PÚBLIC
A
Funções de várias variáveis: algumas aplicações
1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x,
da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a
partir do princípio de janeiro.
(a) Qual o significado das derivadas parciais T/ x, T/ y e T/ t ?∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Respostas.
T/ x∂ ∂ - indica como a temperatura muda quando a longitude muda, mantendo a latitude e o tempo
constantes. Se positiva a temperatura aumenta quando se vai para leste e se for negativa, a
temperatura diminui quando se vai para leste.
T/ y∂ ∂ - indica como a temperatura muda quando a latitude muda, mantendo a longitude e o tempo
constantes. Se for positiva, a temperatura aumenta quando se vai para o norte. Se for negativa, a
temperatura diminui quando se vai para o norte.
T/ t∂ ∂ - indica como a temperatura muda ao longo do tempo, mantendo a longitude e a latitude
constantes. Se for positiva, a temperatura está aumentando com o tempo; se for negativa, a
temperatura está diminuindo com o tempo.
(a) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 1º de
janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja
quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9)
serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a
partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)).
Respostas.
T/ x (158,21,9):∂ ∂ Como a temperatura é mais quente a oeste e mais fria a leste, a derivada
parcial da temperatura em relação à longitude x deve ser negativa. Isso porque a longitude negativa
(a oeste) está associada a temperaturas mais altas e, ao se mover para leste (longitude positiva), a
temperatura diminui.
T/ y (158,21,9):∂ ∂ Como a temperatura é mais quente ao sul e mais fria ao norte, a derivada
parcial da temperatura em relação à latitude y deve ser negativa. Isso porque, ao se mover para o
norte, a temperatura diminui, enquanto ao se mover para o sul, a temperatura aumenta.
T/ t (158,21,9):∂ ∂ A temperatura geralmente varia ao longo do dia, dependendo da hora. No caso
específico de 9 horas de 1º de janeiro, se a brisa quente está presente, isso pode indicar que a
temperatura está começando a aumentar depois de um período mais frio (como o amanhecer).
Portanto, se a temperatura está aumentando durante esse período, T/ t deve ser positiva.∂ ∂
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado
por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2 3−𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧.
(a) Qual o domínio da função V?
R. A função é definida para todos os valores reais de x, y, e z. O domínio da função V é R³ (o espaço
tridimensional real).
