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Departamento de Física
Roteiro de Física Experimental
Disciplinas
FIS 0905 7 FIS 09058
FIS 06326 FIS 13737
Experimento A
Fractais
INTRODUÇÃO
A geometria euclidiana é considerada uma maneira adequada de descrever o mundo em que vivemos, por
exemplo, a distância entre dois pontos, a área ou o volume de um determinado objeto são descritos nesta
geometria. No entanto, esta geometria não descreve bem a forma de uma nuvem, de uma montanha e do
litoral, por exemplo, porque não são esferas, cones ou arcos, respectivamente. Isto implica dizer que a
natureza se apresenta com forma irregulares e portanto, um nova geometria é necessária para descrever tais
formas da natureza. Com este problema em mente matemáticos do fim do século XIX e início do século
XX propuseram um nova geométrica denominada Fractal. Um floco de neve, por exemplo, é um Fractal.
Vejam a Figura 1.
Figura 1 - Fractais que formam os diferentes "flocos de neve".
A palavra Fractal origina-se no Latim Fractus , cujo significado é fragmentado ou fracionado. Além disto,
“frac” indica a idéia de fração (parte), e “tal” pode significar total (todo). Fractais são formas geométricas
elementares, isso significa que se um fractal for dividido em infinitas partes cada parte será equivalente ao
objeto original. Um fractal pode conter infinitos detalhes que são autossimílares. Daí, a ideia de que a parte
está no todo e o todo está na parte [1, 2, 3].
Para entender essa nova teoria de medidas, vamos usar o conceito de dimensão fractal, que chamaremos de
dimensão topológica d. A dimensão topológica é definida da seguinte maneira [3, 4]:
- d = 0 significa um ponto;
- d = 1 significa uma linha;
- d = 2 significa um plano;
- d = 3 significa um objeto em 3 dimensões e assim por diante.
Vejamos alguns exemplos [ 3 , 4 ]:
- para um fio de cabelo esticado, de densidade uniforme e homogêneo, d = 1; - para uma argola bem fina de densidade uniforme e homogênea, d = 2; - para um cubo, de densidade uniforme e homogênea, d = 3;
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Outro exemplo é quando você observa uma folha de papel A4 sobre uma mesa, a dimensão d é igual a 2. E
se você amassa esta folha tal que ela se assemelhe a uma esfera, agora a dimensão d é igual a 3. Desta forma
podemos concluir que a dimensão deve estar relacionada com uma medida. Vamos ver como isso ocorre:
- Para dimensão 𝑑 = 1 se quisermos medir altura de uma pessoa podemos usar uma certa escala
que vamos chamar de r , como por exemplo, um lápis (sem ponta) e contar quantos lápis N são
necessários para equiparar o tamanho da pessoa. Portanto, a medida M da altura da pessoa será:
!
usaremos a letra 𝑀 para qualquer tipo de medida. Quanto menor for o tamanho do lápis, mais
precisa será a nossa medida.
- Para dimensão 𝑑 = 2 se desejamos medir a área de uma página do livro de física vamos usar
nossa escala como sendo quadrados de tamanho 𝑟 cuja área será 𝑟
"
. Assim, a medida da área da
página pode ser expressa como:
"
Quanto menor for a escala 𝑟, ou seja, quanto menos forem os quadrados usados, mais precisa será nossa
medida.
Dessa forma, para a medida em qualquer dimensão vamos usar a Equação (3):
em que N é uma constante, 𝑟 é um comprimento característico e d é a sua dimensão.
Nesta experiência, o objetivo é medir a dimensão fractal de diferentes bolinhas de papel amassadas. A
proposta é fazer a bolinhas de papel com diferentes massas e relacionar com raio de cada "esfera”.
OBJETIVOS
- Medir a dimensão fractal de um objeto auto-similar; - Dominar técnicas para aquisição analógica e digital de medidas de comprimento; - Análise quantitativa de dados: cálculo de erros, representação gráfica e regressão linear; - Análise crítica do fenômeno apresentado e elaboração de relatório técnico.
M ATERIAIS UTILIZADOS
(i) Folha de papel A4;
(ii) Tesoura;
(iii) Paquímetro;
(iv) Papel milimetrado.
ANTES DA AULA
Recomenda-se a leitura de pelo menos umas das referências abaixo, que apresenta as discussões sobre a
fractais e que será explorada nesta atividade experimental.
ü Amaku, M., Morales, M., Horodynski-Matsushigue, L. B. et al., Fractais no Laboratório Didático.
Rev. Bras. Ens. Fis., Dec. 2001, vol.23, no.4, p.422.
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(a) Queremos com este experimento, obter o valor da dimensão d para as bolinhas construídas. Para
isso, vamos usar a fórmula definida pela equação (3):
(b) Vejam que esta fórmula não é linear, ou seja, a dimensão d é a uma potência. Para linearizar esta
equação, vamos tomar o logaritmo natural em ambos os lados da equação, da forma:
ln
= ln
(c) Veja que agora temos uma equação linear. Esta equação é equivalente a uma equação da reta:
em que 𝑏 = ln
é o coeficiente linear e 𝑎 = 𝑑 é o coeficiente angular.
(d) Construa uma Tabela 2 com os valores calculados de ln(𝑀) e ln(𝑟).
(e) Faça o gráfico em papel milimetrado. O eixo x será a coluna do diâmetro, ou seja, ln(𝑟) e o eixo
y será a coluna da massa, ou seja, ln(𝑀).
(f) Faça a regressão linear e obtenha o valor dos coeficientes linear e angular. Análise Gráfica!
(g) O coeficiente angular será o valor da dimensão fractal.
(h) Compare o valor que você obteve com o valor obtido na referência [ 1 ] 𝑑 = ( 2 , 5 ± 0 , 2 ).
(i) Que outros objetos da natureza compartilham as mesmas características observadas em uma bola
de papel?
(j) Qual deve ser o valor estimado da dimensão fractal do pulmão, do cérebro, do intestino? E de
uma árvore? E do universo?
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Folha de dados Experimento A
Fractais Experimento
Professor:______________________________________________________ Data: //___
Alunos:________________________, ___________________________, _______________________
Tabela 1 - Valores do diâmetro D de cada esfera e sua respectiva massa M.
Esfera
Massa
(g)
( ± )𝑔
𝐷
!
(mm)
𝐷
"
(mm)
𝐷
(mm)
𝐷
$
(mm)
𝐷
%
(mm)
1 2 3 4 5 6
