Baixe Forma Polar de Cónicas: Coordenadas Polares e Equações de Cónicas e outras Notas de estudo em PDF para Geometria, somente na Docsity!
Forma Polar das Cˆonicas
MA141 - Geometria Anal´ıtica
16 de maio de 2014
Observa¸c˜ao: As figuras usadas nesse documento foram retiradas do livro do ”Matrizes, Vetores e Geometria Anal´ıtica”e do material did´atico dispon´ıvel no site do prof. Stefano.
1 Coordenadas Polares
Estamos acostumados a trabalhar com coordenadas cartesianas, nas quais uma ou mais posi¸c˜oes no plano cartesiano s˜ao dadas a partir de pontos que podem ser vistos como distˆancias, medidas a partir do eixo de origem (0, 0) at´e a posi¸c˜ao em quest˜ao. Por exemplo, o ponto (2, 1) pode ser interpretado no eixo cartesiano como um ponto distante de 2 unidades em x e uma unidade em y, medindo-se a partir da origem (0, 0). H´a um outro sistema de coordenadas que, a primeira vista, parece confuso, j´a que foge do nosso costume. Esse sistema, de coordenadas polares, ´e muito ´util, portanto vamos nos empenhar em aprendˆe-lo, tornando-o menos ”estranho”. Enquanto nas coordenadas cartesianas os n´umeros dados da forma (x, y) representavam as distˆancias em x e y do ponto com rela¸c˜aoa origem, nas coordenadas polares esses n´umeros representam uma distˆancia e um ˆangulo. Primeiramente, devemos escolher o chamado eixo polar, que pode ser visto como o eixo x dos eixos cartesianos. Esse eixo polar tamb´em possui uma origem, nesse caso chamada de polo. Um ponto P em coordenadas polares ser´a dado da seguinte forma: tomando o polo como origem, trace uma reta que passa pelo ponto P. A primeira coordenada ´e a distˆancia r entre o ponto e o polo. A segunda coordenada ´e dada pelo ˆangulo de inclina¸c˜ao da reta tra¸cada, medido a partir do eixo polar, no sentido anti- hor´ario. Assim, um ponto P em coordenadas polares ser´a dado da forma (r, θ).
Observe a compara¸c˜ao entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas.
Figura 1: Compara¸c˜ao entre coordenadas cartesianas e polares.
A partir da figura, percebemos que ´e poss´ıvel fazer uma transi¸c˜ao entre sistemas de coordena- das utilizando as propriedades de um triˆangulo retˆangulo. Seja P um ponto dado por (x, y) em
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coordenadas cartesianas e por (r, θ) em coordenadas polares. Para transformar P de um sistema para outro, basta fazermos:
x = rcosθ, y = rsenθ, r =
x^2 + y^2 ,
cosθ =
x √ x^2 + y^2
e senθ =
y √ x^2 + y^2
Essas equa¸c˜oes valem se x^2 + y^2 6 = 0 e se o polo coincide com a origem dos eixos cartesianos.
2 Cˆonicas em Coordenadas Polares
Uma vez explicado o que s˜ao coordenadas polares, vamos estudar como podemos escrever as se¸c˜oes cˆonicas - elipse, hip´erbole e par´abola - nesse tipo de sistema. Para isso, vamos observar a figura a seguir.
Figura 2: Se¸c˜oes cˆonicas com destaque para as distˆancias F e D.
Nela, ´e poss´ıvel observar duas medidas importantes: F e D. F ´e a distˆancia entre um foco e um ponto qualquer da cˆonica, enquanto D ´e a distˆancia entre esse ponto qualquer e a reta diretriz da cˆonica. A excentricidade e da cˆonica ´e dada por e = FD. Agora, suponha que uma cˆonica esteja no sistema de coordenadas polares. Para tornar o processo mais f´acil, colocamos um dos focos da cˆonica no polo. Em seguida, tomamos um ponto qualquer P da cˆonica, cujas coordenadas s˜ao (r, θ). J´a que um dos focos est´a no polo, a distˆancia F entre esse foco e P ´e dada por r, ou seja, F = r (isso pode ser visto mais claramente nas figuras que vir˜ao na pr´oxima an´alise). Continuando, vamos agora observar a reta diretriz da cˆonica. A reta pode estar posicionada de quatro maneiras diferentes em rela¸c˜ao ao eixo polar e ao polo e cada uma dessas posi¸c˜oes requer um estudo particular. Portanto, a seguir, vamos separar cada caso e analis´a-lo.
Observa¸c˜ao importante: No estudo que se segue, devemos destacar a distˆancia entre o foco e a reta diretriz, chamando-a de d.
Figura 4: Um exemplo de cˆonica e sua reta diretriz perpendicular ao eixo polar, `a esquerda do polo.
2.3 Reta diretriz paralela ao eixo polar e acima dele
Para esse caso, iremos relacionar as trˆes distˆancias de forma:
D = d − rsenθ
Sabemos que e = FD = (^) Dr , logo D = re. Substituindo na equa¸c˜ao,
r = e(d − rsenθ)
Isolando r, temos
r = de 1 + esenθ
Que ´e a equa¸c˜ao de uma cˆonica em coordenadas polares, quando a reta diretriz dela ´e paralela ao eixo polar e est´a acima dele.
Figura 5: Um exemplo de cˆonica e sua reta diretriz paralela ao eixo polar e acima dele.
2.4 Reta diretriz paralela ao eixo polar e abaixo dele
Nesse ´ultimo caso, relacionamos as trˆes distˆancias da seguinte forma:
D = d + rsenθ
Sabemos que e = FD = (^) Dr , logo D = re. Substituindo na equa¸c˜ao,
r = e(d + rsenθ)
Isolando r, temos
r =
de 1 − esenθ
Que ´e a equa¸c˜ao de uma cˆonica em coordenadas polares, quando a reta diretriz dela ´e paralela ao eixo polar e est´a abaixo dele.
