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a. Estabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial?
b. Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?
c. Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?
Solução
a. A distribuição binomial é usada para encontrar a probabilidade de X números de ocorrências ou sucessos de um evento, P(X), em n tentativas do mesmo experimento quando (1) existirem somente 2 resultados mutuamente exclusivos, (2) as n tentativas são independentes, e (3) a probabilidade de ocorrência ou sucesso, p, permanece constante em cada tentativa
b. ( ) ( ) ( ) ( ) (^) ( ) ( )
Em muitos livros, 1 – p( a probabilidade de fracasso ) é definida como q. Aqui n = 5, X = 3, p = ½, e q = ½. Substituindo estes valores na equação acima, obtemos:
No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim:
Você poderia também usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realização deste cálculo. Assim
A B C
Dados Descrição 3 O número de tentativas bem-sucedidas 5 O número de tentativas independentes 0,5 A probabilidade de sucesso em cada tentativa
Fórmula Descrição (resultado) 0,312500 <--=DISTRBINOM(A2;A3;A4;FALSO) A probabilidade de exatamente 3 de 5 tentativas serem bem-sucedidas (0,312500)
O link^1 é:
http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/DistribuicaoProbabilidades/binomial.htm
c. P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2)
Então,
P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2)= 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 = 0,
Numa planilha Excel teríamos:
- a. Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja ¼. Se houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros?
b. Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes?
Solução
a. Aqui n = 6, X = 3, p = 1/4, e q = 3/4. Substituindo estes valores na fórmula binomial, obtemos
No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim:
(^1) Outras distribuições poderão ser calculadas neste site: http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/index.html
A B C D
0 1 2 5 0,
0,03125 0,15625 0,3125 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 0,5 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO)
Dados
Cálculo
- a. Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos?
b. Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis?
Solução
a. Aqui n = 10, X 2, p = 0,2 e 1 – p = 0, P(X 2) = P(0) + P(1) + P(2)
Assim,
P(X 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 = 0,6778 ou 67,8%
b. Aqui n = 15, X = 10, p = 0,85 e 1 – p = 0,15. A probabilidade de X = 10 itens aceitáveis com p = 0,85 é igual a probabilidade de X = 5 itens defeituosos com p = 0,15. Mas fazendo os cálculos encontramos:
( ) (^) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ou 4,5%
- a. Se 4 moedas honestas forem lançadas simultaneamente (ou 1 moeda honesta for lançada 4 vezes), calcule a distribuição de probabilidade completa e desenhe-a num gráfico
b. Calcule e trace o gráfico da distribuição de probabilidade para uma amostra de 5 itens tomada aleatoriamente de um processo de produção sabido produzir 30% de itens defeituosos
Solução
a. Usando n = 4; X = 0Ca, 1Ca, 2Ca, 3Ca ou 4Ca; P = 1/2, obtemos:
A B C D
0 1 2 10 0,
0,107374182 0,268435456 0,301989888 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 0,67779953 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO)
Dados
Cálculo
A B
Dados 10 15 0,
Fórmula 0,044895 <--=DISTRBINOM(A2;A3;A4;FALSO)
b. Usando n = 5; X = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 defeituosas; p = 0,3, obtemos
- Calcule o valor esperado e o desvio padrão e determine a simetria ou assimetria da distribuição de probabilidade de
a. Exercício 2 a. b. Exercício 2 b. c. Exercício 3 a. d. Exercício 3 b.
Solução
a. E(X) = = n.p = 6.(1/4) = 3/2 = 1,5 filhos loiros.
X = √ ( ) √ ( ) ( ) √ √
A B C D E F
0 1 2 3 4 4 0,
0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 1 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO)
Cálculo
0,
0,
0,
0,
0,
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1 2 3 4 5
Probabilidade
Número de Caras
A B C D E F G
0 1 2 3 4 5 5 0,
0,16807 0,36015 0,3087 0,1323 0,02835 0,00243 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 1 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO)
Dados
Cálculo
0,
0, 0,
0,
0, 0, 0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1 2 3 4 5 6
Probabilidade
Número de Caras
Figura – Distribuição de Probabilidades de Caras no Lançamento de 4 Moedas Honestas.
Note na figura que quando p = 0,5, a distribuição de probabilidade é simétrica.
Figura – Distribuição de Probabilidades de Itens Defeituosos numa amostra de 5 itens extraídos aleatoriamente de um processo de produção que se sabe produzir 30% de itens defeituosos.
Note na figura que quando p < 0,5, a distribuição de probabilidade é assimétrica para a direita.
