Baixe Análise de Velocidades Angulares e Acelerações em Movimento Circular Uniforme e Variado e outras Resumos em PDF para Física, somente na Docsity!
FÍSICA II
MECÂNICA
MOVIMENTO CIRCULAR (M.C.)
Movimento cuja trajetória é dada por uma
circunferência
0000
ϕ ϕϕ
ϕ : fase inicial (ângulo central inicial), em
0000
t tt
t
ϕϕ ϕϕ : fase (ângulo central), em tttt
ϕϕϕϕ
0 00
0
ϕ ϕϕ
ϕ
∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ
t
0
t
R
O
VELOCIDADE ANGULAR MÉDIA
tttt
m mm
m
∆∆∆∆ ϕϕϕϕ
ωωωω == ==
VELOCIDADE ANGULAR INSTANTÂNEA
dtdtdtdt
d dd
d
tt tt
limlimlimlim
tttt 0000
ϕ ϕϕ
ϕ
ϕ ϕϕ
∆ϕ ∆∆
ωωωω ====
→→→→
UNIDADE DE
mmmm
ωωωω E ωωωω
) ( ((
( ) ))
)
SISISISI
ssss
radradradrad
uuuu tttt
uuuu
uuuu uuuu
mmmm
∆∆∆∆ϕϕϕϕ
ωωωω==== ωωωω ====
ACELERAÇÃO ANGULAR MÉDIA
t tt
t
mmmm
ω ωω
∆ω ∆∆
αααα == ==
ACELERAÇÃO ANGULAR INSTANTÂNEA
dtdtdtdt
dddd
tttt
lim limlim
lim
tttt 0000
ωωωω
∆∆∆∆ωω ωω
α= αα
α
→→→→
UNIDADE DE
mmmm
αααα E αααα
(( (( )))) (((( ))))
(((( SISISISI))))
s ss
s
radradradrad
uuuu tttt
uuuu
uuuu uuuu
2222
mmmm
∆∆∆∆ωωωω
αααα ==== αααα ====
RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES
POSIÇÃO
ssss==== RRRR⋅⋅⋅⋅ ϕϕϕϕ
DESLOCAMENTO
∆∆∆∆ ssss ====RRRR⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆ ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
0000
ϕϕϕϕ
∆ϕ∆ϕ ∆ϕ∆ϕ
R
O
s
0
s
∆∆∆∆ s
t tt
t
RR RR
t tt
t
R
RR
R
t tt
t
s ss
s
vv vv
mmmm
ϕ ϕϕ
∆ϕ ∆∆
ϕ ϕϕ
∆ϕ ∆∆
==== , portanto:
VELOCIDADE LINEAR MÉDIA
m mm
m m mm
m
vvvv ====RRRR⋅⋅⋅⋅ωωωω
VELOCIDADE LINEAR INSTANTÂNEA
vvvv==== RRRR⋅⋅⋅⋅ωω ωω
R
O
v
ωω ωω
ACELERAÇÃO TANGENCIAL (OU LINEAR)
aaaa ==== RRRR⋅⋅⋅⋅ αααα
T TT
T
ACELERAÇÃO CENTRÍPETA
RRRR
vvvv
a aa
a
2222
CPCPCPCP
R
O
ωω ωω
a
T
a
cp
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
tttt
cte ctecte
cte
mmmm
∆∆∆∆ϕϕ ϕϕ
ω = ωω
=ω
ω= ωω
⇒ω ⇒⇒
ω= ωω
ω
t tt
t
0000
ω⋅ ωω
+ω ++
ϕ + ϕϕ
=ϕ
ϕ= ϕϕ
ϕ
O M.C.U. é um movimento periódico.
RELAÇÃO ENTRE ωωωω E TTTT NO M.C.U.
rad radrad
2 rad 22
T 2
TT
t T tt
t π ππ
= π
ϕ= ϕϕ
∆ϕ ∆∆
portanto,
TTTT
2222 ππππ
ωωωω ====
RELAÇÃO ENTRE ωωωω E f NO M.C.U.
TT TT
2222 ππππ
ωωωω ==== ,
mas,
TTTT
ffff ==== ;
portanto, ωωωω==== 2222 ππππ⋅⋅⋅⋅ffff
ACELERAÇÕES NO M.C.U.
a 0 aa
0 a 00
TTTT
α= αα
α
RRRR
vvvv
a aa
a
2222
CPCPCPCP
ACELERAÇÃO TOTAL NO M.C.U.
CP CPCP
CP
aaaa ====aaaa
R
O
ω =ω =ω =ω = cte
a
cp
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V.)
tttt
cte ctecte
cte
mmmm
∆∆∆∆ ωωωω
α = αα
=α
α= αα
⇒α ⇒⇒
α= αα
α
t tt
t
0000
α⋅ αα
+α ++
ω + ωω
=ω
ω= ωω
ω
2222
0 00
0 0 00
0
tttt
tttt ⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆
αααα
ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ ++++ωωωω ⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆++ ++
ωωωω ====ωωωω ++++ 2222 ⋅⋅⋅⋅αααα⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆ ϕϕϕϕ
2 22
2
0 00
0
2 22
2
(EQ. DE TORRICELLI)
O M.C.U.V. não é um movimento periódico.
ACELERAÇÕES NO M.C.U.V.
α αα
⋅α ⋅⋅
= R
RR
a R aa
a
TTTT
RRRR
vvvv
aaaa
2 22
2
CPCPCPCP
ACELERAÇÃO TOTAL NO M.C.U.V.
2 22
2
cpcpcpcp
2 22
2
TTTT
aaaa ==== aaaa ++++aaaa
R
O
ω =ω =ω =ω = cte
a
cp
R
O
ωωωω
a
T
a
cp
a
É importante notar a seguinte relação entre x e a:
- ==== −−−−ωωωω ⋅⋅⋅⋅ (((( ωωωω⋅⋅⋅⋅ ++++δδδδ)))) ⇒⇒⇒⇒
xxxx
2222
aaaa AAAA coscoscoscos tttt aaaa xxxx
2222
====−−−− ωωωω
DINÂMICA DO M.H.S.
Para sistema sob ação exclusiva de uma força elástica:
x el
aplicando, para o sistema, a segunda lei da Mecânica (2ª. lei de Newton), obtemos:
x
a partir daí, deduzimos que:
m mm
m
k kk
k
aaaa ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ ;
se compararmos a equação anterior com a relação entre a e x válida para o M.H.S.:
a x aa
a
2222
ω ωω
−ω −−
concluímos que todo corpo sob ação exclusiva de uma força elástica realizará um M.H.S., para o
qual será válida a seguinte relação, entre a pulsação ω, a contante elástica k e sua massa m:
mmmm
kkkk
2222
ω = ωω
ω .
ENERGIA NO M.H.S.
- Num sistema conservativo: E cte
M
- considerando um oscilador harmônico, temos:
M C el
E E + E
C el
- em particular,
- se x ==== A , então se
kA
E
2
el
- mas, em x ==== A , v ==== 0 ; portanto E 0
C
- concluímos então que, num oscilador harmônico, é válida, em qualquer instante, a
relação:
kA
E E
2
C el
UNIDADE DE W (SI)
u (W) ==== u(F) ⋅⋅⋅⋅ u( ∆∆∆∆l ) ==== 1 N ⋅⋅⋅⋅ 1 m ==== 1 N ⋅⋅⋅⋅ m ==== 1 J
r
r
(1 joule)(1 joule)(1 joule)(1 joule)
- caso particular: TRABALHO MECÂNICO PA TRABALHO MECÂNICO PATRABALHO MECÂNICO PA
TRABALHO MECÂNICO PARA RARA
RA F ==== cte
r
⇒⇒⇒⇒θθθθ ====
cte
sentidodeF cte
direçãodeF cte
F cte
F cte
r
r r
ou seja,
F cte Fcos = cte
θ= θθ
⋅ θ ⋅⋅
r
F
m
v
x
x
θθθθ = cte
∆∆∆∆ x
x
i
x
f
= cte
Neste caso,
==== •••• ==== ⋅⋅⋅⋅ θθθθ⋅⋅⋅⋅
f
i
f
i
x
x
cte
x
x
W F dx F cos dx
r
r
i
f
x
x
cte
x
x
W F cos dx Fcos x
f
i
==== ⋅⋅⋅⋅ θθθθ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ θθθθ ⋅⋅⋅⋅
• ou seja, W F cos (((( x x )))) F cos x
f i
==== ⋅⋅⋅⋅ θθθθ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== ⋅⋅⋅⋅ θθθθ⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆
- concluindo, F ==== cte ⇒⇒⇒⇒ W ==== F ⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆ x ⋅⋅⋅⋅ cos θθθθ
r
( TRABALHO MECÂNICO PATRABALHO MECÂNICO PARATRABALHO MECÂNICO PATRABALHO MECÂNICO PARARARA F = cte
r
TRABALHO REALIZADO POR UM SISTEMA DE FORÇAS INDEPENDENTES
- Seja uma força resultante R
r
dada pela soma de n componentes:
1 2 3 n
R F F F F
r
L
r r r r
- o trabalho realizado por R
r
é dado por,
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
f
i
f
i
x
x
1 2 3 n
x
x
R
W R dx (F F F F) dx
r
r
L
r r r r
r
- aplicando as propriedades operacionais do produto escalar e da integração, obtemos que
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
f
i
f
i
f
i
f
i
x
x
n
x
x
3
x
x
2
x
x
R 1
W F dx F dx F dx F dx
r
r
L
r
r
r
r
r
r
- finalmente, definindo os trabalhos respectivos de cada uma das componentes:
∫ ∫∫
∫
f
i
x
x
i i
W F dx
r
r
o trabalho realizado por uma força R
r
é igual soma dos trabalhos independentes associados a
cada uma de suas componentes.
1 2 3 n R 1 2 3 n
R ==== F ++++ F ++++ F ++++ ++++ F ⇒⇒⇒⇒ W ==== W ++++ W ++++ W ++++K++++ W
r
L
r r r r
TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA
- Seja uma força resultante R
r
aplicada sobre um corpo de massa m. Sob a ação desta
resultante R
r
, o corpo tem sua velocidade alterada de
i
x
v
r
para
f
x
v
r
- Calculemos o trabalho elementar realizado por R
r
- dW R dx R dx cos R cos dx
x
R
==== • ••• ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ θθθθ==== ⋅⋅⋅⋅ θθθθ ⋅⋅⋅⋅
r
r
dW R dx
x
(eq. 1) ;
- considerando, agora, a 2ª. lei de Newton, aplicada para o módulo da componente
x
R
r
dt
dv
R ma m
x
x x
==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ (eq. 2) ;
- considerando, ainda, a definição de velocidade:
dt
dx
v
x
==== ⋅⋅⋅⋅ (eq. 3).
- Substituindo, então, as equações (eq. 2) e (eq. 3) na equação (eq. 1) , obtemos que:
POTÊNCIA MECÂNICA
dt
dW
P ====
A potência mecânica representa a taxa temporal de realização do trabalho mecânico.
r
r
dt
d x
v
r
r
= , ou seja, dx v ⋅ dt ⋅⋅
r r
- obtemos que: dW F (v dt) (F v) ⋅ dt ⋅⋅
r
r
r
r
dt
dW
P
r
r
UNIDADE DE P (SI)
1 W
s
J
1 s
1 J
u(t)
u(W)
u( P) ==== ==== ==== ==== (1 watt)
DETERMINAÇÃO DE W EM FUNÇÃO DA POTÊNCIA MECÂNICA
dt
dW
P ==== ;
t
t
t
t 0 0
W P dt (F v) d t
r
r
UNIDADES PRÁTICAS DE ENERGIA
(1) Quilowatt-hora (kWh)
u(W) u(P) u(t)
u(t)
u(W)
u (P) ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ⋅⋅⋅⋅
- portanto, adotando, u (P) 1 kW 10 W
3
- e u (t) ==== 1 h ,
- obtemos,
u (W) 1 kW 1 h = 1 kWh
(1 quilowatt-hora)
RELAÇÃO ENTRE kWh E J:
- 1 kWh 1 kW 1 h 10 W 3 , 6 10 s
3 3
==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ×××× ,
- ou seja, 1 kWh 3 , 6 10 W s
6
× ⋅
××
= ×
1 kWh 3 , 6 10 J
6
==== ××××
(2) Elétron-volt (eV)
- unidade utilizada em Física Quântica
1 eV 1 , 6 10 J
−−−− 19
==== ××××
TRABALHO REALIZADO SOBRE UM SISTEMA ELÁSTICO
llll
0
llll
∆∆∆∆ x
x
x
R
x
- Seja dado um sistema elástico, submetido a uma deformação i
d x ==== dx
r
- de acordo com a lei de Hooke, a força necessária para produzir tal deformação é dada por:
R k xi k (((( x 0 )))) i k xi
x
r r r r
= , onde k é a constante elástica do sistema;
R dx (k xi) (dx
x
r
r
r
- Podemos, agora, calcular o trabalho realizado sobre o sistema elástico:
x
0
x
0
x
x
el x
W R dx k x dx k x dx
f
i
r
r
, ou seja,
k x
k 0
k x
x
k x
W
2 2 2 2
el
k x
W
2
el
==== (TRABALHO REALIZADO SOBRE UM SISTEMA ELÁSTICO)
CONSEQUÊNCIAS:
- considerando a orientação do sistema de coordenadas adotado para este problema,
concluímos:
- num movimento descendente, ∆∆∆∆ y <<<< 0
; logo W 0
P
r
( P
r
realiza TRABALHO MOTOR );
- num movimento ascendente, ∆∆∆∆ y >>>> 0
; logo W 0
P
r
( P
r
realiza TRABALHO RESISTENTE ).
y
x
A
B
P
y
f
y
i
g
Movimento descendente: W
P
> 0
(trabalho motor)
y
x
A
B
P
y
i
y
f
g
Movimento ascendente: W
P
< 0
(trabalho resistente)
PESO: UMA FORÇA CONSERVATIVA
y
A
y
x
B
A
P
y
B
g
Trajetória fechada: W
P
C
1
C
2
C = C
1
U C
2
- Consideremos o trabalho realizado pela força peso aplicada sobre um corpo que se
movimenta ao longo de uma trajetória aberta CCCC 1 11
1 qualquer, partindo de certo ponto AAAA e
finalizando em outro ponto B, B,B,
B, tais que
A B
y < y <<
1 f i B A
- e o trabalho é negativo ( W 0
1
C
P
r
), apresentando valor:
1
C
P
W mg y
1
r
(ao longo da trajetória aberta C
1
- Imaginemos, agora, que o corpo retorna ao ponto A,A,A,A, partindo de BBBB, percorrendo, no entanto,
uma outra trajetória aberta CCCC 2222
, distinta da trajetória aberta CCCC 1111
- No retorno, y y y y y 0 2 f i A B
- o trabalho é positivo ( W 0
2
C
P
r
), e apresenta valor:
2
C
P
W mg y
2
∆ ∆∆
r
(ao longo da trajetória aberta C 2
- Se considerarmos, agora, a união das duas trajetórias abertas, obteremos uma TRAJETÓRIA
FECHADA CCCC.
- O trabalho realizado pelo peso ao longo dessa trajetória CCC é dado pela soma dos trabalhosC
independentes realizados ao longo das trajetórias abertas CCCC 1111 e CCCC 2222 :
- W W W ( mg y) ( m g y ) m g( y y )
1 2 1 2
C
P
C
P
C
P
1 1
∆ ∆∆
r r r
.
∆∆∆∆ y ==== y −−−− y ====−−−− (y −−−− y ) ====−−−−∆∆∆∆ y ,
1 2
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
y
F
m
P
g
v
y
= cte
- Consideremos uma força que realiza trabalho sobre um corpo, submetido também à ação do
campo gravitacional, ao longo de uma trajetória vertical.vertical.vertical.vertical.
- Consideremos ainda, o caso em que o movimento é uniformeuniformeuniformeuniforme e ascendenteascendenteascendente.ascendente
- Neste caso, v cte 0 E cte
y c
r
- Aplicando o teorema da energia cinética: C
R
W ====∆∆∆∆ E
r
- concluímos, que, neste problema: W 0
R
r
v r r
==== ++++ ; logo
R F P
W W W
r r r
F P
r r
F P
W W
r r
− −−
- Considerando, agora, que o trabalho realizado pela força peso, ao longo de qualquer
trajetória C é dado por: W m g y
P
r
- obtemos que W ( mg y) mg y mg(y y)
f i
F
r
,
f i
F
W mgy mg ⋅ y ⋅⋅
r
- Portanto, o trabalho realizado por uma força F
r
que atua contra um campo gravitacional, de
modo que o corpo realize um M.R.U., é igual à variação do produto: m ⋅⋅⋅⋅ g ⋅⋅⋅⋅ y
- a este produto, denominamos ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL: E mgy
G
- Então, a partir desta definição, temos que:
f i
G G
F
W ==== E −−−− E
r
- ou seja, acabamos de deduzir o TEOREMA DA ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL:
TEOREMA DA ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
“O trabalho realizado por uma força externa F
r
que atua sobre um corpo contra a ação de um campo
gravitacional, de modo a produzir um M.R.U., é igual à variação de energia potencial gravitacional
associada a este corpo.”
G
F
W ====∆∆∆∆ E
r
CC CCONSEQUÊNCIAONSEQUÊNCIAONSEQUÊNCIAONSEQUÊNCIA::::
F P
W W
r r
G
F
W ====∆∆∆∆ E
r
G
P
W ∆ E
r
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
F
x
m
F
el
k
dx
v
x
= cte
- Consideremos uma força que realiza trabalho sobre um corpo, submetido também à ação de
uma força elástica.
- Consideremos ainda, o caso em que o movimento é uniformeuniformeuniformeuniforme.
- Neste caso, v cte 0 E cte
x c
r
c
- Aplicando o teorema da energia cinética:
C
R
W ====∆∆∆∆ E
r
,
- concluímos, que, neste problema: W 0
R
r
el
R F F
v r r
= ; logo
el
R F F
W W W
r r r
el
F F
r r
