Formas integrais das leis fundamentais
O Teorema de Transporte de Reynolds
PME 3230 -2018
Prof. Marcos Tadeu Pereira
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Aplicação do Teorema de Transporte de Reynolds às Leis de Conservação, Slides de Mecânica dos fluidos
As formas integrais do teorema de transporte de reynolds aplicadas às cinco leis básicas de conservação de massa, momento, energia, e a segunda lei da termodinâmica. O texto também discute as hipóteses necessárias para aplicação do teorema, como a presença de um campo de escoamento arbitrário e a fixação do volume de controle no espaço.
Tipologia: Slides
2021
1 / 22
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Formas integrais das leis fundamentais
O Teorema de Transporte de Reynolds
PME 3230 - 2018
Prof. Marcos Tadeu Pereira
Devemos aplicar as Leis Básicas a um Volume de
Controle ( VC ) fixo no espaço (Euler), ao invés da
formulação para um Sistema (Lagrange).
As leis básicas (de conservação) se aplicam diretamente a
sistemas :
Conservação da Massa, ou Eq. da Continuidade
2ª Lei de Newton
1ª Lei da Termodinâmica (conservação de energia)
Momento da Quantidade de Movimento (a taxa de
variação da quantidade de movimento angular é igual à
soma de todos os torques atuando sobre o sistema)
- 2ª Lei da Termodinâmica (variação da entropia,
irreversibilidade)
Uma lata de spray pode ser analisada de duas formas:
acompanhando o conteúdo da lata (Lagrange- sistema fechado:
massa não varia, ou seja, após spray a fronteira do sistema inclui
a massa fora da lata) ou monitorando o volume da lata (Euler -
volume de controle: só a lata, antes e depois)
- Passamos de Lagrange a Euler para uma partícula fluida
em uma LC (
𝑑𝑁
𝑑𝑡
=
𝜕𝑁
𝜕𝑡
- 𝑉. 𝛻 𝑁), vamos fazer a mesma
passagem para uma massa ou volume de fluido, com forma
de integral
- É necessário passar a formulação das leis de conservação
válidas para um sistema para a formulação de VC (Volume de
Controle) , o que é conseguido com o Teorema de Transporte
de Reynolds.
- Um VC refere-se a uma região do espaço onde podem
ocorrer escoamentos para fora e para dentro do VC. A
fronteira de um VC é sua superfície de controle ( SC )
- O tamanho e a forma do VC são totalmente arbitrários,
escolhidos de acordo com a conveniência. O VC também
pode ser chamado de sistema aberto.
Hipóteses:
- Campo de escoamento arbitrário 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 em relação a
sistema de coordenadas 𝑥𝑦𝑧
- VC fixo no espaço
- Sistema movimenta-se no campo de escoamento (por
definição mantendo sempre as mesmas partículas de
fluido)
Sistema e Volume de Controle
propriedade N
Massa nova entra no VC, região I
em Δt
Massa deixa o VC, região III, em Δt
No instante 𝒕
𝟎
∴ 𝑁
𝑠𝑖𝑠𝑡
)
𝑡
0
= 𝑁
𝑉𝐶
)
𝑡
0
=
𝑉𝐶
𝜂𝜌𝑑 ⩝
𝑡
0
e, substituindo em (1), resulta:
ቇ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡
≡ lim
𝛥𝑡→ 0
𝑉𝐶
𝜂𝜌𝑑 ⩝
𝑡
0
+𝛥𝑡
−
𝑉
𝐼
𝜂𝜌𝑑 ⩝
𝑡
0
+𝛥𝑡
𝑉
𝐼𝐼𝐼
𝜂𝜌𝑑 ⩝
𝑡
0
+𝛥𝑡
−
𝑉𝐶
𝜂𝜌𝑑 ⩝
𝑡
0
𝛥𝑡
e, como o limite da soma é a soma dos limites:
ቁ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡
≡ 𝒍𝒊𝒎
𝜟𝒕→𝟎
𝑽𝑪
𝜼𝝆𝒅⩝
𝒕
𝟎
+𝜟𝒕
−
𝑽𝑪
𝜼𝝆𝒅⩝
𝒕
𝟎
𝜟𝒕
- 𝒍𝒊𝒎
𝜟𝒕→𝟎
𝑽
𝑰𝑰𝑰
𝜼𝝆𝒅⩝
𝒕
𝟎
+𝜟𝒕
𝜟𝒕
𝒍𝒊𝒎
𝜟𝒕→𝟎
−
𝑽
𝑰
𝜼𝝆𝒅⩝
𝒕
𝟎
+𝜟𝒕
𝜟𝒕
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝐴 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝐵 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝐶
𝛥𝑡→ 0
𝑁
𝑉𝐶
)
𝑡
0
+𝛥𝑡
− 𝑁
𝑉𝐶
)
𝑡
0
𝛥𝑡
𝜕𝑁
𝑉𝐶
𝜕𝑡
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝐶
e representa a taxa de variação com o tempo da propriedade
N dentro do VC
𝐼𝐼𝐼 𝑡
0
+𝛥𝑡
𝑆𝐶
𝐼𝐼𝐼
𝜂𝜌.∆ℓ. cos𝛼. dA
𝑡
0
+𝛥𝑡
𝐼𝐼𝐼
: superfície de controle comum à região III e ao VC
∆ℓ : distância percorrida por uma partícula na superfície do
sistema, durante ∆t, ao longo de uma linha de corrente que
existia em 𝑡
0
lim
𝛥𝑡→ 0
𝑁
𝐼𝐼𝐼
)
𝑡
0
+𝛥𝑡
𝛥𝑡
= lim
𝛥𝑡→ 0
𝑆𝐶
𝐼𝐼𝐼
𝜂𝜌.∆ℓ. cos𝛼.dA
𝛥𝑡
lim
𝛥𝑡→ 0
𝑆𝐶
𝐼𝐼𝐼
𝛥𝑡
. cos𝛼. dA. =
𝑺𝑪
𝑰𝑰𝑰
𝜼𝝆. 𝑽. cos 𝜶. dA
pois lim
𝛥𝑡→ 0
𝛥𝑡
𝐼 𝑡
0
+𝛥𝑡
𝑆𝐶
𝐼
− 𝜂𝜌.∆ℓ. cos𝛼. dA
𝑡
0
+𝛥𝑡
onde 𝑆𝐶
𝐼
= superfície comum à região I e o VC
∆ℓ= distância percorrida por uma partícula na superfície do
sistema durante ∆t, ao longo de uma linha de corrente que
existia em 𝑡
0
∴ 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝐶 = −lim
𝛥𝑡→ 0
𝑉
𝐼
𝜂𝜌𝑑⩝
𝛥𝑡
= − lim
𝛥𝑡→ 0
𝑁
𝐼
)
𝑡
0
+𝛥𝑡
𝛥𝑡
lim
𝛥𝑡→ 0
𝑆𝐶
𝐼
− 𝜂𝜌.∆ℓ. cos𝛼.dA
𝛥𝑡
𝑆𝐶
𝐼
𝜂𝜌. 𝑉. cos𝛼. dA
𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠õ𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 𝑨, 𝑩 𝒆 𝑪 𝑒𝑚 1 :
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝐶
𝑆𝐶
𝐼𝐼𝐼
𝜂𝜌. 𝑉. cos𝛼. dA +
𝑆𝐶
𝐼
𝜂𝜌. 𝑉. cos𝛼. dA
Como SC≡ 𝑆𝐶
𝐼
𝐼𝐼𝐼
𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
onde 𝑆𝐶
𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
é caracterizada por α = Τ
𝜋
2
ou 𝑉 =0, i.e.,
ausência de fluxo
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝐶
𝑆𝐶
.
𝜂𝜌. 𝑉. cos𝛼. dA
e, como se sabe que 𝑉. cos𝛼. dA = 𝑉. 𝑛 dA, ∴
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝐶
𝑆𝐶
.
𝜂𝜌𝑉. 𝑛 dA
Esta fórmula de Reynolds relaciona as taxas de variação de
uma propriedade extensiva N qualquer de um sistema, e as
variações com o tempo desta propriedade N associada ao
volume de controle
é a fórmula integral, correspondente à fórmula diferencial
relacionando as derivadas de Lagrange e Euler:
𝐷𝑁
𝐷𝑡
𝜕𝑁
𝜕𝑡
+ 𝑉. 𝛻 N
Obs. 𝑽 na equação é medida em relação ao VC e ∴
𝒂 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝑵 𝒅𝒆𝒗𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒂𝒗𝒂𝒍𝒊𝒂𝒅𝒂
Equação da continuidade , ou da conservação da massa
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝐶
𝑆𝐶
𝜂𝜌𝑉. 𝑛𝑑𝐴 , e como 𝑁 = 𝑚 → 𝜂 = 1
𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑉𝐶
𝑆𝐶
Taxa de variação
de massa no
sistema
=
Taxa de variação
de massa no VC
Fluxo de massa
através da SC
𝑉. 𝑛 → 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑉 𝑒 𝑑𝑒 𝑛
𝑛 sempre aponta para fora do VC, na SC