calcule a distância entre os pontos: (a) A(1,2) e B(2,1).

Como xm deve ficar a mesma distância de xa e xb esta

distância é 2

x (^) b xa , mas essa medida não é xm, pois a

abscissa do ponto M deve ser considerada o deslocamento em relação à origem, então

xm = xa + 2

x (^) b xa

2

2 x (^) a xbxa

xm = 2

x (^) a xb

Analogamente, para obter a ordenada do ponto M, partimos da distância de ym a yb, acrescentando a distância a yb.

2

2yb ya yb 2

ya yb ym yb

  

   2

y (^) a  yb 

 

  

   2

y y , 2

x x M a b a b

Exemplo: 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento A(3,1) e B(5,3). Apenas aplicando a fórmula

 4 , 2  2

1 3 , 2

3 5 2

y y , 2

x x M a^ b a b  

  

^    

  

   M (4,2)

2. Determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M(2,1) é o ponto médio do segmento AB, em que A(4,0).

M  

  

   2

y y , 2

x (^) a xb a b   (^)  

  

 ^   2

0 y , 2

4 x 2 , 1 b b

2 2

4 xb   4 + xb = - 4 xb = - 4 – 4 xb = - 8

1 2

yb  yb = 2

B( -8, 2)

4. Estudo da Reta

Os pontos A (1,2), B(2,3) e C(4,5), pertencem a mesma reta?

Trace uma reta passando por A e B e C estará nela. A questão é que não podemos nos basear em gráficos, mesmo que bem feitos.

Devemos caracterizar a reta para afirmarmos que A, B e C estão alinhados. Que condição satisfazem?

Um conjunto de pontos pertence a uma mesma reta se a taxa de variação

Δx

Δy entre dois quaisquer de seus pontos é constante.

Taxa de variação entre A e B: 1 2 1

(^3 2)  

  

  b a

b a x x

y y Δx

Δy

Taxa de variação entre B e C: 1 4 2

5 3  

  

  c b

c b x x

y y Δx

Δy

Taxa de variação entre A e C: 1 4 1

(^5 2)  

  

  c a

c a x x

y y Δx

Δy

Concluímos o porquê dos pontos A, B e C estarem alinhados.

Um conjunto de pontos pertencem a uma mesma reta quando a taxa de

variação x

y 

 para qualquer dois pontos é constante, independe dos pontos

escolhidos. Esta taxa de variação é chamada de coeficiente angular da reta. Observe a figura abaixo:

Notação do coeficiente angular: a. Sendo A(xa,ya) e B(xb, yb), temos:

a = x

y 

  b a

b a x x

y y a 

 

Observe que AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo, tal que um dos ângulos internos é . y é o cateto oposto a .

x é o cateto adjacente a .

Portanto o coeficiente angular é: a = tan.

Em que  é o ângulo formado entre a reta e o sentido positivo do eixo ox.

Exemplos: 1. Determinar o coeficiente angular da reta que contém os

pontos A(3,1) e B(1,4).

2. Determinar o coeficiente angular da reta, cujo gráfico é: 5. Equações da Reta

Vamos estudar três tipos de equação de reta: Equação fundamental, reduzida e geral.

2. Determine a equação reduzida da reta, que contém os pontos A(1,2) e

B(4,6).

c. Equação geral da reta.

Este tipo de equação é usada na fórmula da distância entre ponto e reta, por isso precisamos conhecer este formato:

mx + ny + k = 0

Em que m, n e k são constantes reais e m e n não são nulas simultaneamente. Para quem sabe calcular determinantes de ordem 3, podemos obter a equação geral da reta diretamente, conhecidos dois de seus pontos A(xa,ya) e B(xb,yb) pela equação envolvendo determinante:

0 x y 1

x y 1

x y 1

b b

a a 

Obtemos este formato apenas manipulando qualquer equação da reta algebricamente.

Exemplo: Obtenha a equação geral das retas nos casos abaixo:

(a) y – 1 = 3(x+2)

(b) 4

x^1 4

y  ^3 

(c) Que contém os pontos A(3,1) e B(1,3).

6. Intersecção entre retas

Determinar a intersecção entre as retas r e s é encontrar o ponto P comum às duas retas, ou melhor, um ponto pertencente ao mesmo tempo à reta r e à reta s. Isso quer dizer que as coordenadas do ponto P satisfaz ao mesmo tempo à equação de r e à equação de s. O que equivale a resolver o sistema com as equações das duas retas.

Se as retas possuem um ponto em comum dizemos que elas são concorrentes.

Exemplo: Determine o ponto de interseção entre os pares de reta abaixo:

(a) r: y = 3x+1 s: y =  x + 5

(b) r: y = x – 4 s: y – 5 = 1(x – 4)

(c) r: y – 3 = 2(x + 1) s: y = 4x - 5

Um caso particular de retas concorrentes é quando as retas fazem um ângulo de 90º. No próximo tópico (8) pesquisaremos como determinar a condição das retas chamadas perpendiculares.

a. Retas paralelas. Uma alternativa a resolução do sistema com as equações de r e de s é pensar sobre os coeficientes angulares destas retas.

Considere r: y = arx + br e s: y = asx + bs.

Em que: ar = tan e as = tan

Se as retas r e s são paralelas:  =   tan = tan  ar = as Infelizmente não basta, pois se o coeficiente linear for igualmente idêntico as retas são coincidentes. Assim a condição de duas retas serem paralelas dadas suas equações reduzidas é:

r // s  ar = as e br  bs

b. Retas coincidentes.

Podemos também analisar o sistema com as equações de r e s para determinar se as equações são de retas coincidentes, que na verdade geometricamente são uma única reta. Neste caso o sistema possui infinitas soluções. Em decorrência da análise das retas paralelas, podemos concluir sem esforço que dadas as equações reduzidas das retas r e s para serem coincidentes:

r  s  ar = as e br = bs

c. Retas concorrentes. Considerando novamente as equações reduzidas de r e s: r: y = arx + br s: y = asx + bs Se as retas são concorrentes:    Então: tan  tan Portanto: ar  as Os coeficientes lineares são irrelevantes. Concluímos então: r  s  ar  as

8. Retas perpendiculares

Considere as equações reduzidas das retas r e s: r: y = arx + br s: y = asx + bs

Assim: ar = tan e as = tan (0)

 e  são ângulos internos de um triângulo retângulo, logo:

Já  e  são ângulos suplementares, pois juntos formam um ângulo raso, ou seja:

 +  = 180º (2) Da relação (1), sabemos que 

 tan

1 tan  , ou multiplicando a

expressão em cruz, tantan = 1 (3). Pense nos ângulos de 30º e 60º por exemplo. Da relação (2), sabemos que tan =  tan (4). Pense nos ângulos de 30º e 150º, veja na calculadora se preferir. Agora substituindo (4) em (3), obtemos: tan  (tan) = 1 Multiplicando a expressão por  1: tan  tan =  1 Que por sua vez por (0): as  ar =  1 Eis a condição de duas retas perpendiculares, dadas as equações reduzidas das mesmas:

r  s  as  ar =  1

Exemplos: 1. Determine se os pares de retas abaixo são perpendiculares:

(a) r: y = 3x – 1 s: x 5 3

1 y  

manipulações algébricas chegaremos na fórmula da distância entre ponto e reta:

m² n²

mx ny k d( P,s) p p 

  

Exemplo: Determine a distância do ponto Q(18,0) à reta t: x 1 12

y ^5 .

10. Distância entre retas

Precisamos lembrar que distância entre dois objetos quaisquer é a medida do menor caminho entre estes dois objetos. Se as retas r e s forem concorrentes ou coincidentes, já que possuem ponto de intersecção, o menor caminho que ligas estas retas é apenas um ponto, assim nestes casos, d(r,s) = 0. Resta analisar como calcular a distância entre retas, se estas forem paralelas.

A distância entre as retas r e s, d(r,s), é o segmento de reta perpendicular a ambas as retas. Já que são paralelas, desde que o segmento seja perpendicular a uma, será automaticamente perpendicular à outra reta.

Assim podemos escolher um ponto qualquer de uma reta e calcular a distância até a outra reta, simplesmente. Para complementar faremos esse trabalho generalizando e chegando numa fórmula direta.

Como precisamos da equação geral de cada reta, sendo as duas paralelas, elas terão o formato: r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0 Definindo um ponto de r, por exemplo: P(xp,yp). Como é um ponto de r, satisfaz a equação de r, ou seja, mxp + nyp + kr = 0. Ou ainda:

mxp + nyp =  kr Agora temos que calcular a distância do ponto P à reta s.

m² n²

k k m² n²

mx ny k d( P,s) p p s r s 

   

  

Portanto a distância entre duas retas paralelas, dadas suas equações gerais r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0 é:

m² n²

k k d( r,s) s r 

 

Exemplo: Determine a distância entre as retas r: 3x - 4y + 15 = 0 e s: 3x – 4y – 15 = 0.

11. Exercícios

1- Situe no mesmo plano cartesiano os pontos A (2,0), B(2,2), C(4,0),

D(0,2), E(2,4), F(1,4), G(3,2), H(4,2), I(3,4) e J(0,3).

2-6 Responda:

2. Quais são as coordenadas da origem, O, do plano cartesiano? 3. Se um ponto pertence ao III quadrante, qual o sinal da abscissa? 4. Se um ponto pertence ao eixo ox, qual o sinal da ordenada? 5. É possível uma reta ter coeficiente angular nulo? Caso afirmativo,

descreva a característica geométrica da reta. Caso negativo, justifique.

6. Quais das versões abaixo são equivalentes da fórmula para o cálculo

da distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb)? Justifique.

a. d(A,B) = (x (^) a xb)²(ybya)²

b. d(A,B) = (x (^) b xa)²(ybya)²

c. d(A,B) = (x (^) a ya)²(xbyb)²

7- A abscissa de P vale o dobro da ordenada de Q. Se que está acima do

eixo x tanto quanto está à esquerda do eixo y e P dista 5 unidades do

eixo das ordenadas, quais são as coordenadas de Q?

8 – Sendo A (4,4) um ponto pertencente ao círculo de centro C(2,2),

determine a medida do raio desse círculo.

9 – Determine a de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São

dados: A(2,5), B(2,1) e C(3,a).

19- Qual a distância entre as retas: r: 5x – 3y + 15 = 0 e s: x 5 3

5 y  ?

20- Calcule a medida da altura h, relativa ao lado BC, do triângulo ABC,

cujos vértices são: A(5,1), B(1,5) e C(2,1).

21- No plano cartesiano, os pontos A (1,4) e B(3,6) são simétricos em

relação à reta r. Qual a equação da reta r?

22- Determine as equações das retas que contém as alturas do triângulo

ABC e prove que elas concorrem no mesmo ponto H, chamado de ortocentro do triângulo. Dados: A(0, -3) B(-4,0) e C(2,1).

23- Mediatriz de um segmento é uma reta que contém o ponto médio do

segmento e é perpendicular a ele. Determine a reta mediatriz relativa

ao segmento de extremos em A (1,4) e B(3,6).

24- Um círculo é tangente a duas retas paralelas, r: 5x + 12y = 12 e

s: 5x + 12y + 28 – 0. Qual é a medida do raio do círculo?

Resumo e resolução dos exercícios da lista 11 Dicas de estudo: Fase 1 – Aula dada aula estudada Faça um resumo da matéria dada em cada dia de aula antes de dormir, seguindo os seguintes passos: a) Leia a matéria copiando no resumo o que ache mais importante da maneira mais sucinta possível, destacando fórmulas e em que elas se aplicam. Nunca coloque uma fórmula solta sem o significado das suas incógnitas; b) Quando a leitura chegar nos exemplos pegue uma folha em branco, tapando a resolução feita em aula e tente refazer o exemplo sem olhar. Caso não tenha conseguido, aí sim, olhe o desenvolvimento, pense na relação do conteúdo com a resolução do exemplo e tente fazer o exemplo novamente, mesmo que tenha que simplesmente copiá-lo. c) No fim da matéria dada naquele dia, observe os exercícios relacionados a ela. Marque os exercícios que tu achas que se relacionam com o conteúdo dado. d) Se tiveres tempo, no mesmo dia, comece a fazer os exercícios. Fase 2 – Estudando sozinho, em outro dia da semana que não de aula. a) Releia os resumos feitos na semana (dois dias de aula, dois resumos por semana). Perceba se consegue lembrar da aula dada e todos os seus significados. b) Caso não lembre, leia a matéria dada na semana, incluindo a resolução de seus exemplos. c) Comece a fazer os exercícios. Caso não consiga, nem começar, releia o resumo e para cada item verifique se pode possuir relação com o exercício em questão. d) Caso não consigas concluir um dos exercícios, ou depois de algumas tentativas não conseguiste chegar na resposta do gabarito. Não insista. Deixe para discuti-lo com o grupo de estudo ou vá no atendimento. Fase 3 – Reunião com o grupo de estudo. a) A reunião deve ser em local que ofereça poucas distrações, no máximo em quatro pessoas (mais que isso vira festa). O chimarrão é um excelente acompanhante, lembre-se chimarrão é estimulante e não engorda.

b) O grupo deve ser heterogêneo no sentido de reunir pessoas com diferentes níveis de compreensão e base matemática. c) Discuta A TEORIA do conteúdo e a compreensão que cada um teve do mesmo. d) Formule questionamentos para os outros responderem, em duas situações: para testar o nível de compreensão dos colegas com intenção de ajuda-los e quando realmente não conseguiste processar as informações oferecidas. e) Discuta os exercícios que achaste mais difíceis, incluindo àqueles que porventura não conseguiste resolver. f) Depois das reuniões semanais nos grupos de estudo, é fundamental que procures o atendimento do professor. g) Também é fundamental, consultar bibliografia complementar, entender a teoria presente nela assim como exercícios adicionais. Fase 4 - Na semana anterior as avaliações, complementar ao trabalho semanal, se tiveres seguido todos os passos anteriores, faça: a) Um novo resumo, mas agora completo, com toda a matéria que será cobrada na prova. b) Observe todos os exercícios feitos e escolha uma questão de cada conteúdo que acreditas que o professor iria cobrar na avaliação. c) Monte uma prova com estas questões, não exatamente iguais. Considere variações encontradas nas fontes bibliográficas. d) Resolva esta prova. e) Entregue a tua prova para apreciação dos colegas. f) Com algumas destas provas em mãos defina uma delas para fazer um simulado no seu grupo de estudo. Observação final. Infelizmente, se seguires todos estes passos não podemos garantir que terás um aprendizado completo, pois isto depende de muitas variáveis, incluindo saúde física, saúde mental, qualidade do ensino de matemática básica anterior, alimentação, estresse, entre outros. O que é fundamental, falando em linguagem matemática: ser necessário, mas não suficiente a VONTADE DE APRENDER!

Bom estudo!