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F689 Mecˆanica Quˆantica Turma B 1 o^ Semestre de 2015 Lista 2
- Uma part´ıcula cl´assica est´a confinada entre duas paredes infinitas em x=0 e x=a. A part´ıcula tem velocidade n˜ao nula e colide elasticamente com as paredes. (A) Quais s˜ao os poss´ıveis valores da energia da part´ıcula cl´assica? (B) Qual ´e a probabilidade cl´assica de encontrar a part´ıcula entre x e x+dx? (C) Compare as distribui¸c˜oes de encontrar a part´ıcula entre x e x+dx classicamente e quanticamente para n=1 e para n>> 1. Quais s˜ao as diferen¸cas para pequenos valores de n e grande valores de n da distribui¸c˜ao quˆantica e da cl´assica? Vocˆe pode usar a solu¸c˜ao do Griffiths sem deduzir-la.
- Dada a func¸c˜ao de onda
ψ(x) =
N −
a 2
< x <
a 2 0 qualquer outro valor
(A) Calcule a normaliza¸c˜ao N e o valor esperado de 〈x〉. (B) Calcule a transformada de Fourier desta fun¸c˜ao. φ (k) conforme f´ormula Eq. 2.103 do Griffiths. (C) Assuma que podemos definir o valor esperado do momento como
〈p〉 =
φ∗(k)ℏkφ(k)dk
p^2
φ∗(k)ℏ^2 k^2 φ(k)dk (1)
Calcule explicitamente o valor esperado do momento e do momento ao quadrado usando a resposta do item (B). O Valor esperado do momento quadrado, 〈p^2 〉 tem sentido?
- Griffiths 2.22. Uma part´ıcula livre tem a fun¸c˜ao de onda no instante t=
Ψ(x, 0) = Ae−ax
2 (2)
onde A e a s˜ao constantes e a ´e uma constante real e positiva. (A) Normalize Ψ(x, 0). (B) Determine Ψ(x, t). Dica: Integrais na forma
∫ (^) ∞
−∞
e−(ax (^2) +bx) dx (3)
podem ser feitas completando o quadrado. Seja y ≡
a (x + b/ 2 a) e note que (ax^2 + bx) = y^2 − b^2 / 4 a. Resposta
Ψ(x, t) =
2 a π
e−ax
(^2) /d(t) √ d(t)
onde d(t) ≡ 1 + 2iℏat/m. (C) Calcule |ψ(x, t)|^2. Expresse a resposta em termos de w ≡
a 1 + (2ℏat/m)^2
Desenhe |ψ(x, t)|^2 como fun¸c˜ao de x em t=0 e um grande valor de t. De forma qualitativa o que acontece com |ψ(x, t)|^2? (D) Determine 〈x〉, 〈p〉, 〈x^2 〉, 〈p^2 〉, σx, σp. Resposta parcial: 〈p^2 〉 = aℏ^2. (E) O princ´ıpio de incerteza ´e v´alido neste caso? Em qual tempo o sistema fica proximo do limite do princ´ıpio de incerteza?
- Griffiths 2.5. Uma part´ıcula no po¸co infinito tem como estado inicial uma mistura entre os dois primeiros estados estacion´arios:
Ψ(x, 0) = A(Ψ 1 (x) + Ψ 2 (x)) (5)
(A) Normalize Ψ(x, 0). Lembre que se vocˆe normalizar em t=0 a func¸c˜ao de onda fica normalizada para ∀ t.
