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A solução de sistemas lineares por métodos iterativos, como o método de gauss-seidel e o método de newton-raphson, com base em um exemplo de engenharia elétrica. O processo iterativo é detalhado passo a passo, demonstrando a convergência dos métodos e a solução final do sistema linear.
Tipologia: Resumos
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Centro Universitário Avantis Curso de Graduação em Engenharia Elétrica
Prof. Victor Freitas, Dr. victor.freitas@uniavan.edu.br
(^1) Expressões Gerais dos Fluxos de Potência
(^2) Métodos de Solução do Problema
(^3) Solução pelo Método Gauss/Gauss-Seidel
(^4) Métodos Baseados na Matriz Y
(^5) Solução pelo Método de Newton-Raphson
Equações básicas são obtidas impondo-se a conservação das potências ativa e reativa em cada nó; Isto equivale a se impor a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) aos nós do sistema. Equações para linha de transmissão
a) Quais as expressões de fluxo de potência ativa e reativa entre as barras k e m? b) Como podem ser calculadas as perdas ativas e reativas da linha;
Equações básicas são obtidas impondo-se a conservação das potências ativa e reativa em cada nó; Isto equivale a se impor a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) aos nós do sistema. Equações para linha de transmissão
a) Quais as expressões de fluxo de potência ativa e reativa entre as barras k e m? b) Como podem ser calculadas as perdas ativas e reativas da linha;
Para que o problema seja determinístico:
Duas variáveis são conhecidas (dadas) e as outras duas devem ser calculadas (incógnitas). Dependendo de quais são dadas e de quais são incógnitas, são definidos três tipos de barras:
Tipo Dados Incógnitas Características PQ Pk , Qk Vk , θk Barras de carga PV Pk , Vk Qk , θk Barras de Geração incluindo compensadores síncronos
Referência Vk , θk Pk , Qk
Barra de geração (geral- mente uma unidade geradora de grande capacidade (V θ, slack, swing)
Aplicação de lei das corrente de Kirchhoff para cada barra corresponde ao balanço de potência na barra:
São realizados os balanços das potências ativa e reativa
m∈Ωk
Pkm(Vk , Vm, θk , θm)
m∈Ωk
Qkm(Vk , Vm, θk , θm)
Ao longo dos anos, vários métodos de solução do FC foram propostos;
Para cada aplicação existem os métodos mais apropriados;
Os fatores considerados na escolha são: Tipos de Solução Precisa Aproximada Sem controle de limites Com controle de limites Off-line On-line Caso simples Casos múltiplos
Ao longo dos anos, vários métodos de solução do FC foram propostos;
Para cada aplicação existem os métodos mais apropriados;
Os fatores considerados na escolha são: Tipos de Solução Precisa Aproximada Sem controle de limites Com controle de limites Off-line On-line Caso simples Casos múltiplos
1 Métodos iterativos baseados na matriz Ybarra Baseados na resolução de sistemas de equações lineares I = Y · E; Ex: Gauss/Gauss-Seidel, Glimn-Stagg, Ward-Hale, etc.
2 Método iterativo de Newton Jacobiano completo Métodos desacoplados
1 Métodos iterativos baseados na matriz Ybarra Baseados na resolução de sistemas de equações lineares I = Y · E; Ex: Gauss/Gauss-Seidel, Glimn-Stagg, Ward-Hale, etc.
2 Método iterativo de Newton Jacobiano completo Métodos desacoplados
Gauss
Considere o sistema de equações algébricas Ax = b
10 x 1 + 2 x 2 + x 3 = − 7 x 1 + 5 x 2 + x 3 = − 8 2 x 1 + 3 x 2 + 10 x 3 = − 6
O sistema pode ser reescrito em termos de x 1 , x 2 e x 3 :
x 1 = (− 7 − 2 x 2 − x 3 )/ 10 x 2 = (− 8 − x 1 − x 3 )/ 5 x 3 = (− 6 − 2 x 1 − 3 x 2 )/ 10
Gauss
Atribuindo-se um valor inicial x = [0 0 0]T^ , o seguinte processo iterativo pode ser estabelecido: Iteração 1:
x 1 = (− 7 − 2 x 2 − x 3 )/ 10 = (− 7 − 2 x 0 − 0 )/ 10 = − 0 , 7 x 2 = (− 8 − x 1 − x 3 )/ 5 = (− 8 − 0 − 0 )/ 5 = − 1 , 6 x 3 = (− 6 − 2 x 1 − 3 x 2 )/ 10 = (− 6 − 2 x 0 − 3 x 0 )/ 10 = − 0 , 6
Iteração 2 (com x = [− 0 , 7 − 1 , 6 − 0 , 6 ]T^ ):
x 1 = (− 7 − 2 x(− 1 , 6 ) − (− 0 , 6 ))/ 10 = − 0 , 32 x 2 = (− 8 − (− 0 , 7 ) − (− 0 , 6 ))/ 5 = − 1 , 34 x 3 = (− 6 − 2 x(− 0. 7 ) − 3 x(− 1 , 6 ))/ 10 = 0 , 02
Gauss
Atribuindo-se um valor inicial x = [0 0 0]T^ , o seguinte processo iterativo pode ser estabelecido: Iteração 1:
x 1 = (− 7 − 2 x 2 − x 3 )/ 10 = (− 7 − 2 x 0 − 0 )/ 10 = − 0 , 7 x 2 = (− 8 − x 1 − x 3 )/ 5 = (− 8 − 0 − 0 )/ 5 = − 1 , 6 x 3 = (− 6 − 2 x 1 − 3 x 2 )/ 10 = (− 6 − 2 x 0 − 3 x 0 )/ 10 = − 0 , 6
Iteração 2 (com x = [− 0 , 7 − 1 , 6 − 0 , 6 ]T^ ):
x 1 = (− 7 − 2 x(− 1 , 6 ) − (− 0 , 6 ))/ 10 = − 0 , 32 x 2 = (− 8 − (− 0 , 7 ) − (− 0 , 6 ))/ 5 = − 1 , 34 x 3 = (− 6 − 2 x(− 0. 7 ) − 3 x(− 1 , 6 ))/ 10 = 0 , 02
Gauss
Continuando o processo iterativo, temos: Iteração 6: x = [− 0 , 3894 − 1 , 5048 − 0 , 0663 ]T
Iteração 7: x = [− 0 , 3894 − 1 , 5048 − 0 , 0707 ]T
Critério de Parada : Solução com erro máximo (Norma Infinita ou L 1 )
ε = max |xυ+^1 − xυ| < 0 , 01
|xυ+^1 − xυ|T^ = [ 0. 0031 0. 0041 0. 0044 ]
x = [− 0 , 3894 − 1 , 5048 − 0 , 0707 ]T
