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Apresentação
Uma função se estabelece quando se relaciona uma ou mais grandezas. Pensando de modo mais
formal, ao considerar dois conjuntos, A e B não vazios, uma função de A em B é uma relação que
associa a cada elemento de x pertencente a A um único elemento de y pertencente a B. Isso
significa que, ao fazer uso de diagramas de flechas para representar uma função, todo x do
conjunto de partida (A) estará associado a algum y do conjunto de chegada (B), além de nenhum x
poder estar associado a mais de um y.
O estudo de funções tem vasta aplicação, tanto na matemática quanto nos fenômenos naturais,
econômicos, etc. Com isso em mente, é possível avançar para o estudo de limite, que busca
determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de algum valor de
interesse. Esse tópico da matemática é relevante para diversas situações mais avançadas, como
análise de pontos de máximo e mínimo, interseção entre funções, continuidade de funções, séries
numéricas, etc.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você perceberá a aplicabilidade de funções e limites, será
instigado a refletir sobre problemas que podem ser desenvolvidos na educação básica e como esse
campo do conhecimento pode ser trabalhado por meio de exemplos e representações mais
intuitivas e, ao mesmo tempo, consistentes e eficientes. Espera-se que os elementos sugeridos
sejam estimulantes para a busca do aprofundamento dos estudos e para a compreensão do
conceito de função, de limites e de suas respectivas propriedades.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
- Descrever o conceito formal de função.
- Identificar a definição formal de limite.
- Reconhecer as propriedades de limites.
Desafio
Informalmente, pode-se dizer que uma função é uma fórmula que relaciona dois elementos
(variáveis). Uma das formas de representação dessa relação se dá por meio de diagramas de flechas,
compostos por um conjunto de partida denominado domínio e um conjunto de chegada chamado
de contradomínio, sendo que os elementos do contradomínio que fazem parte da relação formam
um conjunto denominado imagem.
Outra maneira de representar uma função é por meio de gráficos, gerados por pontos
correspondentes aos pares ordenados (x, y), os quais podem ser visualizados no diagrama de
flechas e, também, ser obtidos pela função do correspondente problema.
Suponha que você seja professor de matemática e esteja planejando uma aula.
Nessas condições:
a) Considerando que a temperatura somente será avaliada para as altitudes –1, 0, 1, 2 e 3km,
represente essa função por meio de um diagrama de flechas.
b) Verifique qual é a temperatura a 3km de altura.
c) Construa o gráfico da função utilizando as informações do
diagrama de flechas.
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Conteúdo do livro
O número surgiu na Antiguidade como uma necessidade humana em quantificar os objetos,
resolver suas questões de troca de mercadorias e serviços, além de cuidar dos animais de onde
vinha o sustento das famílias. Já o cálculo foi desenvolvido para conseguir compreender fenômenos
físicos como as marés, ou, ainda, fenômenos da natureza, como as fases da lua, a contagem do
tempo, a luz, a gravidade, etc. Todas essas relações envolvem o conceito de função, que foi e ainda
é essencial para a humanidade.
Outro conceito fundamental é o de limite. Newton e Leibniz estudaram o significado de taxa de
variação instantânea, que tem como princípio o conceito de limite. Essas descobertas permitiram o
surgimento de métodos eficientes e promissores para a ciência.
No capítulo Funções e limites, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você se conectará
com esses importantes conceitos da matemática, percebendo a sua aplicabilidade e a noção
intuitiva de limite até a sua formalização acurada. À medida que você for conhecendo os conceitos,
as definições e as propriedades, percebendo-os como parte de seu cotidiano, poderá buscar
soluções para problemas reais e identificará a grande relevância do tema.
Boa leitura.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
> Descrever o conceito formal de função.
> Identificar a definição formal de limite.
> Reconhecer as propriedades de limites.
Introdução
Um dos conceitos muito estudados pela matemática é o de função, visto que
todos os seus tipos (afim, quadrática, trigonométrica, logarítmica, etc.) têm vasta
aplicação prática. Por exemplo, podemos ter interesse em analisar, considerando
a relação entre espaço e tempo, o desempenho de um atleta da natação que treina
para uma competição e cujo treinador o observa e faz anotações sobre o tempo
(em minutos) e a distância percorrida (em metros). Nesse caso, cada instante
corresponde a uma única distância. Dizemos, então, que a distância percorrida
pelo atleta é uma função do tempo gasto em seu treinamento.
O conhecimento de funções nos permite avançar para o estudo de limite,
cujo objetivo é determinar o comportamento de uma função à medida que ela
se aproxima de alguns valores. Os limites são usados no cálculo diferencial e na
análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.
Neste capítulo, apresentaremos o conceito formal de função, retomando a
noção de conjuntos e lançando mão de exemplos de aplicação desses concei-
tos. Além disso, você poderá compreender os três tipos de função (sobrejetora,
injetora e bijetora), bem como a relação entre continuidade e limite, que será
definido formalmente a partir de uma análise intuitiva. Por fim, descreveremos
as propriedades e os tipos de limite.
Cristiane da Silva
Introdução a funções
Para compreendermos o que é uma função, antes devemos entender o que é um conjunto, conceito relativamente simples que é fundamental na matemá- tica. Um conjunto, de acordo com Neri e Cabral (2011, p. 1) “[...] é constituído de objetos chamados elementos. Usamos a notação (lê-se x pertence a A ) para dizer que x é um elemento do conjunto A. Se x não é um elemento de A , então escrevemos (lê-se x não pertence a A )”. Em outras palavras, um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, como, por exemplo:
conjunto dos números primos: A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}; conjunto das instituições de ensino: B = {públicas, privadas, comunitárias,…}.
Os conjuntos são representados por letras maiúsculas, ao passo que seus elementos (itens dentro do conjunto) são dispostos entre chaves, separados por vírgula ou ponto e vírgula. Quanto aos subconjuntos, diz-se, por exem- plo, que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros se e somente se todos os elementos do conjunto são também elementos do conjunto. Então, pode-se dizer que N está condido em ℤ (Figura 1). Para expressar simbolicamente essa relação, usam-se (está contido), (contém) ou (não está contido) (FRIEDRICH; MANℤINI, 2015).
Figura 1. Representação de
Os números são uma invenção humana. Na Antiguidade, o crescimento da população e o consequente aumento da complexidade das sociedades, cujo comércio foi se tornando cada vez mais intenso, motivaram a criação de formas para representar as quantidades. Foi então que surgiram os números naturais, que mais tarde seriam acompanhados pelos demais conjuntos numéricos: inteiros, racionais, irracionais, reais, complexos, etc. (FRIEDRICH; MANℤINI, 2015).
Figura 3. Representação gráfica dos pares ordenados ( x , y ).
12
10
8
6
4
2
0 0 100 200 300 Quantidade de gramas
Preço
400 500
Relações binárias como as que acabamos de mencionar foram descobertas na Antiguidade. Pitágoras, por exemplo, descobriu as relações aritméticas das notas musicais, e Galileu Galilei, a relação entre a distância percorrida por um objeto e o intervalo de tempo. Hoje, nas mais diversas áreas anali- samos fenômenos em que são estabelecidas relações que evidenciam como a variação de uma grandeza depende da variação de outra. Por exemplo, o número de leitos disponíveis em um hospital depende da demanda por leitos, o gasto de combustível depende da quantidade de quilômetros rodados, os níveis de poluição dependem da degradação da natureza, etc. (FRIEDRICH; MANℤINI, 2015). No exemplo do preço pago pelo presunto, deduzimos que existe uma relação entre o peso x do presunto que será comprado (em gramas) e o valor y a ser pago (expresso em reais). Mais especificamente, a relação é:
Isso significa que, se quisermos comprar 350 gramas de presunto, pagare- mos A equação dada descreve como o preço depende do peso do presunto. Nessa equação, a variável x é denominada “variável independente”, e y é chamada “variável dependente”, uma vez que seu valor é obtido a partir de x. A regra que permite obter o valor da variável
dependente a partir da variável independente é denominada função (GOMES, 2018). Gomes (2018, p. 256) define função da seguinte forma: “Uma função f é uma relação que associa a cada elemento x de um conjunto D , chamado domínio, um único elemento ou y de um conjunto C , denominado contradomínio”. Sabendo disso, vejamos algumas propriedades que caracterizam uma função, estudando os seus três tipos: sobrejetora, injetora e bijetora.
Função sobrejetora
Uma função será sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao con- tradomínio. Em outras palavras, ela será sobrejetora quando não sobrarem elementos no conjunto C sem receber flechas (Figura 4).
Figura 4. Diagrama de uma função sobrejetora.
Função injetora
Uma função será injetora quando elementos distintos do domínio ( D ) tiverem imagens ( C ) distintas, isto é, quando dois elementos não tiverem a mesma imagem. Sendo assim, não pode haver nenhum elemento do conjunto C que receba duas flechas (Figura 5).
próximo”, usada cotidianamente, é subjetiva, pois o que é longe para uns é perto para outros e vice-versa. No entanto, as ideias intuitivas e subjetivas nos ajudam a tornar mais palpáveis os conceitos abstratos. Na matemática, porém, as definições e demonstrações envolvem rigor. Então, para evitar subjetividade no conceito de proximidade, utiliza-se o verbo “tender”. Por exemplo, à medida que x se aproxima de 2, x + 4 se aproxima de 6, ou, se x tende a 2, então x + 4 tende a 6. Aqui, temos a ideia de limite. Os conceitos de proximidade e limite estão relacionados. Também é preciso lembrar o que significa uma função contínua: aquela em que, considerando um ponto x = p , com p fazendo parte do domínio da função, o seu gráfico não deverá apresentar um salto (na vertical) em x = p (GUIDORIℤℤI, 2010). Para ficar mais claro, observe a Figura 7.
Figura 7. Compreendendo continuidade. Fonte: Adaptada de Guidorizzi (2010).
Guidorizzi (2010) destaca que g ( x ) é descontínua somente no ponto x = 1, quando ela apresenta um salto (na vertical); nos demais pontos, ela é contí- nua. Dito isso, em uma função contínua, quando x se aproxima de p , ou tende a p , o valor da função se aproxima cada vez mais da função naquele ponto. Simbolicamente, isso pode ser expresso por:
Em palavras, isso pode ser enunciado como “o limite de f ( x ), quando x tende a p , é f ( p )”. A representação gráfica de limite pode ser observada na Figura 8.
Figura 8. Representação gráfica de limite. Fonte: Adaptada de Guidorizzi (2010).
Vejamos um exemplo, agora por meio da análise de uma tabela.
Considere a função f ( x ) = x + 4. Qual será o limite no ponto x = 2? Pensando no gráfico dessa função, constatamos que se trata de uma reta. Logo, ele não apresentará salto em nenhum ponto, e, sendo assim, f ( x ) será contínua. Observe a Figura 9.
Figura 9. Gráfico de f ( x ) = x + 4.
Dado qualquer número positivo , podemos encontrar um número positivo tal que:
Primeiramente, vamos descobrir um valor de que sustente a afirmação e, depois, provar que ela é válida para aquele. Vamos iniciar simplificando a equação apresentada:
Perceba que essa afirmação está assegurada quando Agora, vamos provar que se é válida para qualquer escolha de. Essa afirmativa é equivalente a se que, por sua vez, se verifica com Portanto, se também se verifica com Isso prova que
Nesta seção, apresentamos a definição informal de limite, iniciando pelo estudo de função contínua e descontínua. Em seguida, conhecemos repre- sentações de funções por meio de gráficos e tabelas, de modo a visualizar a noção de limite e, por fim, compreender sua definição formal. Na próxima seção, aprofundaremos esse estudo apresentando as propriedades de limites.
Propriedades e tipos de limite
As propriedades dos limites são muito úteis, pois nos permitem resolver problemas mais facilmente, sem precisar fazer uso da definição de limite, que pode ser uma tarefa um tanto complicada. Por isso, a seguir vamos apresentar caminhos e métodos mais fáceis para encontrar os limites das funções. Supondo que c seja uma constante e os limites e existam, então as propriedades são (STEWART, 2016):
- que pode ser enunciada como “o limite de uma soma é a soma dos limites”;
- que pode ser enunciada como “o limite de uma diferença é a diferença dos limites”;
- que pode ser enunciada como “o limite de uma constante multiplicando uma função é a constante multiplicando o limite dessa função”;
- que pode ser enunciada como “o limite de um produto é o produto dos limites”;
- que pode ser enunciada como “o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero”;
- onde n é um inteiro positivo, que pode ser enunciada como “o limite de uma função elevada a n é equivalente ao limite elevado a n dessa função”;
- que pode ser enunciada como “o limite de uma constante é a própria constante”.
- que pode ser enunciada como “o limite de uma função será equivalente ao valor de que o x se aproxima, que, nesse caso, é a ”;
- onde n é um inteiro positivo;
- onde n é um inteiro positivo. De modo mais geral, temos que pode ser enunciada como “o limite da raiz enésima de uma função é equivalente à raiz enésima do limite dessa função”.
Vejamos alguns exemplos aplicados a cada uma dessas propriedades.
Propriedade da soma:
Propriedade da diferença:
Além dessas propriedades, é importante conhecermos os tipos de limite com os quais podemos nos deparar. Os 15 tipos de limite são apresentados no Quadro 2.
Quadro 2. Os 15 tipos de limite
Fonte: Adaptado de Neri e Cabral (2011).
O Quadro 3 apresenta o significado dos limites iguais a (que correspondem, cada um deles, a uma coluna do Quadro 2), bem como o que representam os símbolos que correspondem às linhas do Quadro 2.
Quadro 3. Significado de alguns limites e símbolos
Significa que, por menor que seja podemos concluir que desde que x verifique certa condição. Significa que, por maior que seja podemos concluir que desde que x verifique certa condição. Significa que, por maior que seja podemos concluir que desde que x verifique certa condição. Significa que a condição sobre x é para suficientemente pequeno. Lê-se x tende a x 0 pela direita. Significa que a condição sobre x é para suficientemente pequeno. Lê-se x tende a x 0 pela esquerda. Significa que a condição sobre x é para suficientemente pequeno. (Continua)
Lê-se x tende a mais infinito. Significa que a condição sobre x é para N suficientemente grande. Lê-se x tende a menos infinito. Significa que a condição sobre x é para N suficientemente grande.
Fonte: Adaptado de Neri e Cabral (2011).
Você pode saber mais sobre as propriedades dos limites consultando o capítulo 7 da obra Curso de Análise Real , de Neri e Cabral (2011).
Nesta seção, você pôde conhecer as propriedades de limites e os 15 tipos de limite com os quais podemos trabalhar, bem como exemplos envolvendo tais propriedades. Ademais, neste capítulo, você pôde compreender o conceito formal de função e a sua representação, assim como a definição formal de limite.
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
FRIEDRICH, M. A.; MANℤINI, N. Matemática aplicada : administração e ciências contábeis. 2 ed. São Leopoldo: Editora Unisinos, 2015.
GOMES, F. M. Pré-cálculo : operações, equações, funções e sequências. São Paulo: Cengage Learning, 2018. GUIDORIℤℤI, H. L. Matemática para administração. Rio de Janeiro: LTC, 2010.
NERI, C.; CABRAL, M. Curso de análise real. 2. ed. Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2011. Disponível em: https://www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros/ livro-analise/curso-analise-real-a4.pdf. Acesso em: 11 abr. 2021.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 1.
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(Continuação)
