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Índice 1 Vetores, Matrizes e Coordenadas Introdução, 1 Vetores em Sistemas de Coordenadas Cartesianas, | Mudanças de Eixos. Matrizes de Rotação, 4 Rotações Repetidas. Multiplicação de Matrizes, 8 Sistemas Cartesianos Oblíquos, Matrizes em Geral, 1 Campos Escalares e Vetoriais, 15 Campos Vetoriais no Plano, 21 Campos Vetoriais no Espaço, 27 Coordenadas Curvilineas, 35 | I l | | 1. Il. IR E 2 Do a o la Te las ha 2 Funções de uma Variável Complexa Números Complexos, 45 Geometria é Álgebra Básicas dos Números Complexos, 46 A Fórmula de De Moivre e o Cálculo de Raizes, 49 Funções Complexas. A Fórmula de Euler, 50 Aplicações da Fórmula de Euler, 52 26 Funções Plurivocas e Superfícies de Riemann, 55 27 Funções Analíticas, O Teorema de Cauchy, 59 28 Qutros Teoremas Sobre Integrais. A Fórmula da Integral de Cauchy, 62 29 Seguências e Séries Complexas, 67 2.M Séries de Taylor e de Laurent, 72 2.11 Zerose Singularidades, 79 2.12 O Teorema do Residuo e suas Aplicações, 84 2.13 Aplicação Conforme por Meio de Funções Analíticas, 99 24 A Esfera Complexa e o Ponto no Infinito, 104 215 Representações Integrais, 106 Ed pod pa a pa tom a tas od 3 Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem 3.1 Introdução Geral. O Wronskiano, 125 32 Solução Geral da Equação Homogênea, 127 A Equação Não-homogênea. Variação das Constantes, 128 34 Soluções por Séries de Potências, 130 87 Espectro de Autovalores Continuo, 312 8.8 Vibrações de uma Membrana, Degenerescência 317 8.9 A Propagação do Som. Equação de Helmholtz, 322 9 Funções Especiais 9.1 92 23 24 as 2.6 97 98 9,9 9,10 9.11 Coordenadas Cilindricas e Esféricas, 136 Os Problemas Comuns de Valores de Contorno, 338 O Problema de Sturm-Liouville, 341 , Operidores Auto-Ádjuntos, 144 Polinômios de Legendre, 345 Séries de Fourier-Legendre, 353 As Funções de Bessel, 358 Funções de Lependre Associadas e Harmônicas Esféricas, 374 Funções Esféricas de Bessel. 383 Funções de Neumann, 390 Funções de Bessel Modificadas, 396 ID Espaços Lineares de Dimensão Finita 10,1 10.2 10.3 10,4 10.5 10,6 10,7 10.8 10.9 Oscilações de Sistemas com Dois Graus de Liberdade, 406 Coordenadas Normais e Transformações Lineares, 412 Espaços Vetoriais, Bases, Coordenadas, 421 Operadores Lineares, Matrizes, Inversas, 426 Mudanças de Bases, 434 Produto Interno, Ortogonalidade, Operadores Unitários, 437 A Métrica. Ortogonalidade Gencralizada, 442 Problemas de Valores Característicos. Diagonalização. 444 Diagonalização Simultânea, 452 1 Espaços Vetoriais de Dimensão Infinita Ha 1.2 H,3 n4 1.5 11.6 7 1.8 Espaços de Funções. 463 Os Postulados da Mecânica Quântica, 467 O Oscilador Harmônico, 47] Represchiação Matricial de Operadores Lincares, 476 Métodos Algébricos de Solução, 482 Bases com Ortogonalidade Generalizada, 488 A Corda Distendida com uma Massa Discreta em seu Ponto Médio, 491 Aplicações das Funções Características, 494. IZ As Funções de Green Za 12.2 123 A 12.5 12.6 12.7 IZ,8 12.9 Introdução, 502 A Função de Green para o Operador de Sturm-Liouville, 508 Desenvolvimento em Série de G(xl). 513 Funções de Green em Duas Dimensões, 519 A Função de Green para as Condições Iniciais, 522 Funções de Green com Propriedades de Reflexão, 527 Funções de Green para Condições de Contorno, 531 O Método da Função de Green, 535 O Caso de um Espectro Continuo, 543 13 Métodos Variacionais 3.1 82 33 5.4 O Problema da Braquistócrona, 552 A Equação de Euler-Lagrange, 554 O Princípio de Hamilton, 559 o Problemas que Envolvem Operadores de Sturm-Liouville, 561 13.5 O Método de Rayleigh- Ritz, 564 13.6 Problemas Variacionais com Restrições, 567 13.7 Formulação Variacional dos Problemas de Autovalores, 572 13,8 Problemas Variacionais em Muitas Dimensões, 576 13.9 Formulação de Problemas de Autovalores pelo Método da Razão, 579 14 Ondas, Radiação, Espalhamento 14.1 Movimento de uma Corda Distendida Infinita, 588 14.2 Propagação de Condições Iniciais, 59] 14.3 Corda Semi-infinita. Usq de Propriedades de Simetria, 594 14,4 Fluxo de Encrgia e de Potência em uma Corda Distendida, 598 14.5 Geração de Ondas em uma Corda Distendida, 602 14.6 Radiação de Som de uma Esfera Pulsante, 610 14.70 Potencial Retardado, 618 14.8 Ondas que se Deslocam em Meios Não-homogêneos, 623 14.9 Amplitudes de Espalhamento e Deslocamentos de Fase, 627 14.10 Espalhamento em Três Dimensões. Análise Parcial das Ondas, 631 15 Métodos de Perturbação 15.1 Introdução, 642 15.2 A Aproximação de Bom, 645 15.3 Perturbação de Problemas de Autovalores, 648 15.4 Teoria da Rayleigh-Schródinger de Primeira Ordem, 650 15.5 A Teoria de Segunda Ordem Não-degenerada, 655 15.6 O Caso de Autovalores Degenerados, 662 16 Tensores 16.1 Introdução, 668 16.2 Tensões Bidimensionais, 669 16.3 Tensores Cartesianos, 67] 16.4 Algebra dos Tensores Cartesianos, 677 l6.5 Tensores de Kronecker e de Levi-Civita. Pseudotensores, 680 16.6 Derivadas de Tensores. O Tensor das Deformações e a Lei de Hooke, 683 16.7 Tensores em Sistemas Cartesianos Oblíquos. Representações Covariantes e Contravariantes, 691 16.8 Tensores Gerais, 695 16.9 A Álgebra dos Tensores Gerais. Tensores Relativos, 700 16.10 A Derivada Covariante, 706 16.11 Cálculo dos Tensores Gerais, 710 Índice Alfabético, 720 FÍSICA MATEMÁTICA 2 a) multiplicação por um escalar* Es Açao Estas operações estão ilustradas na Fig. 1.1. ” Eai Aa Fig. 11 Em muitos casos podemos desenhar vários vetores à partir O orita. origem. Então, cada vetor pode ser caracterizado pelas coordena as E a ori Podem-se utilizar vários sistemas de coordenadas, mas Os sistenias de co cuadas cartesianas são os mais convenientes. A razão disso é muito simples e mui Pr funda: as coordenadas cartesianas de um ponto podem servir, ao mesmo pe co: ; componentes do vetor correspondente. Isso está ilustrado na Figura 1.2, onde E lhemos sistemas cartesianos ortogonais no plano e no espaço. Observe que o sistem: tridimensional é “'dextrogiro”'**; em geral, usaremos, neste livro, sistemas dextrogi- ros. Fig. 1.2 Podemos agora associar a um vetor u (do espaço) com conjunto de três escalares (Ux, 4Uy 4.) de tal maneira que Au corresponderá a (Au, A4, M,)eu + v corresponderá a (tz + Vo ty + Yy tz + v;). Observe que, em geral, nenhuma de tais relações se verificará, se um vetor for caracterizado por outros tipos de coordenadas, como as esféricas ou cilíndricas. Além disso, coordenadas cartesianas ortogonais dão origem a fórmulas muito simples para outras quantidades usuais associadas a vetores, tais com a) o comprimento (a grandeza) de um vetor: mi ça raE estarmos aptos a discutir os vetores complexos (Capítulo 10), suporemos que os escalares são números Is. Poa a 5 a casei r árit Uma rotação de 90º do eixo dos x, até coincidir com O eixo dos y, parece ser feita no sentido contrário ao dos » Pi ponteiros do relógio, Para um observador qualquer, pi comz >0. Os si iros são também chamados de “positivamente orientados". z Os sistemas dextrogiros são també psp nba VETORES, MATRIZES E CODADENADAS ju = u= (8414 +60, b) projeções de um vetor sobre os eixos coordenados:* u, = ucos (u, i), uy = ucos (u, j), u = ucos (u, k), c) projeção de um vetor em uma direção arbitrária definida pelo vetor s (Fig. 1.3): OP = u, = ucosy = us cos (s,i) + uycos (5,5) + us cos (s, k). dy produto escalar de dois vetores: (uv) = uvcos (u, 7) = Ur + Uyby MD e) produto vetorial: lu x 1] = (40 — ul + (Mor — urbe) + (usby — Upa)k. | À j K [el)= jus dy th Va da, Vi | Fig. 1.3 A característica importante que distingue o produto vetorial é que [u X v] [v x u], ou seja, ele não é comutativo; em verdade, é anticomutativo lux wm]=—[v Xu) Observação: Além de suas aplicações físicas importantes, o produto vetorial de dois vetores nos conduz ao conceito de “área orientada.” O múdulo de [u x vw). que é uv | sen tu, v) | é igual à área do paralelograma formado por u é v. A direção de [u x w) pode ser usada para distinguir, no paralelogramo, o seu “lado positivo” do “lado negativo”. A Figura 1.4 mostra dois aspectos do mesmo paralelogramo, para ilustrar esta idéia. o conceito de um terno positivamente orientado de vetores está estreitamente relacionado com esta propriedade, Três vetores quaisquer u, v € w, tomados nesta “Usamos aqui a notação padrão: os simbolos |, ), k são os vetores unitários nas direções x, y € 2 respectiva- mente, O simbolo (u, v) representa o ângulo entre as direções dadas por dé v. VETORES, MATRIZES E COORDENADAS. 5 Considere, para os vetores no plano, a mudança no sistema de eixos produzida por uma rotação de um ângulo 4, como most rado na Fig. 1.6. O sistema antigo é (x, 3) e o sistema novo é (x,y). Como u = ut,i + u,j, 3 componente x! deu será a soma das projeções dos vetores 1,i e m,j sobre o eixo x', e, do mesmo modo, para a componente y'. Pelo diagrama, vemos que isso fornece ui = ucoso + ut, sem 6, Hm = —Uy sen b + Up COS 8. É instrutivo observar que o ângulo entre 0 eixo x' e eixo y é (r/2 — 9). enquanto que o ângulo entre o eixo y' e o eixo x é (7/2 + 4). Em virtude de sen À = cos (: = o) —sen9 = cos (5 + DE vemos que todos os quatro coeficientes nas equações acima representam Os co-sedos dos ângulos entre os respectivos eixos. Consideremos agora o caso tridimensional, A Figura 1.7 representa dois sistemas “cartésianos ortogonais, ambos positivamente orientados, com centro em o. É intuiti- vamente claro que o sistema x y'z' pode ser obtido do sistema xyz pelo movimento de um “corpo rigido em torno de um ponto fixo”, Em verdade, mostra-se em quase qualquer texto de mecânica! que um tal movimento pode ser reduzido a uma rotação em torno de um eixo (teorema de Euler). Escreva u=ui+tm+ uk, reúna as contribuições a u', efetuadas pelos três vetores ui, drajs 1t,k, € obtenha ut = uecos (1, i) + uy cos (1,)) + u. cos (1, k), À onde 1º é, naturalmente, o vetor unitário da direção x”, Observe que os co-senos en- volvidos são os co-senos diretores da direção x“ em relação ao sistema xyz, ou ainda os produtos escalares dei com lj ek. É claro que podemos escrever fórmulas semelhantes para 4", e ',. Neste estágio, no entanto, é muito conveniente mudar de notação: em vez de escrever (u,. to ts), escrevemos (uy tias ita) e, do mesmo modo (re, tr'a 1/9) em vez de (u's. 1", 1',), Além disso, represente por cs O angulo entre om-ésimo eixo do sistema xy'z' e 0 n-ésimo eixo do sistema vz (marcamos trés destes ângulos na Figura 1,5) € por dm O COSENO correspondente (isto É, Gan = COS mn). Esta Nova notação nos permite escrever as fórmulas de transformação de maneira facilmente memorizável: vi = Guta + Gratia + argtta, u% = daqui, + Gagtto + Gaga, Gail + Qualta + salta, nã *Por exemplo. Goldsein, Clussical Mechanics. Seção 4.6. FÍSICA MATEMÁTICA Fig. L6 Fig. 1.7 ou, sé quisermos, na forma compacta a ua = Po Fantin (m = 1,2,3). Desta análise, concluímos que as novas componentes (1, ma 43) o da obtidas a partir das componentes velhas (tt, ita dia) COM à ajuda de Regue COS icien ig Estes nove coeficientes, dispostos na forma abaixo, formam uma matriz.* Represen remos as matrizes por letras maiúsculas, Colunas 1a 2» 1a LAR dg Gis 14 A=| am U29 G33 | 28 pLinhas da das Tas za A matriz A possui três linhas e três colunas; os coeficientes individuais a, são cha- mados de elementos ou coeficientes da matriz. É costume usar o primeiro subindice tm, em nosso caso) para designar a linha, e o segundo para designar a coluna; assim, O elemento qu da matriz deverá estar na interseção da k-ésima linha com a l-ésima co- luna. O conjunto de elementos em uma linha dada é muito [requentemente chamado de vetor linha, e o conjunto de elementos em uma coluna de vetor coluna. Esta nomencla- lura se justifica pelo fato de que trés números quaisquer podem sempre ser interpreta- dos como as componentes de um certo vetor do espaço. No entanto, vale a pena, *Mais precisamente, formou-se uma matriz 3 x 3. O leitor poderá facilmente construir uma matriz 2 * 2 análoga, para 6 caso das rotações do plano. FÍSICA MATEMÁTICA | ! Observação: Veja que o conjunto (tri ta nu), disposto em coluna não foi simplesmente Fepreses, tudo por u, mas por um novo simbolo w.* No contexto de nosso problema, tanto y Como pi Fepresentam o mesmo vetor wu, mas em relação a sistemas diferentes de eixos, Devem E ; 05 COnsido. rar w e 4” duas representações diferentes de u, e a matriz de À nos mostra como Pussar de dio para a outra, º Antes de discutirmos outros tópicos sobre matrizes, registremos o fato de que nossa matriz A não é somente uma coleção de nove escalares arbitrários. Os cocficien. tes da matriz são imerdependentes e possuem as propriedades seguintes. a) As colunas de À são imurmamente ortogemais, isto É cas apa mim eras > dia + dantas + dass = 0, | Cotia + Oostloa + dgsdas = 0, | Syatia É Gasto + asia = O, Esta propriedade segue-se do fato de que as colunas de A são 4 representação ino sistema novo) dos vetores ii jek,e estes vetores são ortogonais dois a dois. b) As colunas de À têm módulo |, isto é +] oi ai + à) = |, z ais + ai + ai =, 2 2 E “sta +ag=l pois i, je k são vetores unitários. c) As linhas de 4 são também ortogonais duas u duas e possuem módulo |, Isso é verificado deduzindo-se a significação geométrica dos vetores linha de A.** As matrizes que satisfazem estas três propriedades são chamadas de ortogonais. Podemos então concluir que as matrizes que representam rotações de sistemas carte- sianos ortogônais no espaço são matrizes ortogonais. Observação. Há matrizes ortogonais que não representam rotações. As matrizes de rol ação pos- suem uma propriedade adicional: seu determinante (ico, 0 determinante do sistema de equações da página 5) é igual a +. Em outros casos, matrizes ortogonais podem ter determinante igual a =1. À questão é que uma rotação deve dar origem a um temo (if, j', k') de vetores unitários positivamente orientados, visto que (i, J, k) é um terno positivamente orientado *** 1.4 ROTAÇÕES REPETIDAS. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A notação matricial introduzida na seção precedente revela-se particularmente útil quando temos mudanças sucessivas de eixos de coordenadas, Além dos sistemas x' y 3 e xyz relacionados pela matriz A, seja um terceiro sistema de eixos x” vz", e suponhamos que ele está relacionado ao sistema xr! v' 2" pela matriz B: bm bia bis B= ba bas bas bar bas bys *O simbolo u não deveria ser confundido com [|u |, o módulo do vetor um, tumbém representado por u (p-2h **Mostraremos no Capítulo 10 que qualquer matriz NM x N que satisfaz (a) € (b) deve satisfazer também le) *"*Veju o Problema 4 no Fim deste capítulo. VETORES, MATRIZES E COORDENADAS Evidentemente, o sistema x" y"' z”” pode ser diretamente relacionado ao sistema x, y, Z por meio de uma certa matriz C, e nosso problema é calcular os elementos Cm à partir dos coeficientes am € Dan. Temos N ut = ba + byous + brauã, us = boyuh + Dash + Dastiã, baaui + baaus + bastiã, us ut = ati + arattz + Grata, us = aorlly + aoottz + Gogua, us = agjty + agoltz + Gaglias de onde segue-se que u? = (bnam + bia + bisasur + (biaio + bazdos + bisdaa)ua + (brasa + bizaos + disasa)usa, us = (boran + basaa + bosds ty + (bararz + Dbazdas + basaao)uz + (baias + bo2a23 + bosaza)us, (baia + baza21 + baaa3 um + (baiarz + bazdaz + basaso)ua + (baias + basaos + basaaa)ts- Esta floresta de coeficientes matriciais torna-se manuseável se notarmos que cada co- eficiente associado com “, é o produto escalar de uma linha da matriz B com uma coluna da matriz A. Se examinarmos mais detidamente estas relações, poderemos enunciar o seguinte: o elemento Cn da matriz C é obtido tomando-se o produto esca- lar da m-ésima linha da matriz B com a n-ésima coluna da matriz A. Agora, se escre- vermos nossa relação na notação simbólica matricial-vetorial ] us u = Au, u” = Bv, w! = Cu, somos então naturalmente conduzidos à relação "= Cu = B(Au). Parece agora razoável definir o produto de duas matrizes, como B e 4, a fim de obter- mos à matriz C, de maneira que a relação acima possa também ser escrita como* u” = Cu = (BA. Neste sentido, escrevemos ci Cp C13 bm biz bis am GQ aa coa co cos |=| bo Dor boa |*| ao az» ass ca C32 Cas bai bao bas Q31 G32 ass emitia sais *A diferença é, natura é primei ça é, naturalmente, que em B(Au) o vetor coluna u é primeiramente multiplic: i é e ultiplicado por a origem a um outro vetor coluna que é, por sua vez, multiplicado por B. Em (BAJu pa co ad dando lugar as matrizes, donde resulta uma nova matriz que age sobre u. É Primeiro VETORES, MATRIZES E COORDENADAS N e : ente, i Heitor E . . Evidentem O sistema x** y'! z* pode ser diretamente relacionado ao sistema x, ), Z r meio de uma certa matriz C, e nosso problema é calcular os elementos cm, à partir dos coeficientes ama € Dm. Temos “ Mo ur = byui + bioub + bystib, n! uy = bau + Dbooub + bogus, , baqui + baoub + bagus, us W = GU, + arous + argus, Uz = Got + aooua + aogus, uz = agjuy + asauz + aggua, de onde segue-se que ut = (bra + braga + bisagiuy + (biayo + dizaos + bisaso)us + (brasa + broao3 + bisaas)us, (ba1011 + basao, + basasi)ui + (barara + bagaao + basazo)uo + (banais + bo2a23 + basazs)ua, us = (bajar + bazas, + basasu + (baiaia + ba2a2o + baaaso)uz + (baiay3 + Dazãos + basasa)us. Esta floresta de coeficientes matriciais torna-se manuseável se notarmos que cada co- eficiente associado com 1, é o produto escalar de uma linha da matriz B com uma coluna da matriz 4. Se examinarmos mais detidamente estas relações, poderemos enunciar o seguinte: o elemento comu du matriz C é obtido tomando-se o produto esca- lar da m-ésima linha da matriz B com a n-ésima coluna da matriz A. Agora, se escre- vermos nossa relação na notação simbólica matricial-vetorial ug u = Au, u" = Bu, u" = Cu, somos então naturalmente conduzidos à relação u! = Cu = B(Au). Parece agora razoável definir o produto de duas matrizes, como B e A, a fim de obter- mos a matriz C, de maneira que a relação acima possa também ser escrita como* u! = Cu = (BA)u. Neste sentido, escrevemos Ci C12 Ci3 bm bz bis aj G2 dia co co» cos [=| ba baz bos |*| ao azo dos Ca1 Ca2 C33 bai baz bas q31 32 Gas 0 “A diferença é, naturalmente, que em B(Au) o vetor coluna u é primeiramente multiplicado por A, dando 9rigem a um outro vetor coluna que é, por sua vez, multiplicado por B. Em (BAJu, multiplicamos em primeiro lugar as matrizes, donde resulta uma nova matriz que age sobre u. em 10 FÍSICA MATEMÁTICA À ou, simbolicamente, C=BA ficando subentendido que os elementos da matriz C acima. Após a introdução da noção de multiplicação matricial, estamos naty teressados em determinar se esta Operação goza das mesmas propriedade tiplicação de números ordinários (escalare s). Uma verificação simples mo valece a lei associativa: se multiplicarmos três matrizes A, B, e C, nesta pode ser feito de duas manciras estão definidos pela regra Citada ralmente ip. Que a muj. stra que pre. ordem, isso ABC = (ABJC = A(BC) tonde fica subentendido que a 0) peração entre parênteses é efetuada em primeiro tus gar). Exercício. Verifique esta afirm ação. [Supestão: Se AB = D, então os elementos de D são dados por E) diam +» Amiba- tel Desenvolva os elementos das matrizes ( ABIC e ABC) usando a fórmula acima e verifique que são iguais.) Por outro lado, a multiplicação matricial É não-comutativa: AB x BA, e. além disso, não há, em geral, nenhuma relação simples entre AB e BA. Esta caracte- rística de não-comutatividade exclui a possibilidade de se definir a “divisão de matri- zes”.* No entanto, é possivel falar da inversa de uma matriz e este conceito surge naturalmente em nossa discussão sobre rotações. Com efeito, se girarmos nosso sis- tema cartesiano ortogonal de cixos, as novas coordenadas do vetor u são obtidas da equação matricial vetorial u = Au, Suponha agora que fazemos girar os eixos de volta às suas posições originais. As E Í E ; novas componentes de vetor u são dadas por (tt. ts dt) € as antigas são dadas por (tr, u'y w's); estas componentes devem estar relacionadas por uma certa matriz B: “= Bu”, Combinando estas relações, obtemos u= B(Au)=(BAju. Portanto, a matriz BA deve transformar as componentes (tt, ts, 4t3) nelas próprias. É fácil de ver que isso pode ser feito por intermédio da chamada matriz unidade (matr? . identidade ”) *Se escrevêssemos AJB = X, surgiria a pergunta: 4 = BX ouM = KB? 12 FÍSICA MATEMÁTICA Fig. 1.8 usados para representar os vetores unitários na direção dos eixos. Observe que ainda podemos falar de sistemas dexirogiros no espaço. quando os vetores à, jy K (nesta ordem!) formam um sistema dextrogiro ou positivamente orientado. Os vetores são somados ou multiplicados por exculares, seguindo as mesmas re- gras que foram enunciadas antes. No entanto, o comprimento de um vetor é agora dado por uma fórmula diferente. Por exemplo, para um vetor plano teremos, pela Figura 1,8 (a), usando à lei dos co-senos [uj? = u2 + vu — 2uu, cos (r — 6) = 16 + uy + 2usiy COS O de maneira que jul = V uz + uz + 2uteuty cos de Em geral, o produto escalar não é mais dado pela soma dos produtos das componen- tes, mas por uma fórmula mais complicada. Em verdade, introduziremos mesmo um novo nome para ele, chama-lo-emos de produre interno, que será então definido por (uv) = Jul |y| cos (u, v). A razão para isso é que gostaríamos de conservar à designação de produto escalar para a soma dos produtos das componentes de dois vetores. quer em sistemas ortogonais OU obliquos.* n A dedução da fórmula do produto interno em um sistema oblíquo fica muito Facili- tada por sua propriedade distributiva, ou seja. (u(v +) = (uºv) + (ue w). “Com esta distinção, o produto escalar se torna um conceito algébrica (relativo às componentes), enquanto o produto interno é um conceito geomérrico, independente do sistema de coordenadas. Os dois CO coinçidirão desde que 0 sistema seja oriogonal. VETORES, MATRIZES E COORDENADAS 13 Com efeito, vemos pela Figura 1.9 que, em qualquer sistema de coordenadas (u=(v + w) = lul-|y + w] “cos 6 = Jul (MA). No entanto, MN = MP + PN; como MP é a projeção de v sobre u, lemos fo| (MP) = ul - || - cos (u, v), fazendo o mesmo para PN, o que demonstra O resultado. Observe que este raciocínio é também válido para vetores no espaço. Podemos agora escrever* para dois vetoresu = ud +u,jev = vd + vo: (uv) = (ueio v,i) + (uai 05) + (hj 0) + (Mad: tod) = Wide É UsDy COS É + 0: COS À + Up. Observe que esta fórmula recai na fórmula para o produto escalar quado & = 90º, Não há agora nenhuma dificuldade para se deduzir outras fórmulas em sistemas obliquos, no plano ou no espaço. Não entraremos nestes detalhes, mas considerare- mos preferencialmente um outro problema importante: a transformação de coordena- das de um sistema ortogonal para um sistema oblíquo de eixos. Considere, por exemplo, a Figura 1.10; aqui, um sistema obliquo x'y' com vetores unitários i' e j' é sobreposto a um sistema ortogonal xy com vetores unitários à e j. Um vetor dado u pode ser representado como u = + ud +ujoucomoun=u" À +u'j'. É Fig. 1.9 Mesmo que |" = i, as componentes Wf & dy Não são iguais; em verdade temos = 00'=00-— 0'0=u,— wu tgy. Também, u, = OP = uys 7. Vemos que as novas componentes (u',. H',) estão relacionadas de maneira linear com as componentes antigas Mm My), € esta relação pode ser representada por meio da multiplicação vetorial-matricial: *Como tu + v) = tv cu), asegunda hei distribativa (lu + w) ob = tu cow) + [y = we) É trivial. 
