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A problemática a ser desenvolvida consiste: Como é possível a Matemática Pura, segundo Kant? Como um estudante se baseia numa ciência com a Matemática sem ao menos conhecer os critérios que a validem como ciência. A intenção do trabalho não é dizer se Kant está correto em suas definições, mas sim expor as ideias Matemáticas desse filósofo que revolucionou o pensamento. O trabalho apresenta a História da Filosofia Matemática, passando por Racionalismo, Empirismo, Construtivismo, entre outras corr
Tipologia: Notas de estudo
Compartilhado em 18/03/2011
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Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do título de licenciado em Matemática, pelo Curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade Integrado de Ciências Humanas e Educação de Guarulhos. Orientador: Prof. Dr. Rogério Fonseca
Dedico esse trabalho, especialmente à memória de meu pai, que até hoje me lembro de nunca ter aprendido o conceito de raiz quadrada, pai pelo menos isso eu consegui.
“O homem só pode ser homem mediante a educação”
(Immanuel Kant – 1724 a 1804)
A problemática a ser desenvolvida consiste: Como é possível a Matemática Pura, segundo Kant?
Como um estudante se baseia numa ciência com a Matemática sem ao menos conhecer os critérios que a validem como ciência.
A intenção do trabalho não é dizer se Kant está correto em suas definições, mas sim expor as ideias Matemáticas desse filósofo que revolucionou o pensamento.
O trabalho apresenta a História da Filosofia Matemática, passando por Racionalismo, Empirismo, Construtivismo, entre outras correntes.
Palavras Chaves : Kant, Filosofia da Matemática, Epistemologia, História da Matemática.
A Matemática apresenta peculiaridades para qualquer epistemologia, dentre as quais se destacam algumas correntes filosóficas.
Em princípio, a matemática surgiu na cultura como sendo uma técnica de fazer cálculos aritméticos e geométricos.
Historicamente, os Egípcios destacaram-se com uma matemática mais desenvolvida, mas a história mostra que os Babilônios foram melhores.
Certamente, os Babilônios tinham conhecimento sobre o Teorema de Pitágoras, mas tinha uma pendência: necessitava de uma demonstração mais detalhada.
O que marca o início da Matemática Grega pode ser remetido aos tempos de Tales de Mileto, a quem foi admitido à primeira demonstração. Tales, também, é considerado como o primeiro filósofo.
Os gregos viam, na matemática, o acesso à própria estrutura íntima dos cosmos. Pitágoras e Platão são considerados como os grandes matemáticos gregos. 1.1 Pitágoras Pitágoras nasceu em Samos vivendo por volta do final do século VI a.C. Pitágoras, juntamente com seus discípulos, criou uma espécie de seita mística, na qual predominava o racionalismo grego e alguns elementos que consideravam mágicos e que foram utilizados pelos povos do leste e do sul da Grécia.
Para Pitágoras a Arché era os números. Pouco sabe-se da vida de Pitágoras. Uma das descobertas dos pitagóricos consistia nos intervalos musicais que correspondiam às razões numéricas simples (a
oitava a , mas o ápice dos pitagóricos foi à descoberta das
grandezas incomensuráveis.
O pináculo da Matemática Grega deu-se com Platão e Aristóteles.
1.2 Platão A filosofia matemática de Platão é marcada pela seguinte definição: Os objetos matemáticos, como os números e as figuras geométricas, existem independentes de qualquer sujeito e objeto e para conhecer esses objetos, apenas será possível, por meio do intelecto (entendimento).
Para Platão, o Entendimento era ascender ao reino dos objetos matemáticos. Os objetos são ideias que existem fora do tempo e do espaço. A geometria é considerada por Platão como a atividade essencial para filosofia. A quem diga que no pórtico que ficava na entrada de sua Academia tinha os seguintes dizeres: “Não adentrasse quem não conhecesse geometria”.
Segundo Platão, o conhecimento matemático é puramente intelectual e não requeria a participação dos sentidos.
A matemática, segundo Platão, aplica-se ao mundo real, porque esse mundo participa das formas ideais.
1.3 Aristóteles Já para Aristóteles, a matemática seguia um outro caminho, mesmo ele sendo o maior discípulo de Platão.
Para Aristóteles, os objetos matemáticos de caráter quantitativo e geométrico do mundo real existem independentes de um sujeito, mas não de objetos reais.
Alguns objetos existem apenas como possibilidades, ou ficções, se pudessem ser construídos.
Por exemplo, o miríagono (polígono de dez mil lados), para Aristóteles, ele existe, pois pode ser construído por figuras como círculos e segmentos de retas, ou seja, algo que existe.
Para Aristóteles, existe uma matemática de cenários possíveis, pronta para uma realidade que poderia existir.
1.5 Logicismo 1.5.1 Frege Gottlob Frege (1848 – 1925) era filósofo e matemático alemão, que tinha como intenção reduzir a Aritmética à Lógica.
Frege criou uma lógica moderna diferente daquela criada por Aristóteles. Para Frege, os conhecimentos aritméticos eram analíticos, ou seja, eram pura lógica.
Já na Geometria, Frege concordava com Kant, para ele os conhecimentos da Geometria eram sintéticos a priori.
1.5.2 Russel Bertrand Russell (1872 – 1970) foi filósofo e matemático britânico e para ele, o problema não estava tão ancorado no sistema lógico de Frege.
Segundo Russell, a origem do problema pertence a uma classe que foi definida como à totalidade de conjuntos SILVA (2007, p.134) “é o conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si próprios”.
O sistema de Russell envolve apenas expressões do tipo “ y satisfaz O ” Onde y representa um objeto indeterminado e O uma constante determinada. 1.6 Construtivismo A ideia central do construtivismo era que todo e qualquer conhecimento deveria partir da intuição.
1.7 Intuicionismo O fundamento da Filosofia Intuicionista era de que as entidades abstratas existiam somente quando eram construídas pela mente humana, ou seja, o que não iniciasse da intuição não era matemática.
Um dos principais representantes foi Luitzen E. J. Brower.
1.8 Predicatismo de Poincaré Henri Poincaré, considerado como o maior matemático nos fins do século XIX, concordava com Kant, com relação a Aritmética em sua filosofia matemática.
Na Geometria, para SILVA (2007, p.169) : “ Uma Geometria nada mais era que o estudo das invariantes de um grupo de transformação”. “ Um grupo de transformações é um conjunto de funções definidas num domínio de objetos que podem ser compostas e que obedecem a certas propriedades ”. “ Os invariantes de um grupo são as propriedades dos objetos sobre os quais essas transformações agem que não se perdem por ação delas”. 1.9 Formalismo O principal objetivo do formalismo é provar que as ideias matemáticas não apresentam contradições.
O pensamento central é que as entidades matemáticas não existem nem como objeto real nem como objeto mental.
O principal ícone da filosofia formalista foi David Hilbert. A intenção de Hilbert era estabelecer uma linguagem formal, com demonstrações livrando a matemática da contradição. Para completar SILVA (2007, p.
1.10 Teorema de Gödel Em 1931, um jovem austríaco, de 25 anos, põe em questão o formalismo de Hilbert.
Esse jovem chamava-se Kurt Gödel. Gödel apresentava nesse mesmo ano seu artigo intitulado de “Sobre proposições formalmente indecidíveis do Principia Mathematica e sistemas relacionados I”.
Segundo SILVA (2007, p. 204 e 205):
Em 1788, é publicada a segunda Crítica, a Crítica da Razão Prática, e, em 1790, a terceira, Crítica da Faculdade do Juízo.
Na década de 1790, Kant publica importantes obras sobre religião, direito, antropologia e filosofia da história.
Em 1796, o filósofo encerra sua atividade na Universidade de Könisberg e falece em 12 de fevereiro de 1804.
A Filosofia Moderna é marcada pelo conflito entre duas correntes filosóficas: o Racionalismo e o Empirismo.
Tanto os racionalistas como os empiristas concordavam que as proposições da matemática são analíticas.
Kant pode ser considerado o sintetizador desses dois pensamentos. Da mesma maneira que Copérnico revolucionou a Astronomia, Kant a Filosofia.
3. EPISTEMOLOGIA KANTIANA 3.1 Distinção entre conhecimento puro e empírico Antes de começar a falar da filosofia matemática de Kant é mister distinguir os tipos de conhecimento.
Todo conhecimento começa com a experiência, pois do contrário, de que forma a faculdade do conhecimento deveria ser despertada para o exercício senão por meio de objetos que tocam nossos sentidos.
Embora, todo conhecimento comece com a experiência, nem por isso todo conhecimento origina-se da experiência.
Na Crítica da Razão Pura, Kant distingue dois tipos de conhecimento: o empírico ou a posteriori; e o puro ou a priori.
O conhecimento empírico ou a posteriori reduz aos dados fornecidos pela experiência, já o conhecimento puro ou a priori não depende de nenhuma experiência sensível. É importante salientar a definição de conhecimento para Kant.
Segundo Kant, o conhecimento (cognitio) define-se como percepção objetiva ou representação objetiva sem consciência. Por consciência, entende-se a representação que forma a condição universal de todo conhecimento geral.
Existem conhecimentos que derivam de fontes de experiência, costuma-se dizer que somos participantes dele a priori, porque o derivamos não imediatamente da experiência.
Por exemplo, se alguém tirar as colunas de um prédio, ele pode saber a priori que o prédio pode vir a desmoronar-se, mesmo sem a experiência de seu desmoronamento, mas não podia sabê-lo inteiramente a priori, pois o fato dos corpos serem pesados e caem quando suas colunas são retiradas, tinha antes que ser conhecidos pela experiência.
Para um conhecimento ser a priori, ele não pode ser independente da experiência, ele deve ser “absolutamente” independente da experiência.
A experiência nos ensina que algo é constituído deste ou daquele modo, mas não que possa ser diferente.
Se uma proposição é pensada concomitante a sua necessidade, então ela é um juízo a priori. Juízo fornece a matriz de toda filosofia de Kant.
A definição de juízo pode se enquadrar como a faculdade de julgar, mas para Kant existem três tipos de Juízo:
Os Juízos Teóricos contém “um é ou um não é” e são encontrados na Crítica da Razão Pura; Os Juízos Práticos contém um “deve”, a necessidade de por que a razão, algo acontece para este ou aquele fim, encontrado na Crítica da Razão Prática; Juízos Estéticos do Gosto contém uma referência aos sentimentos do prazer ou desprazer, encontrados na Crítica da Faculdade do Juízo.
No âmago da Crítica da Razão Pura está a afirmação de que “todos os juízos são funções da unidade de nossas representações”.
A experiência jamais dá aos seus juízos, universalidade verdadeira ou rigorosa, mas somente suposta e compativa (indução).
que significa, aquilo que torna possível alguma coisa, a condição necessária de possibilidade de existência e do sentido de alguma coisa.
Portanto, segundo Kant, a Estética Transcendental é uma ciência de todos os princípios da sensibilidade a priori.
A definição de sensibilidade para Kant é a faculdade das intuições, e por intuição entende-se a visão direta e imediata de um objeto, não obstante, é a capacidade que o espírito possui de ser afetado por objetos.
É importante salientar, que o sentido da palavra espírito na filosofia é definido pelo conjunto total das faculdades intelectuais. Segundo Kant, Sejam quais forem a maneira e os meios pelos quais um conhecimento possa relacionar-se com objetos, o modo pelo qual o conhecimento se relaciona imediatamente a ele, e ao qual todo pensamento visa a um meio (para atingi-lo), é intuição.
O primeiro passo para o conhecimento é a sensação, que é a produção de um objeto na sensibilidade. Nesse caso, a intuição que se relaciona com objeto é chamada por Kant de intuição empírica e o objeto dessa intuição fenômeno.
Por exemplo, ao se deparar com um triângulo, a visão imediata chamará intuição empírica e o triângulo fenômeno.
Não obstante, a sensação do fenômeno é chamada de matéria. A ordenação múltipla do fenômeno, Kant denomina forma.
Usando como exemplo o triângulo, seus lados, vértices e ângulos são o conteúdo da sensação, ou seja, a matéria, e a maneira que esses elementos se ordenam é a forma.
Se a matéria é dada pela sensação, a posteriori , logo a forma é dada a priori. Mas não é só no entendimento que se encontram as formas, elas podem ser encontradas na Sensibilidade.
Segundo Kant, quando na representação de um corpo, se abstraí do que ele pensa o entendimento, como substância, a força, a divisibilidade, bem como daquilo que pertence à sensação, como a impenetrabilidade, a dureza, a cor, resta-se ainda alguma coisa dessa intuição empírica, a saber, a extensão e a figura.
Nessa citação de Kant, ele diz que mesmo abstraindo a matéria e a forma, ainda resta a extensão e a figura que são denominadas intuições puras, por não pertencerem as formas do entendimento, nem da sensação.
O que restam são princípios do conhecimento a priori, espaço e tempo. Kant define espaço sendo a forma do sentido exterior, ou seja, a representação do objeto fora de nós. Já em relação ao tempo, Kant define como forma do sentido interior, ou seja, de perceber estados internos.
Tudo aquilo que se situa fora de nós, situa-se no Espaço e todas as determinações de nós mesmos situa-se no Tempo.
4.1 Espaço Segundo Newton, são seres reais ou realidades absolutas. Já para Leibniz, são relativos, sendo o espaço a ordem das coexistências e o tempo a ordem das sucessões.
Kant afirma que o espaço não pode ser um conceito formado a partir da experiência exterior, visto como, ao contrário, toda experiência exterior supõe o espaço.
Segundo PASCAL (2005, p. 52 - 53): O espaço não é um conceito empírico derivado de experiências exteriores. Com efeito, parta que certas sensações possam ser referidas a alguma coisa fora de mim (isto é, a uma coisa situada em outro lugar do espaço, diferente daquele que me encontro) e, da mesma forma, para que eu possa representar-me as coisas como fora e ao lado umas das outras e, por conseguinte, como sendo diferentes, mas situadas em lugares diferentes, é preciso que a representação do espaço esteja posta como fundamento. O espaço é a priori, porque a sua representação é a própria condição da possibilidade dos fenômenos. Pode se ter um espaço sem nenhum objeto, mas não se pode perceber objeto fora do espaço.
O espaço não é conceitual, pois um conceito é constituído de elementos mais simples do que ele, e uma parte do espaço não são mais simples que o espaço visto como um todo.
