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FGV – Economia – 2
a
Fase – 07/dez/
CPV O C ursinhO que M ais aprOva na GV
MATEMÁTICA
01. Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taxa de juro composto de 1% ao mês. Neste problema, desprezando qualquer
tipo de correção monetária devida à inflação, responda as perguntas a seguir.
a) Neste investimento, após 2 meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.020,00. Calcule o valor
inicialmente aplicado.
b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente aplicado em 139,3 meses.
Caso o cálculo fosse feito adotando-se log 2 = 0,301 e log 202 = 2,305, que são logaritmos com apenas 3 casas decimais
de aproximação, seria obtido um valor aproximado de t anos. Chamando de E = t – 139,3 ao erro cometido no cálculo
devido ao uso de apenas 3 casas decimais de aproximação nos logaritmos indicados, calcule E.
Resolução:
a) Temos que m = c(1 + i)t^ portanto
c + 4020 = c(1 + 0,01)^2
c + 4020 = c(1,01)^2 Þ 4020 = c(1,01)^2 – c
4020 = c(1,01)^2 – c
4020 = 0,0201c c = 200000
Resposta Valor inicial aplicado foi de R$ 200.000,.
b) m = c(1 + i)t^ Þ 4c = c(1,01)t
Logo 4 = (1,01)t^ Þ log4 = log(1,01)t
Então log2^2 = log(1,01)t^ Þ 2 log2 = tlog ( 101
100 )^
Þ 2(0,301) = t[log 101 – log 100]
Mas log202 = log2 (101) = log2 + log101 Þ 2,305 = 0301 + log 101 Þ log 101 = 2,
Portanto 2(0,301) = t(2,004 – 2) Þ t = 0, 0,
Þ t = 150,
Logo E = 150,5 – 139, 3 Þ E = 11,
Resposta: O Erro cometido foi de E = 11,
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02. A tabela indica o horário do por do sol em uma cidade hipotética no dia primeiro de cada um dos doze meses de 2013.
O horário indicado na tabela (y) é dado em “minutos depois das 18 horas”. Por exemplo, em 1 o^ de janeiro de 2013, o por
do sol se deu às 18h02.
Mês Horário (y) Mês Horário
Janeiro 2 = 2 – 0 Julho 2 = 2 – 0
Fevereiro 1,5 = 2 – 1
Agosto 2,5 = 2 + 1
Março
1,1 ≈ 2 – 3
Setembro
2,9 ≈ 2 + 3
Abril 1 = 2 – 1 Outubro 3 = 2 + 1
Maio
1,1 ≈ 2 – 3
Novembro
2,9 ≈ 2 – 3
Junho 1,5 = 2 – 1
Dezembro 2,5 = 2 + 1
a) Usando a tabela a seguir para os valores de x, faça um esboço do gráfico de y em função de x no intervalo π
≤ x ≤ 2 π.
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez π
π
π
2 π
5 π
π^7 π
4 π
3 π
5 π
11 π
2 π
b) Determine uma função trigonométrica que forneça y em função de x , cujo gráfico passe por todos os pontos definidos pelas
tabelas anteriores. Em seguida, use essa função para prever o horário do por do Sol quando x = π
. (Use: 6 = 2,4 e 2 = 1,4)
Resolução: a) Temos que y = 2 + sen (^) (
π 6 – x)^ b)^ Temos que y = 2 + sen^ (^
π 6 – x)
3
2
1
π 6
π 3
π 3
2 π 3
5 π 6
7 π 6
4 π 3
3 π 2
11 π 6
5 π 3
π (^2) π
3
2
1
π 6
π 3
π 3
2 π 3
5 π 6
7 π 6
4 π 3
3 π 2
11 π 6
5 π 3
π (^2) π
Para x = π
temos y = 2 + sen (^) ( π 6
y = 2 + sen π
. cos π
. cos π
y = 2 +
2.^
2 –^
2.^
2 = 2 +^
4 –^
4 Þ^ y^ @^ 1,
O por do Sol ocorrerá às 18 horas, 10 min e 45 segundos.
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04. Um sistema de código de barras tem extensão de 13 cm, e é composto por barras alternadas de cor branca ou preta, começando
e terminando sempre por uma barra preta. Cada barra (branca ou preta) mede 1 ou 2 cm. A figura indica uma possibilidade
de código nesse sistema. A leitura de código no sistema sempre é feita da esquerda para a direita.
a) Pinte, em cada um dos dois conjuntos de barras indicadas a seguir, um código desse sistema que atenda à condição
solicitada logo abaixo das barras. Código com exatamente 2 Código com o máximo de barras pretas barras pretas de 2 cm.
de 2 cm, e sem barras pretas de 1 cm.
b) Calcule o total de códigos diferentes que podem ser formados nesse sistema.
Resolução: a)
b) No diagrama, podemos observar as possibilidades de formação do código a partir da primeira barra:
A primeira barra é preta (P). A segunda barra pode ser preta (P) ou branca (B), com possibilidades iguais. A terceira barra pode ser preta (P) ou branca (B) caso a segunda seja branca ou, em caso contrário, deve ser branca (B). Observamos que o número de possibilidades obedece à Série Fibonacci , a partir da terceira casa, em que qualquer termo é a soma dos dois anteriores. Assim, temos a sequência: 1 a^ barra: 1 ( 1 preta) 2 a^ barra: 2 ( 1 preta e 1 branca) 3 a^ barra: 3 ( 1 preta e 2 brancas) 4 a^ barra: 5 ( 3 pretas e 2 brancas) 5 a^ barra: 8 ( 4 pretas e 4 brancas) 6 a^ barra: 13 ( 6 pretas e 5 brancas) 7 a^ barra: 21 ( 11 pretas e 10 brancas) 8 a^ barra: 34 ( 17 pretas e 17 brancas) 9 a^ barra: 55 ( 27 pretas e 28 brancas) 10 a^ barra: 89 ( 45 pretas e 44 brancas) 11 a^ barra: 144 ( 72 pretas e 72 brancas) 12 a^ barra: 233 (116 pretas e 117 brancas) 13 a^ barra: 377 (189 pretas e 188 brancas) Como na última barra devemos ter apenas a preta, podem ser formados nesse sistema 189 possibilidades de códigos diferentes.
Código com exatamente 2 barras pretas de 2 cm.
Código com o máximo de barras pretas de 2 cm, e sem barras pretas de 1 cm
1 cm 1 cm
