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Lista de Exerc´ıcios - An´alise Real (Resolu¸c˜ao)
- Defina formalmente o que ´e uma fun¸c˜ao injetora, sobrejetora e bijetora.
Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao, dizemos que:
- f ´e injetora se elementos diferentes de X levam a imagens diferentes em Y , ou seja, se f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2.
- f ´e sobrejetora se todo y ∈ Y ´e imagem de algum x ∈ X, ou seja, ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X tal que f (x) = y.
- f ´e bijetora se ´e ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, isto ´e, estabelece uma correspondˆencia perfeita entre os elementos de X e Y.
- Dˆe um exemplo de uma fun¸c˜ao que seja injetora mas n˜ao sobrejetora, e vice-versa.
- Injetora, mas n˜ao sobrejetora: Seja f : N → N, dada por f (x) = 2x. A fun¸c˜ao ´e injetora, pois se x 1 ̸= x 2 , ent˜ao f (x 1 ) ̸= f (x 2 ). No entanto, ela n˜ao ´e sobrejetora, pois n˜ao cobre todos os n´umeros naturais. Por exemplo, n˜ao existe x ∈ N tal que f (x) = 1, j´a que a imagem de f consiste apenas de n´umeros naturais pares.
- Sobrejetora, mas n˜ao injetora: Seja f : N → { 1 , 2 }, definida por:
f (x) =
1 , se x ´e ´ımpar 2 , se x ´e par
A fun¸c˜ao ´e sobrejetora, pois sua imagem cobre todo o contradom´ınio { 1 , 2 }. No entanto, ela n˜ao ´e injetora, pois v´arios valores de entrada (por exemplo, f (2) = f (4) = 2) levam ao mesmo valor de sa´ıda.
- Defina formalmente e cite um exemplo de cada:
- Conjunto finito. Um conjunto A ´e finito se ´e vazio ou existe n ∈ N e uma bije¸c˜ao f : In → A, onde In = { 1 , 2 ,... , n}. Caso contr´ario, A ´e infinito. Exemplo: A = {a, b, c} ´e finito, pois admite uma bije¸c˜ao com I 3 = { 1 , 2 , 3 }
- Conjunto infinito enumer´avel. Um conjunto X ´e infinito se n˜ao ´e finito, ou seja: - X n˜ao ´e vazio; - N˜ao existe n ∈ N nem bije¸c˜ao f : In → X, onde In = { 1 , 2 ,... , n}.
Isso significa que X n˜ao pode ser colocado em correspondˆencia biun´ıvoca com nenhum conjunto In, mesmo que n seja arbitrariamente grande. Um conjunto infinito A ´e enumer´avel se existe uma fun¸c˜ao bijetora entre A e o conjunto dos n´umeros naturais N. Exemplo: O conjunto dos inteiros Z ´e enumer´avel, pois podemos orden´a-lo como 0, 1 , − 1 , 2 , − 2 ,.. ..
- Conjunto infinito n˜ao-enumer´avel. Um conjunto InifintoA ´e n˜ao-enumer´avel se n˜ao existe uma bije¸c˜ao f : N → A. Isso implica que |A| > N (sua cardinalidade ´e estritamente maior que a dos naturais). Em outras palavras, ´e imposs´ıvel listar todos os elementos de A em uma sequˆencia a 1 , a 2 , a 3 ,.. ., mesmo infinita. Exemplo: O conjunto R (n´umeros reais) ´e n˜ao-enumer´avel.:
- Para cada item abaixo, defina uma fun¸c˜ao com dom´ınio e contradom´ınio adequados, indicando se ´e injetiva, sobrejetiva ou bijetiva:
(a) Fun¸c˜ao que associa a cada par de n´umeros naturais seu m´aximo divisor comum (mdc). f : N × N → N, f (a, b) = mdc(a, b). N˜ao ´e injetiva (ex: f (2, 4) = f (4, 2) = 2),mas ´e sobrejetiva (todo n ∈ N ´e mdc de (n, n)).
(b) Fun¸c˜ao que associa a cada vetor do plano seu m´odulo. f : R^2 → R+, f (x, y) =
p x^2 + y^2. N˜ao ´e injetiva (m´odulo ´e o mesmo para pontos sim´etricos), mas ´e sobrejetiva.
(c) Fun¸c˜ao que associa a cada matriz 2 × 2 sua matriz transposta. f : M 2 × 2 (R) → M 2 × 2 (R), f (A) = AT^. Bijetiva: toda matriz tem transposta ´unica e toda transposta tamb´em ´e matriz da mesma dimens˜ao.
(d) Fun¸c˜ao que associa a cada matriz 2 × 2 seu determinante. f : M 2 × 2 (R) → R, f (A) = det(A). N˜ao ´e injetiva (muitas matrizes tˆem mesmo determinante), mas ´e sobrejetiva.
(e) Fun¸c˜ao que associa a cada polinˆomio (n˜ao nulo) com coeficientes reais seu grau. f : P ∗^ → N, onde P ∗^ ´e o conjunto dos polinˆomios reais n˜ao nulos, e f (p) = deg(p). N˜ao ´e injetiva (v´arios polinˆomios tˆem mesmo grau), mas ´e sobrejetiva.
(f) Fun¸c˜ao que associa a cada figura plana fechada e limitada no plano sua ´area. f : F → R+, onde F ´e o conjunto das figuras planas fechadas e limitadas. N˜ao ´e injetiva nem sobrejetiva (´areas podem se repetir; nem todo n´umero positivo ´e ´area de figura).
(g) Fun¸c˜ao que associa a cada subconjunto de R seu complementar. f : P(R) → P(R), f (A) = R \ A. Bijetiva: o complementar do complementar volta ao original.
(h) Fun¸c˜ao que associa a cada subconjunto finito de N seu n´umero de elementos. f : {A ⊂ N | A finito} → N, f (A) = |A|. N˜ao ´e injetiva, mas ´e sobrejetiva.
13 + · · · + k^3 =
k^2 (k + 1)^2
Mostrar para k + 1:
13 + · · · + k^3 + (k + 1)^3 =
(k + 1)^2 (k + 2)^2
Usando a hip´otese, basta somar (k + 1)^3 ao lado esquerdo:
1 4
k^2 (k + 1)^2 + (k + 1)^3 =
(k + 1)^2 4
(k^2 + 4k + 4) =
(k + 1)^2 (k + 2)^2 4 Logo, a f´ormula vale para todo n ∈ N.□
- Prove que a fun¸c˜ao f : X → Y ´e injetiva se, e somente se, existe uma fun¸c˜ao g : Y → X tal que g(f (x)) = x para todo x ∈ X. (⇒) Suponha f injetiva. Ent˜ao, para cada y ∈ f (X), existe um ´unico x ∈ X com f (x) = y. Define-se g(y) = x. Como f ´e injetiva, essa defini¸c˜ao ´e bem feita. Logo, g(f (x)) = x. (⇐) Suponha que existe g : Y → X tal que g(f (x)) = x. Ent˜ao, se f (x 1 ) = f (x 2 ), temos:
x 1 = g(f (x 1 )) = g(f (x 2 )) = x 2 ,
ou seja, f ´e injetiva. □
- Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao e A, B ⊂ X. Mostre que:
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
(⊂) Se y ∈ f (A ∪ B), ent˜ao y = f (x) para algum x ∈ A ∪ B. Logo, x ∈ A ou x ∈ B, ent˜ao y ∈ f (A) ou y ∈ f (B), ou seja, y ∈ f (A) ∪ f (B). (⊃) Se y ∈ f (A)∪f (B), ent˜ao y = f (x) para algum x ∈ A ou x ∈ B, logo x ∈ A∪B, ent˜ao y ∈ f (A ∪ B).□
- Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao e sejam A e B subconjuntos de X. Mostre que:
f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
Se y ∈ f (A ∩ B), ent˜ao ∃x ∈ A ∩ B tal que y = f (x). Como x ∈ A e x ∈ B, temos y ∈ f (A) e y ∈ f (B). Logo, y ∈ f (A) ∩ f (B). O inverso nem sempre vale, pois pode haver y ∈ f (A) ∩ f (B) vindo de elementos distintos.□
- Dada uma fun¸c˜ao f : A → B:
(a) Prove que se tem f (X \ Y ) ⊃ f (X) \ f (Y ), sejam quais forem os subconjuntos X e Y de A. Se y ∈ f (X) \ f (Y ), ent˜ao ∃x ∈ X tal que f (x) = y e x /∈ Y. Logo, x ∈ X \ Y , ent˜ao y ∈ f (X \ Y ). Portanto, f (X) \ f (Y ) ⊂ f (X \ Y ), ou seja, f (X \ Y ) ⊃ f (X) \ f (Y ). □
(b) Mostre que se f for injetora ent˜ao f (X \ Y ) = f (X) \ f (Y ) para quaisquer X e Y contidos em A. J´a vimos a inclus˜ao ⊃. Agora, se y ∈ f (X \ Y ), ent˜ao y = f (x) com x ∈ X \ Y. Como x /∈ Y , e f ´e injetora, y /∈ f (Y ), ent˜ao y ∈ f (X) \ f (Y ). Logo, f (X \ Y ) ⊂ f (X) \ f (Y ). Conclu´ımos que f (X \ Y ) = f (X) \ f (Y ). □
- Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao. A imagem inversa por f de um conjunto B ⊂ Y ´e o conjunto: f −^1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}. Prove as seguintes afirma¸c˜oes:
(a) f −^1 (f (A)) ⊃ A para todo A ⊂ X. Se x ∈ A, ent˜ao f (x) ∈ f (A), logo x ∈ f −^1 (f (A)). Portanto, A ⊂ f −^1 (f (A)). □
(b) f (f −^1 (B)) ⊂ B para todo B ⊂ Y. Se y ∈ f (f −^1 (B)), ent˜ao y = f (x) para algum x ∈ X tal que f (x) ∈ B. Logo, y = f (x) ∈ B, portanto a inclus˜ao vale. □
(c) f ´e injetiva se, e somente se, f −^1 (f (A)) = A para todo A ⊂ X. (⇒) Suponha que f ´e injetiva. J´a sabemos que f −^1 (f (A)) ⊃ A. Se x ∈ f −^1 (f (A)), ent˜ao f (x) ∈ f (A), ou seja, existe a ∈ A tal que f (x) = f (a). Como f ´e injetiva, isso implica x = a ∈ A. Logo, f −^1 (f (A)) ⊂ A. Portanto, f −^1 (f (A)) = A. (⇐) Suponha que f −^1 (f (A)) = A para todo A ⊂ X. Suponha f (x 1 ) = f (x 2 ). Seja A = {x 1 }. Temos f −^1 (f (A)) = A, mas x 2 ∈ f −^1 (f (A)) (pois f (x 2 ) = f (x 1 ) ∈ f (A)), ent˜ao x 2 ∈ A ⇒ x 2 = x 1. Logo, f ´e injetiva. □
(d) f ´e sobrejetiva se, e somente se, f (f −^1 (B)) = B para todo B ⊂ Y. (⇒) Suponha que f ´e sobrejetiva. Seja y ∈ B. Como f ´e sobrejetiva, existe x ∈ X tal que f (x) = y. Ent˜ao x ∈ f −^1 (B) e y = f (x) ∈ f (f −^1 (B)). Logo, B ⊂ f (f −^1 (B)). Como j´a sabemos que f (f −^1 (B)) ⊂ B, temos a igualdade. (⇐) Suponha f (f −^1 (B)) = B para todo B ⊂ Y. Considere B = Y. Ent˜ao: f (f −^1 (Y )) = Y
