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FONTE SENOIDAL
1. Geração do Sinal Senoidal
A forma de onda senoidal (ou sinusoidal) ocorre naturalmente na natureza, como se pode observar nas ondas do mar, na propagação do som e da luz, no movimento de um pêndulo etc. e também é a forma mais eficiente de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica.
Nas duas últimas décadas do século XIX o uso de corrente contínua em sistemas de potência era defendido por Thomas Edison, enquanto a corrente alternada era proposta por Nikola Tesla e George Westinghouse Jr.
Uma função senoidal é facilmente obtida para geração energia elétrica. Uma bobina sujeita a um campo magnético variável produz em seus terminais uma tensão elétrica segundo a seguinte equação (Lei de Faraday):
dt
d dt v t N
( ) ()
φ = −
Onde: v - tensão induzida [V]
N - número de espiras
φ - fluxo magnético [Wb]
A estrutura a seguir apresenta esquematicamente a geração de um sinal senoidal a partir da movimentação do eixo de uma bobina submetida ao campo magnético de dois imãs permanentes.
Figura 1 – Geração de um sinal senoidal.
Uma fonte de tensão ou corrente senoidal varia com o tempo e pode ser representada por uma senoide em função de sua frequência angular (wt) ou em função do tempo (t).
As formas de ondas seno e cosseno podem ser observadas na figura abaixo.
Figura 2 - Formas de ondas seno e cosseno.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES Área de Conhecimento: Eletricidade e Instrumentação Prof. Pedro Armando da Silva Jr.
2. Expressão Matemática do Sinal Senoidal
Todo sinal elétrico senoidal pode ter seu comportamento descrito de modo gráfico ou analítico, através de uma função matemática senoidal, periódica, e variante com o tempo. Adota-se para a representação dos sinais de tensão e de corrente alternada senoidal as seguintes expressões gerais:
v ( ω t )= Vmáx ⋅ sen (ω t + θ v )
i (ω t )= Imáx ⋅ sen (ω t + θ i )
Onde: Vmáx e Imáx - valores máximo, de pico ou amplitude
ω - frequência angular elétrica
θ - ângulo de fase
Na Figura 3 estão apresentados graficamente os principais parâmetros do sinal senoidal e, na sequência, suas definições.
0
8
0 5 10 15 20 25 Tensão [V]
Tempo [s]
T/4 T/2 3T/4 T
Ciclo
Vmáx
-Vmáx
Figura 3 – Parâmentros do sinal senoidal.
Valor máximo, de pico ou amplitude - Vmáx., Vp ou A: é o valor extremo alcançado pelo sinal. Período - T [s] : é o tempo decorrido na realização de um ciclo completo. Frequência - f [Hz] : é o número de ciclos realizados, na unidade de tempo, obtido por:
[ ]
1 Hz T
f = Onde: 1 Hz = 1 ciclo / segundo
Frequência angular elétrica - ω [rad/s]: É a rapidez de variação do sinal. Ou seja, é a velocidade com que o sinal realiza um ciclo de variação, o que equivale realizar, num círculo, um arco de 2 π radianos ou 360º. Ângulo de fase - θ [o] : É a posição relativa, expressa em grau, do sinal em relação a uma referência ou a outro sinal
Seu valor pode ser:
θ = -90o
(atrasado)
θ = 0o
(em fase)
V
t
θ = +90o
(adiantado)
V
t
V
t
θ > 0o^ (positivo) - sinal adiantado
θ = 0o^ - sinal em fase
θ < 0o^ (negativo) - sinal atrasado
Pela equação anterior note que o valor eficaz não depende da frequência nem do ângulo de fase, somente da amplitude do sinal.
Assim, por exemplo, na rede elétrica local, 220 V é uma tensão eficaz, referente à tensão alternada senoidal em 60 Hz de valor de pico 311,13 V. A representação matemática deste sinal é:
( ) 311 , 13 ( 377 0 )
311 , 13 2 2 60 377 / 0
( ) ( ) 0
o
máx v
máx v
v t sen t
V V w f rad s escolhido
v t V sen t
= ⋅ +
= − = = ⋅ = − = −
= ⋅ +
ω
π π θ
ω ω θ
3. Resposta senoidal do resistor
Em corrente contínua vimos que, no resistor, a tensão e a corrente se relacionam na forma:
ouV R I R
V I = = ⋅
Em corrente alternada senoidal a relação é dada por:
Partindo-se de:
R
v t i t
( ) ( )=
Substituindo v(t) tem-se:
R
V sen t i t máx^ v
( ) ()
⋅ ω + θ
Ou:
R
I sen t i t máx^ v
( ) ( )
⋅ ω + θ
Com no resistor a tensão e corrente estão em fase:
v ( ω t )= Vmáx ⋅ sen (ω t + θ v )
máx máx ou i (^ t ) Imáx sen ( t i^ ) R
V I = = ⋅ ω + θ
Graficamente:
Considerando seus respectivos valores eficazes a relação fica:
R
V I
ef ef =
T t
VM
IM
v , i
v R
i
v
V R
I
VR
Em corrente alternada, como a tensão e a corrente se relaciona que em CC, ao se adotar valores eficazes as equações da potência elétrica são as mesmas.
R
V P V I ou P R I ou P
ef ef ef ef
2 = ⋅ = ⋅^2 =
No tempo tem-se a seguinte equação: p (^^ t )= v ( t )⋅ i ( t )= Vp ⋅ Ip ⋅ sen^2 ( wt )
A potência dissipada no resistor será sempre positiva, como pode ser observado no gráfico a seguir:
Figura 4 – Tensão, corrente e potência em um resistor.
4. Elementos armazenadores de energia
Alguns elementos de circuitos elétricos podem armazenar energia em forma de campo elétrico ou magnético
4.1. Capacitância
O capacitor é um elemento de circuito que possui a característica de conservar energia através do campo elétrico estabelecido entre suas placas, tendendo manter constante a tensão entre os seus terminais.
O capacitor é representado pela letra C e tem como unidade o Farad [F].
C
Em circuitos CC o capacitor funciona como um circuito aberto. Porém, em CA o capacitor exerce oposição à variação de tensão, fenômeno denominado reatância capacitiva, designada por XC, medida em ohm [Ω] e expressa por:
[ ] 2
1 Ω ⋅ ⋅ ⋅
= f C
X (^) c π Para uma fonte senoidal a tensão no capacitor é expressa por: V (^) c ( t )= Vp ⋅ sen ( wt )
V
A (+Q)
B (-Q)
Em circuitos CC o indutor funciona como um circuito fechado (fio condutor). Porém, em CA o capacitor exerce oposição à variação de corrente, fenômeno denominado reatância indutiva, designada por XL, medida em ohm [Ω] e expressa por:
X (^) L = 2 ⋅ π⋅ f ⋅ L [Ω ] Para uma fonte senoidal a corrente no indutor é expressa por: i (^) L ( t )= Ip ⋅ sen ( wt )
A tensão no indutor será:
cos( ) ( 90 )
( ) L (^ ) L L w Ip wt L w Ip sen wt o dt
di t v t = L ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +
O indutor atrasa a corrente em relação à tensão, conforme pode ser visto pela ilustração abaixo:
Figura 7 – Tensão e corrente em um indutor.
Assim como num circuito puramente capacitivo, no indutivo não há dissipação de potência ativa. Como se pode observar na figura a seguir, em um período da rede elétrica, o valor médio da potência no indutor é nulo. O indutor armazena energia no primeiro semi-ciclo da rede devolvendo esta mesma energia no segundo.
Figura 8 – Tensão, corrente e potência em um indutor.
4.3. Impedância
Os circuitos de corrente alternada raramente são apenas resistivos, indutivos ou capacitivos. Na maioria das vezes, os mesmos apresentam as duas reatâncias, ou uma delas, combinada com a resistência.
A resistência total do circuito, neste caso, passa a ser denominada de impedância, designada por Z e medida em ohm [Ω]. Neste caso a Lei de Ohm passa a ser expressa por:
V = Z ⋅ I
5. Tipos de potência
Em virtude da possibilidade da associação dos elementos resistor, capacitor e indutor a potência elétrica em um circuito pode ser de três tipos:
- Potência ativa: a potência dissipada por resistores, expressa em watt (W).
P = R ⋅ I^2 [ W ]
- Potência reativa: potência que retorna dos indutores e capacitores, expressa em volt ampere reativo (VAr). A equação é similar, trocando somente a resistência pela reatância (capacitiva ou indutiva). Q = X ⋅ I^2 [ VAr ] A potência reativa pode ser positiva, proveniente dos circuitos indutivos (X > 0), ou negativa, proveniente dos circuitos capacitivos (X < 0). Logo, a combinação de indutores e capacitores permite que um absorva a potência reativa do outro.
- Potência aparente: a potência ativa e reativa combinada, expressa em Volt Ampère (VA). O módulo da potência aparente é a multiplicação dos módulos da tensão e corrente:
S = V ⋅ I [ VA ]
5.1. Triângulo de Potências
As três potências se relacionam pela seguinte expressão: S^2 = P^2 + Q^2 E pelo triângulo:
Figura 9 – Triângulo de potências.
O ângulo da potência aparente será o mesmo ângulo da impedância. As potências ativa e reativa podem ser calculadas a partir deste ângulo:
P = S ⋅cos ϕ = V ⋅ I ⋅cos ϕ Q = S ⋅ sen ϕ = V ⋅ I ⋅ sen ϕ
5.2. Fator de Potência
Fator de potência é a fração da potência aparente que realiza trabalho. É uma grandeza adimensional, que atinge o valor de no máximo a unidade.
A potência reativa faz circular corrente pelo circuito sem que haja consumo, aquecendo os alimentadores e sobrecarregando os circuitos.
O fator de potência é o cosseno do ângulo do triângulo de potências, ou o ângulo de defasagem entre as forma de onda da tensão e da corrente:
S
P cos ϕ =
Percebe-se que um fator de potência baixo é sinal de um alto reativo, ou seja, a energia não está sendo devidamente aproveitada. Um fator de potência unitário significa que o circuito é resistivo, ou seja, toda a potência está sendo dissipada. Um fator de potência indutivo é dito atrasado, enquanto o capacitivo é adiantado.
Nos grandes consumidores o fator de potência é uma medida importante, pois ele é tarifado se atingir valores inferiores a 0,92.
- Apresente as formas de onda das seguintes funções matemáticas:
2.1) V ( wt )= 4 ⋅ Sen ( wt + 45 o )
0s 0.4ms 0.8ms 1.2ms 1.6ms 2.0ms
2.2) V ( wt )= 2 ⋅ Sen ( wt − 90 o )+ 1
0s 0.4ms 0.8ms 1.2ms 1.6ms 2.0ms
- Para os circuitos abaixo determine:
- A tensão de pico e eficaz da fonte;
- A frequência do sinal;
- A corrente eficaz total do circuito;
- A potência total do circuito;
- As correntes eficazes e de pico nos resistores.
3.1) V ( t )= 50 ⋅ Sen ( 314 , 16 t )[V]
R
R
V(t)
3.2) V ( t )= 100 ⋅ Sen ( 377 t )
R
R
V(t)
R
- A tensão de pico de uma onda senoidal é de 179,6 V. Calcule a tensão instantânea em 0o, 30º, 45º, 60º, 90º, 135º, 180º, 225º e 270º. Qual o seu valor eficaz?
- Um forno elétrico consome 7,5 A de uma fonte de alimentação CC de 120 V. Qual o valor máximo de uma tensão alternada capaz de produzir o mesmo efeito térmico na resistência deste forno? Calcule a potência deste forno em CA.
6. Para uma fonte de tensão expressa por V ( t )= 311 , 13 ⋅ Sen ( 377 t ) [V] aplicada nos circuitos abaixo
determine:
- O valor da impedância;
- A corrente do circuito;
- As potências ativa, reativa e aparente.
V
V
2mH
V
2mF
7. Para uma fonte de tensão expressa por V ( t )= 311 , 13 ⋅ Sen ( 377 t ) [V] aplicada no circuito abaixo
determine:
- O triângulo de potências;
- A corrente eficaz fornecida pela fonte.
V 1 Ω 2mH 2mF
- Seja uma carga sob tensão de 220 V e com potência ativa de 10 kW. Calcule a potência aparente e a corrente quando seu fator de potência for igual a 0,5 e a 1.
- Em uma rede de 220 V um reator de uma luminária fluorescente tem fator de potência de 0,92, onde circula um corrente de 0,72 A. Para este reator calcule as potências ativa e aparente.
SISTEMA TRIFÁSICO
6. Introdução ao Sistema Trifásico
Circuitos ou sistemas nas quais as fontes em corrente alternada operam na mesma frequência, mas com fases diferentes são denominados polifásicos. O circuito trifásico é um caso particular dos circuitos polifásicos que, por razões técnicas e econômicas tornou-se padrão em geração, transmissão e distribuição.
Um sistema trifásico é produzido em um gerador conforme o esquema simplificado da Figura 10. Os três enrolamentos são estáticos e têm o mesmo número de espiras, enquanto o rotor do gerador se movimenta. O campo magnético girante do rotor é produzido a partir de uma fonte CC independente, ou da retificação da própria tensão obtida do gerador (auto-excitação).
Figura 10 – Gerador trifásico.
Nesta configuração de enrolamentos do gerador é como houvesse três fontes de tensão com mesma amplitude e frequência, mas defasadas entre si de 120º elétricos. Usualmente as fases são indicadas por uma sequência de letras, como “ABC” ou “RST”. A Figura 11 mostra a representação dos sinais de tensão de saída do gerador no tempo.
Figura 11 – Tensões de saída do gerador trifásico.
As tensões induzidas nos enrolamentos do gerador têm as seguintes expressões:
() ( 240 ) [ ]
() ( 120 ) [ ]
() ( ) [ ]
V t V Sen wt V
V t V Sen wt V
V t V Sen wt V
o T p
o S p
R p
Um dos terminais das bobinas do gerador são conectados entre si, de forma que a diferença de potencial entre eles se neutraliza, formando o terminal neutro ou simplesmente neutro do circuito. Desta forma, um sistema trifásico passa a ser constituído de quatro fios, sendo três condutores fase e um neutro.
Os sistemas trifásicos possuem a flexibilidade de poder atender cargas monofásicas, bifásicas e trifásicas sem qualquer alteração em sua configuração. Na Figura 12 são apresentadas formas de ligações das cargas.
Figura 11 – Exemplo de ligações de cargas no sistema trifásico.
As três tensões possuem um ponto de neutro, o qual é definido como referência do sistema (0V). Este ponto é aterrado no gerador.
Se uma carga monofásica for ligada entre o ponto de neutro e uma das fases ela estará sujeita a uma “tensão de fase” dada pela expressão já conhecida:
V (^) F ( t )= Vp ⋅ Sen ( wt ) [ V ]
Uma carga conectada entre duas fases terá uma maior diferença de potencial e sua expressão matemática será:
V L ( t )= 3 ⋅ Vp ⋅ Sen ( wt − 30 o ) [ V ]
A diferença de potencial entre duas fases é denominada “tensão de linha”. A Figura 12 ilustra o resultado da diferença entre as tensões instantâneas entre as fases A e B.
Figura 12 – Exemplo de ligações de cargas no sistema trifásico.
No Brasil o sistema de distribuição secundário é realizado em dois níveis de tensão: 220 V ou 380V. Desta forma têm-se as seguintes relações:
V
V
V V V
V
V
V V V
L L F
L L F
Se forem consideradas as tensões de linha a expressão da potência torna-se:
P 3 (^) φ = 3 ⋅ VL ⋅ IL ⋅cos ϕ [ W ]
Usando-se o mesmo raciocínio a potência reativa e a aparente são dadas por:
3 3 [ ]
3 3 [ ]
3 3
3 3
S V I ou S V I VA
Q V I sen ou Q V I sen VAr
F F L L
F F L L
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
φ φ
φ ϕ φ^ ϕ
EXERCÍCIOS
- Um aquecedor resistivo trifásico tem uma potência de 9kW quando ligado em triângulo. Sabendo-se que a tensão de linha é 380V, calcule a corrente de linha.
- Um wattímetro ligado a uma carga trifásica, constituída somente de lâmpadas incandescentes, indica 13,2kW. A carga é equilibrada e ligada em triângulo com uma tensão de linha de 220V. Sabendo-se que em cada lâmpada circula 0,5A, qual o número total de lâmpadas da carga?
- Um gerador trifásico produz uma tensão de 127V em cada fase. A carga é equilibrada e as impedâncias são de 10Ω com fator de potência unitário. O sistema encontra-se na configuração ∆-∆, conforme mostra a figura. Determine a tensão e a corrente de linha.
- Um gerador ligado em ∆ possui tensão de fase de 380V. Este gerador deve alimentar uma carga trifásica equilibrada ligada em Y com potência de 3,5kVA. Determine a tensão e corrente de linha.
- Um gerador ligado em Y de 220V de fase alimenta uma carga conectada em Y- 4 fios, equilibrada, formada por resistências de 25Ω. Determine a corrente e a tensão de linha e a potência ativa total na carga.
- Um motor trifásico pode ser modelado como uma carga em Y balanceada. Este motor tem uma potência de entrada de 5,6kW quando a tensão de linha é 380V e a corrente de linha é 10A. Determine o fator de potência deste motor.
- Calcule a corrente de linha necessária para alimentar uma carga trifásica de 30kW com fator de potência de 0,95 indutivo, sendo que esta está conectada a um circuito trifásico com tensão de linha de 440 V.
