Baixe Física II: Ondas, Fluidos e Termodinâmica - USP - Velocidades e Correntes em Fluidos e outras Provas em PDF para Fluidos, somente na Docsity!
Fluidos em Movimento
Quando se tenta estudar o movimento de um fluido depara-se com o problema de como lidar com o fato de que um fluido é composto por inúmeras moléculas que se movem rapidamente umas em relação às outras, mesmo num fluido “em repouso”. Quando se pensa um pouco sobre isso se chega à conclusão que a única saída é usar algum tipo de média.
Uma noção importante para nos ajudar no tratamento de fluidos é a de centro de massa. Conforme visto em Física I, o centro de massa de uma coleção de partículas se move como se fosse uma única partícula com massa igual à soma das massas das partículas da coleção sob a ação de uma força que é a resultante de todas as forças que atuam sob as partículas individuais.
Em fluidodinâmica, quando se fala de uma partícula com uma dada posição r^ r(^ t ) e uma dada velocidade v^ r^ ( t ) se está referindo à posição r^ r^ ( t ) e à velocidade v^ r^ ( t ) do centro de massa de uma coleção de
partículas. Essa abordagem permite que as leis da mecânica newtoniana para uma “partícula” sejam usadas para estudar fluidos em movimento sem que seja preciso levar em consideração a estrutura interna da partícula.
Em geral, há duas maneiras de se representar o movimento de um fluido ao longo do tempo.
- Fixando-se a atenção em cada partícula do fluido, pode-se descrever como a posição de cada uma delas varia com o tempo: r^ r^ ( t ). Esta é a chamada descrição de Lagrange.
- Fixando-se a atenção em cada ponto r^ r^ do espaço ocupado pelo fluido, pode-se descrever como a velocidade do fluido nesse ponto varia com o tempo: v r^ ( r r, t ). Esta é a chamada descrição de Euler. Note que a cada instante de tempo a partícula que passa pelo ponto r^ r^ é uma partícula diferente do fluido. Na maior parte das aplicações, não se está interessado em saber como cada partícula de um fluido se comporta ao longo do tempo. É mais importante saber como o campo de velocidades em um fluido varia com o tempo. Portanto, a descrição de Euler é a mais comum e será adotada aqui.
Como se pode visualizar um campo de velocidades?
- Setas pequenas: Em geral, o campo de velocidades instantâneo é visualizado por meio de pequenas setas presas aos pontos de uma rede (regular ou aleatória) que cobre o espaço ocupado pelo fluido. Cada seta é um vetor com comprimento, direção e sentido proporcional à velocidade instantânea no ponto (veja a figura abaixo).
Devido ao fato de que o campo de velocidades é calculado para um instante fixo no tempo t 0 , existe uma única tangente e, portanto, uma única linha de corrente passando por cada ponto do espaço: dado um instante de tempo, as linhas de corrente nesse instante não podem se cruzar (uma mesma partícula não pode ter duas velocidades diferentes ao mesmo tempo).
Um caso particular de movimento de um fluido é que se chama de escoamento estacionário. Em um escoamento estacionário, o campo de velocidades do fluido não varia com o tempo, ou seja,
v r^ = v^ (^ r r). (1)
Esta condição implica que as diferentes partículas do fluido que passam pelo ponto r^ r^ têm sempre a mesma velocidade v^ r^ quando passam por r^ r^. Notem que a velocidade do campo pode variar de ponto para ponto, mas para cada ponto o seu valor é sempre o mesmo.
No caso do escoamento estacionário, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias das partículas do fluido. Além disso, as linhas de corrente (e as partículas) que estão dentro de um dado tubo formado pela união de linhas de corrente adjacentes nunca poderão cruzar as paredes desse tubo. Elas permanecem sempre dentro do tubo como se as suas paredes fossem reais (veja a figura a seguir).
Quando o escoamento é não-estacionário, as linhas de corrente variam a cada instante e não coincidem mais com as trajetórias das partículas.
O escoamento de um fluido pode ser extremamente complexo, com movimentos turbulentos, redemoinhos, etc. Em alguns casos, no entanto, o escoamento pode ser descrito por um modelo relativamente simples em que o fluido é tratado como incompressível (sua densidade é constante), sem viscosidade (não existe atrito entre as partículas do fluido ou entre essas partículas e as paredes do recipiente por onde ele escoa) e estacionário (veja a definição acima).
Vejamos agora algumas consequências importantes de se aproximar o escoamento de um fluido por um escoamento estacionário e sem viscosidade.
dm 1 = ρ 1 A 1 v 1 dt. (2)
Considere agora um ponto qualquer no segmento 2. Durante o mesmo intervalo de tempo dt , a massa de fluido que passa por esse ponto é dada por
dm 2 = ρ 2 A 2 v 2 dt , (3)
onde ρ 2 é a densidade do fluido no segmento 2.
Como o escoamento é estacionário, a lei da conservação da massa implica que a massa que entra por A 1 no intervalo de tempo dt tem que ser igual à massa que sai por A 2 no intervalo de tempo dt.
Portanto,
dm 1 = dm 2 ⇒ ρ 1 A 1 v 1 dt = ρ 2 A 2 v 2 dt ,
ou
ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2. (4)
A quantidade ρ Av permanece constante ao longo do tubo de corrente. As unidades dessa quantidade são (mostre como exercício) unidades de massa por tempo. Portanto, ela representa o fluxo de massa de fluido por tempo através de uma seção reta do tubo.
Considerando agora que o fluido é incompressível, a sua densidade é a mesma em todos os pontos: ρ 1 = ρ 2. Logo, para um fluido incompressível em escoamento estacionário e sem viscosidade,
A 1 v 1 = A 2 v 2 (fluido incompressível). (5)
Quando o fluido que escoa pelo tubo é incompressível, a quantidade Av permanece constante ao longo do tubo.
As unidades dessa quantidade são de volume por tempo. Portanto, ela mede o volume de fluido que passa por unidade de tempo por uma seção reta do tubo. Ela é chamada de vazão do tubo, representada por Q.
Uma consequência de (5) é que
2
2 1 v
A
v = A
Como A 1 é maior que A 2 , para um fluido incompressível a velocidade do fluido no segmento mais estreito é maior do que no segmento mais largo.
Substituindo (9) em (8) temos que
− ∇ ( p + ρ gz ) = ρ a r. (10)
Vamos considerar esta equação no caso de um fluido incompressível e em escoamento estacionário. A condição de escoamento não viscoso, isto é, sem atrito, já foi usada na obtenção de (10).
Consideremos um tubo de corrente como o da figura a seguir.
A figura mostra dois pontos do tubo, 1 e 2. Os valores das áreas das seções retas do tubo nesses pontos são, respectivamente, A 1 e A 2. Os pontos estão a alturas z 1 e z 2 em relação a um plano de referência e as velocidades e pressões do fluido neles são, respectivamente, v 1 e p 1 e v 2 e p 2.
Como o escoamento é incompressível, durante um intervalo de tempo dt as massas de fluido que passam pelas áreas A 1 e A 2 são iguais:
dm 1 = dm 2 ⇒ ρ 1 A 1 v 1 dt = ρ 2 A 2 v 2 dt. (11)
Observando a figura acima, vemos que no intervalo de tempo dt a massa dm 1 se movimenta por uma certa distância para dentro do tubo delimitado pelos pontos 1 e 2. Da mesma forma, a massa dm 2 se movimenta por uma certa distância para fora do tubo.
Do ponto de vista de transporte de matéria, é como se no tempo dt a massa dm 1 , que estava no ponto 1 com velocidade v 1 , fosse transportada para o ponto 2 com velocidade v 2. Portanto, a variação da energia cinética nesse transporte é
2 22 1 12
∆ K =^1 dmv − dmv
2 (^2211 ) 2 1 2 1 2 22 112 1 2
(^1) dm v − dmv = p dm − p dm − g dm z − dmz
Usando agora o fato de que dm 1 = dm 2 ,
( 2 1 ) 2
2 1 22 12 1 2
(^1) v − v = p − p − g z − z
Rearranjando para colocar os termos que dependem do ponto 1 de um lado e os termos que dependem do ponto 2 do outro lado,
22 22 2 2 12 11 1
(^1) v + p + gz = v + p + gz
Como o fluido é incompressível, ρ 1 = ρ 2 = ρ. Usando isso e
multiplicando todos os termos por ρ chegamos finalmente à seguinte equação:
p 1 + ρ gz 1 + 21 ρ v 12 = p 2 +ρ gz 2 + 21 ρ v 22. (16)
Esta equação é consequência da aplicação do princípio da conservação da energia ao escoamento estacionário e sem atrito de um fluido incompressível.
A equação acima foi obtida pelo matemático e físico suíço (nascido na Holanda) Daniel Bernoulli (1700-1782) em seu tratado Hydrodynamica , publicado em 1738. Por causa disso, ela é chamada de equação de Bernoulli.
A equação de Bernoulli estabelece que em qualquer ponto de um fluido incompressível em escoamento estacionário e sem atrito a seguinte relação é válida:
p + ρ gh + 21 ρ v^2 = C , (17)
onde C é uma constante. Nesta equação, p é a pressão no fluido, h é a altura em relação a um plano de referência, ρ é a densidade e v é a velocidade em qualquer ponto do fluido.
Note que a equação de Bernoulli – que se aplica a hidrodinâmica – contém a hidrostática como um caso particular. Fazendo v = 0 em (16) e rearranjando obtemos a equação para o equilíbrio hidrostático de um fluido incompressível (equação 40 da aula 11),
p ( z 2 ) − p ( z 1 ) =− ρ g ( z 2 − z 1 ).
Consideremos um caso como o da figura da página 6 em que o tubo por onde escoa o fluido está na horizontal. Tomando os pontos 1 e 2 na mesma linha de corrente, de maneira que eles estão à mesma altura ( h 1 = h 2 ), a equação (16) nos dá
p 1 + ρ v 12 = p 2 + ρ v 2
Substituindo a equação (6), v 2 = ( A 1 / A 2 ) v 1 , nesta equação e isolando a pressão p 2 no segmento 2:
Uma consequência da existência da viscosidade é que a velocidade do fluido em um tubo não é a mesma em qualquer ponto de um corte transversal pelo tubo.
A velocidade é maior no centro do tubo e decresce em direção às paredes. Nas paredes do tubo, o escoamento é estacionário. Um escoamento deste tipo é chamado de laminar (veja o desenho da esquerda na figura abaixo).
A figura acima mostra o perfil de velocidades para alguns tipos de escoamento. Os comprimentos das setas são proporcionais à velocidade do fluido ao longo do corte transversal pelo tubo. O perfil da figura da esquerda corresponde a um escoamento laminar uniforme e o perfil da figura do meio corresponde a um escoamento laminar não-uniforme.
Quando se leva a viscosidade em consideração, pode-se mostrar que a taxa de escoamento laminar ou vazão Q (volume por tempo) através de um tubo cilíndrico de raio r e comprimento L é dada pela equação de Poiseuille^1 :
(^412)
L
Q r p p
η
= π^ −
onde p 1 − p 2 é a diferença de pressão entre dois pontos do cilindro (veja a figura abaixo).
As unidades de viscosidade no SI são o Pa.s (pascal×segundo), ou kg/m.s. Porém, na prática se utilizam ainda as unidades do sistema cgs: g/cm.s. Esta unidade recebe o nome de poise (em homenagem a Poiseuille). O símbolo do poise é P.
1 P = 1 g.cm-1.s-1^ = 0,1 Pa.s.
(^1) Jean-Louis-Marie Poiseuille (1797-1869) foi um médico e fisiologista francês que se dedicou a estudar o escoamento do sangue pelos vasos sanguíneos (hemodinâmica). Uma das conseqüências dos seus estudos foia determinação da lei que leva o seu nome sobre o escoamento laminar de fluidos viscosos em tubos cilíndricos.
Se a velocidade do fluido aumentar acima de um valor crítico, o regime de escoamento laminar deixa de existir e o escoamento torna-se turbulento como no desenho da direita da figura da página
Para um tubo cilíndrico, a velocidade de escoamento crítica vc acima da qual o fluxo torna-se turbulento é dada por
Re ,
D
vc
onde D é o diâmetro do cilindro, ρ é a densidade do fluido, η é a viscosidade e Re é o chamado número de Reynolds^2.
O número de Reynolds é um parâmetro adimensional, definido pela fórmula acima, que determina quando um regime de escoamento é laminar ou turbulento. Ele é medido experimentalmente para tubos de diferentes materiais e diâmetros com diferentes fluidos escoando por ele.
Valores baixos de Re caracterizam escoamentos laminares e valores altos caracterizam escoamentos turbulentos.
(^2) Osborne Reynolds (1842-1912) foi um matemático e engenheiro britânico que estudou dinâmica dos fluidos. Ele foi o primeiro a propor um parâmetro adimensional, que hoje recebe o seu nome, para caracterizar atransição do escoamento laminar para o turbulento.
Em geral, quando Re < 2000 o escoamento pelo tubo é laminar e quando Re > 4000 o escoamento é turbulento. No intervalo entre 2000 e 4000 existe um regime de transição em que escoamentos laminares e turbulentos são possíveis.
As forças de atrito no escoamento turbulento são maiores do que no escoamento laminar. Portanto, à medida que o escoamento torna-se turbulento fica cada vez mais difícil forçar o fluido pelo tubo.
A circulação do sangue pelo corpo costuma ser comparada a um encanamento tendo o coração como bomba e as veias, artérias e capilares como canos por onde o sangue escoa. Esta analogia não é totalmente correta, entretanto. O sangue não é um fluido simples; ele contém células que complicam o escoamento, especialmente quando as passagens ficam estreitas. Além disso, as artérias e veias não são tubos rígidos, mas elásticos e alteram sua forma em resposta às forças aplicadas ao fluido. Mesmo assim, ainda é possível analisar o sistema circulatório com boa precisão usando os conceitos sobre movimento de fluidos desenvolvidos acima.
A figura a seguir (retirada do livro de Davidovits, veja a referência no roteiro do curso) mostra um esquema do sistema circulatório humano.
