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Este plano de trabalho tem como objetivo incentivar o estudo de geometria analítica, expondo os alunos a situações que ilustrem a aplicação dos conteúdos matemáticos à vida diária, concentrando-se na equação da circunferência e suas propriedades, tais como retas paralelas e perpendiculares. Além disso, é fornecido um pré-requisito de conhecimentos fundamentais e exercícios para aprofundamento.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de estudo
Compartilhado em 07/11/2022
4.5
(77)184 documentos
1 / 20
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Não perca as partes importantes!
Tutora: Maria Cláudia Padilha Tostes Cursista: Marta Cristina de Oliveira Matrículas: 09137050 / 09269929 Grupo 1 Plano de trabalho 2
Colégio: Ciep Brizolão 152 Garrincha Alegria do Povo Professora: Marta Cristina de Oliveira Série: 3º ano Regular Ensino Médio 4º bimestre / 2013
Assunto:
Introdução:
Este plano de trabalho visa ao incentivo do aluno ao estudo de geometria analítica. É importante sensibilizar o aluno para o valor do seu estudo na solução de problemas e proporcionar-lhe, entretanto, condições para a sua aprendizagem. Os alunos são expostos a pouquíssimas situações que ilustrem a aplicação dos conteúdos matemáticos à vida diária. A fim de suprir esta deficiência e não apresentar o conteúdo de forma assustadora, este plano de trabalho mostra algumas situações em que se aplica tal assunto. Querendo sensibilizar os alunos para sua importância, estimulando o seu desenvolvimento nesse cálculo. Além disso, faz uma abordagem sobre geometria analítica, onde haverá necessidade de reforçar o estudo sobre raio, diâmetro, equações do 1ºgrau e operações fundamentais (soma, subtração, multiplicação e divisão).
Desenvolvimento
Atividade 1 – Conhecendo Geometria Analítica – Retas Paralelas e
perpendiculares a partir de suas equações e equação da circunferência.
Habilidade relacionada: Identificar retas paralelas e retas perpendiculares a partir de suas equações. Determinar a equação da circunferência na forma reduzida e na forma geral, conhecidos o centro e o raio.
Pré-requisitos: raio, radiano , equações do 1ºgrau e operações Fundamentais (soma, subtração,
multiplicação e divisão).
Tempo de Duração: 200 minutos (podendo dividir em três aulas).
Recursos Educacionais Utilizados: Quadro, caneta, vídeo, explicações e lista de exercícios como ferramenta para a fixação de conteúdos.
Organização da turma: Individualmente ou em grupo.
Objetivos: Identificar retas paralelas e retas perpendiculares a partir de suas equações. Determinar a equação da circunferência. Desenvolver as habilidades relacionadas a circunferência. Fixação dos conhecimentos através de exercícios. Mostrar a importância do assunto e sua aplicação.
Outros exemplos que podem ser citados:
Dessa forma, considere duas retas, r e s, no plano cartesiano.
As retas r e s são paralelas se, e somente se, possuírem a mesma inclinação ou seus coeficientes angulares forem iguais. Utilizando a linguagem matemática:
Uma maneira mais simples de verificar se duas retas são paralelas é comparar seus coeficientes angulares: se forem iguais as retas são paralelas.
Observe: Retas Paralelas As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.
Retas Perpendiculares É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que:
Exemplo 1. Verifique se as retas r: 2x + 3y – 7 = 0 e s: – 10x – 15y + 45 = 0 são paralelas.
Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas.
Reta r: 2x + 3y – 7 = 0 Para encontrar o coeficiente angular precisamos isolar y na equação geral da reta.
Faremos o mesmo processo para a reta s.
Circunferência Equação reduzida da circunferência
Na Figura
Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada raio , de um ponto fixo denominado centro.
Obs. : A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência.
A dedução da equação da circunferência segue a definição, o lugar geométrico dos pontos ( x,y ) equidistantes do centro C ( xc, yc da medida R.
Então:
( x - xc )^2 + ( y – yc )^2 = R^2 → esta é a chamada equação reduzida da circunferência.
Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7) será:
( x – 5)^2 + ( y + 7)^2 = 8^2
Ou:
Equação geral da circunferência
A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida. Assim:
( x – x c)^2 + ( y – y c)^2 = R^2
( x^2 – 2 xcx + x^2 c ) + (y^2 – 2 ycy + y^2 c ) = R^2
Reagrupando: x^2 + y^2 – 2 xcx – 2 yc y + x^2 c + y^2 c – R^2 = 0
Ou de uma maneira generalizada:
x^2 + y^2 + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência.
Onde:
Por exemplo, para uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7):
x^2 + y^2 – 2. 5. x – 2. (–7) y + 5^2 + (–7)^2 – 82 = 0
Determinação de centro e raio a partir da equação geral
Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral
x^2 y^2 + mx + nx + p = 0
utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:
se ( m - a)^2 + ( n - b)^2 - r^2 > 0, então P é exterior à circunferência; se ( m - a)^2 + ( n - b)^2 - r^2 = 0, então P pertence à circunferência; se ( m - a)^2 + ( n - b)^2 - r^2 < 0, então P é interior à circunferência.
Podemos associar a situações do dia a dia essas definições:
Temos contato com objetos do cotidiano, usados pelas pessoas, que apresentam formato de uma circunferência. O movimento dos ponteiros de um relógio segue um movimento circular e desenha, em seu percurso, uma circunferência. Outros objetos, como moedas e CDs, muito presentes em nosso meio, também apresentam o mesmo formato.
Mostrar exemplos para que se compreenda como utilizar o assunto.:
1- Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4.
A equação da circunferência de centro C(a, b) e raio r, com r > 0, é (x – a)² + (y – b)² = r². Portanto:
A equação da circunferência com coordenados do centro (3, 6) e raio medindo 4 é dada por:
(x – 3)² + (x – 6)² = 16
2- (PUC-SP) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule valor da coordenada b.
Temos por (x – a)² + (y – b)² = r², que a circunferência de centro C(0 ,3) e raio 5, possui como representação a equação (x – 0)² + (y – 3)² = 5² ou x² + (y – 3)² = 25.
Considerando que o ponto P(3, b) pertença à circunferência, então:
x² + (y – 3)² = 25 3² + (b – 3)² = 25 9 + (b – 3)² = 25 (b – 3)² = 25 – 9 (b – 3)² = 16
b – 3 = 4 ou b – 3 = – 4 b = 4 + 3 ou b = – 4 + 3 b = 7 ou b = – 1
A coordenada b pode assumir os valores 7 ou – 1.
3- Qual das equações abaixo representa uma circunferência?
a) 2x^2 + y^2 – 3x + 4y – 1 = 0 b) x^2 + y^2 – 2xy + 4x – 6y – 1 = 0 c) x^2 + y^2 – 2x – 2y + 5 = 0 d) x^2 – y^2 – 4x – 2y – 1 = 0 e) nda. As equações das alternativas a e d não representam uma circunferência, pois os coeficientes de x^2 e y^2 são diferentes (A B).
A equação da alternativa b também não representa uma circunferência, pois o coeficiente de xy não é nulo (C 0).
A equação da alternativa c, embora pareça representar uma circunferência, não representa, pois, se representasse, o centro da mesma seria C = (1, 1) e a^2 + b^2 – f = 1^2 + 1^2 – 5 = – 3 < 0.
Assim, a resposta é alternativa e.
4- Encontre a equação das circunferências:
Outra opção de atividade a ser apresentada:
Caso os alunos estejam com dúvidas apresentar outros vídeos: http://www.youtube.com/watch?v=t0iB53etruw
http://www.youtube.com/watch?v=fjHTFywfU_o
E
Testando os seus conhecimentos do aluno (pode-se escolher algumas atividades para serem feitas em sala e o restante para serem feitas em casa).
Exercícios para praticar
a) r: 5x – 7y = 0
s: 7x + 5y – 1 = 0
b) r: 4x + 6y – 1 = 0
s: 2x + 3y + 1 = 0
c) r: 3x – 5y + 2 = 0
s: 5x – 3y – 2 = 0
d) r: 3x – 7 = 0
s: 2y + 5 = 0
a) (2,–1) e
b) (2,–1) e 2√
c) (–2,1) e 2√
d) (–2,1) e
e) (–2,5) e
a) m 1 = -2 e m 2 = - 3 2 b) m 1 = 2 e m 2 = 4 5 7 c) m 1 = 3 e m 2 = 1 2 6 d) m 1 = 5 e m 2 = 3 3 5 e) m 1 = 2 e m 2 = 2 3 3
2
2
- 8x - 2y + 1 = 0, o centro e o raio valem, respectivamente:
a) (1, 4) e 1 b) (8, 2) e 1 c) (-4, -1) e 1 d) (-4, -1) e ½ e) (4, 1) e 4 e) n.d.a
2
2
a) (2,1) e 2 b) (2,–1) e 2 c) (–2, – 1) e 2 d) (–2,1) e 2 e) n.d.a
a) 15π b) 17π c) 22π d) 20π e) 25π
(a) 2x^2 + 2y^2 - 6x + 10y + 7 = 0;
b) 4x^2 + 4y^2 + 28x - 8y + 53 = 0;
(c) 16x^2 + 16y^2 - 64x + 8y + 177 = 0;
(d) x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0;
(e) x^2 + y^2 + 6x - 14y + 58 = 0;
(f) x^2 + y^2 - 6x + 12y + 96 = 0;
Determinar a equação da circunferência cujo raio é 5 e o centro é a interseção das retas 3x - 2y - 24 = 0 e 2x + 7y + 9 = 0:
Uma circunferência passa pelos pontos A(-3; 3) e B(1; 4)e se centro se encontra sobre a reta 3x - 2y
a) Escreva o nome de duas ruas paralelas à Rua México.______________________
b) Escreva o nome de duas ruas perpendiculares à Rua França.____________________
c) O nome de uma rua que é paralela à Rua Brasil e perpendicular à Rua Itália._________________.
d) O nome de uma rua concorrente à Rua Brasil.____________________________.
e) O nome de três ruas paralelas entre si._________________________________________.
f)O nome de duas ruas que não são paralelas nem perpendiculares.________________________
Avaliação
Giovanni, J.R., BONJORNO, J.R. Matemática Completa. 2.ed.renov.São Paulo:FTD,2005.384.
Site da Web:
Infoescola .Geometria Analítica. Disponível em:
Coladaweb. Circunferência. Disponível em:
http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/circunferencia
.Acesso em: 15 de nov. de 2013.
Scribd. Retas paralelas e perpendiculares. Disponível em:
< http://pt.scribd.com/doc/128976537/Retas-Paralelas-e-Perpendiculares>.Acesso em: 15 de nov. de
Somatemática .Circunferência. Disponível em:
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Exatasnet. Geometria Analítica. Disponível em:
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Brasilescola. Geometria Analítica. Disponível em:
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<www.colmagno.com.br/Plus_2013/arquivos/lista4-2013-cor reta .doc >.Acesso em: 14 de nov. de
Brasilescola. Geometria Analítica. Disponível em:
< http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/2012/12/exercicios-resolvidos-equacao-geral-
da.html>.Acesso em: 14 de nov. de 2013.
