Estudo de Grupos e Anéis: Exercícios e Definições, Provas de Física

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UNIVERSIDADE PUNGUÉ

EXTENSÃO DE TETE

Estudo de Grupos e Anéis

Licenciatura em Ensino de Matemática

Estruturas Algébricas

Lourenço Rubene Matsimbe

Tete

Agosto de 2023

Lourenço Rubene Matsimbe

Estudo de Grupos e Anéis

Resumo relacionado as aulas sobre Grupos e Anéis que

deve ser submetido no Departamento de Ciências Exactas

na Extensão de Tete, pois servirá como critério de

avaliação.

Tutora: Marques João Manhicana

Tete

Agosto de 2023

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Estruturas Algébricas

INTRODUÇÃO

Acredita-se que o estudo bem sucedido da teoria dos grupos partiu de um artigo publicado em

1770 pelo matem·tico Lagrange, neste artigo ele considerava a resolubilidade das equaÁıes por

meio das permutaÁıes de suas raÌzes. Posteriormente os matem·ticos Galois e Abel provaram

que seria impossÌvel resolver, em termos usuais, as equaÁıes de grau maior do que quatro. Vale

ressaltar que, o termo "grupo" foi usado, de maneira tÈcnica, a primeira vez por Galois.

No decorrer do trabalho veremos alguns resultados acerca de Teoria dos Grupos, apresentando

os conceitos, exemplos e resultados para um melhor entendimento.

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Estruturas Algébricas

TEORIA DE GRUPOS

GRUPÓIDE

Seja M um conjunto não vazio, munido de uma operação ∗. Chama-se de grupóide ao par (𝑀,∗

SEMIGRUPO

Semigrupo é um par ordenado (𝑀,∗) formado por um conjunto não vazio M e uma operação

associativa ∗ em M , isto é, todo grupóide cuja operação ∗ é associativa.

MONÓIDE

Chama-se de monóide a todo grupóide (𝑀,∗) cuja operação ∗ é associativa e admite elemento

neutro, ou todo semigrupo cuja operação ∗ tem admite elemento neutro.

GRUPOS

Primeiramente abordarei algumas estruturas algébricas munidas apenas de uma operação. Estas

estruturas são conhecidas como grupos. Além disso, procurei definir alguns tipos de grupos e

subgrupos e apresentarei seus respectivos exemplos e resultados, para um melhor entendimento.

Definição: Seja M um conjunto não vazio munido de uma operação.

∗: 𝑀 × 𝑀 → 𝑀

Dizemos que (𝑀,∗) é um grupo se as propriedades abaixo são válidas para quaisquer que

sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑀.

 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒 ∈ 𝑀, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 – Elemento neutro ;

− 1

− 1

− 1

𝑒. −𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒛á𝒗𝒆𝒊𝒔

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Estruturas Algébricas

ANEL

Definição: Seja B um conjunto não vazio(𝐵 ≠ ∅) munido de duas operações internas ⊕ 𝑒 ⨂.

Diz se que a terna (𝐵, ⊕, ⨂) é um anel quando as operações internas ⊕ 𝑒 ⨂ possuem as

seguintes propriedades:

 O par (𝐵, ⊕) é um grupo abeliano;

Exemplo:

A terna (𝑀, +,∙) é um anel porque são válidas as seguintes propriedades:

 O par (𝑀, +) é um grupo abeliano;

 O par (𝑀,∙) é um semigrupo;

 A multiplicação (∙) em M é distributiva em relação a adição (+).

ANEL COMUTATIVO

Definição: Diz–se que o anel (𝐵, ⊕, ⨂) é um anel comutativo , quando a operação ⨂ é

comutativa, isto é, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑎 ⨂ 𝑏 = 𝑏 ⨂ 𝑎.

ANEL COM UNIDADE

Definição: Diz-se que o anel (𝐵, ⊕, ⨂) é uma anel com unidade, quando a operação ⨂ admite

elemento neutro em B, isto é, ∀ 𝑎 ∈ 𝐵, 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑎 ⨂ 1

𝐵

𝐵

ANEL COMUTATIVO COM UNIDADE

Definição: Diz-se que o anel (𝐵, ⊕, ⨂) é um anel comutativo com unidade, quando a

operação ⨂ for comutativa e admitir elemento neutro em B.

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ANEL COM INTEGRIDADE

Definição: Diz-se que o anel comutativo com unidade (𝐵, ⊕, ⨂) é um anel de integridade,

quando ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑎 ⨂ 𝑏 = 0 𝐵

𝐵

𝐵

, isto é, vale a lei do

anulamento do produto.

Se a e b são elementos não nulos do anel B tais que 𝑎 ⨂ 𝑏 = 0 𝐵

ou 𝑏 ⨂ 𝑎 = 0

𝐵

, dizemos que

a e b são divisores próprios do zero em B.