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(c) Como e , concluímos que h não é par nem ímpar. Os gráficos das funções no Exemplo 11 estão na Figura 21. Observe que o gráfico de h não é simétrico em relação ao eixo y nem em relação à origem.
h x h x
h x 2 x x ^2 2 x x^2 h x h x
18 CÁLCULO
FIGURA 21
1
1 x
y (^1) h
1
y
x
1 t
1
1
y
x
f
1
(a) (b) (c)
Funções Crescentes e Decrescentes
O gráfico da Figura 22 cresce de A para B, decresce de B para C, e cresce novamente de C para D. Digamos que a função f é crescente no intervalo [ a, b ], decrescente em [ b, c ] e cres- cente novamente em [ c, d ]. Note que se e são dois números quaisquer entre a e b com , então. Utilizamos isso como a propriedade que define uma função crescente.
Uma função f é chamada crescente em um intervalo I se
.
É denominada decrescente em I se
Na definição de uma função crescente, é importante perceber que a desigualdade deve responder a cada par de números e em I com. Você pode ver que na Figura 23 a função é decrescente no intervalo e crescente no intervalo.
f x x^2
f x 1 f x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
f x 1 f x 2 quando x 1 x 2 em I
f x 1 f x 2 (^) quando x 1 x 2 em I
f x 1 f x 2
x 2 x 1 x 2
x 1
A
B
C
D y ƒ ( x )
f ( x 1 )
a
y
(^0) x 1 x 2 b c d x
FIGURA 22
f ( x 2 )
FIGURA 23
0
y
x
y x^2
vemos na Figura 6 que a tendência era que os níveis de aumentassem mais rapidamente nos últimos anos; assim, o nível excederia as 420 ppm muito antes de 2030.
Polinômios
Uma função P é denominada polinômio se
onde n é um inteiro não negativo e os números são constantes chamadas coe- ficientes do polinômio. O domínio de qualquer polinômio é Se o coeficiente dominante , então o grau do polinômio é n. Por exemplo, a função
é um polinômio de grau 6. Um polinômio de grau 1 é da forma , portanto, é uma função linear. Um polinômio de grau 2 é da forma e é chamado função quadrática. O grá- fico de P é sempre uma parábola obtida por translações da parábola , conforme vere- mos na próxima seção. A parábola abre-se para cima se e para baixo quando. (Veja a Figura 7.)
a 0 a 0
y ax^2
P x ax^2 bx c
P x mx b
P x 2 x^6 x^4 25 x^3 s 2
a (^) n 0
a 0 , a 1, a 2 ,... , a (^) n
P x a (^) n x n^ a (^) n 1 x n ^1 a 2 x^2 a 1 x a 0
CO 2
26 CÁLCULO
Os gráficos de funções quadráticas são parábolas.
FIGURA 7^0
y
2
1^ x
(a) y x^2 x 1
y 2
1^ x
(b) y 2 x^2 3 x 1
Um polinômio de grau 3 tem a forma
e é chamado função cúbica. A Figura 8 mostra o gráfico de uma função cúbica na parte (a) e os gráficos de polinômios de graus 4 e 5 nas partes (b) e (c). Veremos adiante por que os grá- ficos têm esses aspectos.
P x ax^3 bx^2 cx d a 0
FIGURA 8 (a) y x^3 x 1
x
1
y
(^01)
(b) y x^4 3 x^2 x
x
2
y
1
(c) y 3 x^5 25 x^3 60 x
x
20
y
1
Os polinômios são usados comumente para modelar diversas quantidades que ocorrem em ciências sociais e naturais. Por exemplo, na Seção 3.7 explicaremos por que os economistas frequentemente usam um polinômio para representar o custo da produção de x unidades de um produto. No exemplo a seguir vamos usar uma função quadrática para modelar a queda de uma bola.
P x
