Axiomas de los N´umeros Reales
1. Res un cuerpo
Se definen dos operaciones en R:adici´on (+) y multiplicaci´on (·), que cum-
plen los siguientes axiomas:
Asociatividad: Para todo x, y, z ∈R:
(x+y) + z=x+ (y+z) y x·(y·z) = (x·y)·z.
Conmutatividad: Para todo x, y ∈R:
x+y=y+xyx·y=y·x.
Elementos neutros: Existen 0,1∈R(con 0 = 1) tales que para todo
x∈R:
x+ 0 = xyx·1 = x.
Inversos:
•Todo x∈Rtiene un inverso aditivo −x∈Rtal que:
x+ (−x) = 0.
•Si x= 0, existe un inverso multiplicativo x−1∈Rtal que:
x·x
−1= 1.
Distributividad: Para todo x, y, z ∈R:
x·(y+z) = x·y+x·z.
2. Res un cuerpo ordenado
Existe un subconjunto R+⊂R(n´umeros positivos) que satisface:
P1. Si x, y ∈R+, entonces:
x+y∈R+yx·y∈R+.
P2. (Tricotom´ıa del orden). Para todo x∈R, se cumple una y solo una
de:
x= 0, x ∈R+,o−x∈R+.
Se define R−={−x|x∈R+}. As´ı, R=R+∪R−∪ {0}, siendo estos
conjuntos disjuntos.
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