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EXERC´ICIOS RESOLVIDOS 06 - C ALCULO I´
- Encontre a derivada da fun¸c˜ao f (x) = ax^2 + bx + c Solu¸c˜ao Tem-se que
f ′(x) = lim h→ 0
f (x + h) − f (x) h = lim h→ 0
a(x + h)^2 + b(x + h) + c − ax^2 − bx − c h Simplificando e passando ao limite,
f ′(x) = lim h→ 0 2 ahx + ah^2 + bh h = lim h→ 0 (2ax + ah + b) = 2ax + b
Desta forma, se f (x) = ax^2 + bx + c ent˜ao f ′(x) = 2ax + b.
- Calcular as derivadas laterais para a fun¸c˜ao
f (x) =
x, se 0 < x ≤ 1 / 2 1 − x, se 1 / 2 < x ≤ 1
no ponto x = 1. ´E f deriv´avel neste ponto. Esboce o gr´afico. Solu¸c˜ao Calculemos os limites laterais:
(a) lim x→ 1 / 2 −
f (x) − f (1/2) x − 1 / 2
; (b) lim x→ 1 / 2 +
f (x) − f (1/2) x − 1 / 2
(a) Tem-se que
lim x→ 1 / 2 −
f (x) − f (1/2) x − 1 / 2
= lim x→ 1 / 2
x − 1 / 2 x − 1 / 2
= lim x→ 1 / 2
Assim, a derivada `a esquerda em x = 1/2 ´e 1.
(b) Tamb´em,
lim x→ 1 / 2 +
f (x) − f (1/2) x − 1 / 2 = lim x→ 1 / 2
−x + 1/ 2 x − 1 / 2 = lim x→ 1 / 2
Assim, a derivada `a direita em x = 1/2 ´e −1.
Dos items (a) e (b) acima temos que as derivadas laterais s˜ao diferentes. Isto significa que o limite
f ′(1/2) = (^) xlim→ 1 / 2
f (x) − f (1/2) x − 1 / 2
n˜ao existe. Equivalentemente, a fun¸c˜ao f n˜ao ´e deriv´avel em x = 1/2. O gr´afico da fun¸c˜ao f ´e o seguinte,
- Determine a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f (x) = 3
x no ponto de abscissa 8. Solu¸c˜ao A equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto (8, f (8)) = (8, 2) ´e dada por y − f (8) = f ′(8)(x − 8) Precisamos ent˜ao calcular f ′(8). Tem-se que,
f ′(8) = lim x→ 8
f (x) − f (8) x − 8
= lim x→ 8
√ (^3) x − 2
x − 8
= lim x→ 8
√ (^3) x − 2
( 3
x − 2)( 3
x^2 + 2 3
x + 4)
Simplificando e passando ao limite,
f ′(8) = lim x→ 8
√ (^3) x (^2) + 2 √ (^3) x + 4 =
- Determinar a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = cos x no ponto de abscissa x = 0. Solu¸c˜ao A equa¸c˜ao da reta tangente no ponto A = (0, f (0)) = (0, 1) ´e
y = 1 + f ′(0)(x − 0) = 1 + xf ′(0)
Como f ′(x) = (cos x)′^ = −sen x (pag. 78 - livro de c´alculo) temos f ′(0) = −sen 0 = 0. Desta forma, a reta tangente procurada ´e a reta y = 1. O gr´afico da fun¸c˜ao e a tangente no ponto requerido A = (0, 1) ´e
- Determine em que ponto na curva y = 3x^2 + 5x + 6 a tangente ´e paralela ao eixo x. Solu¸c˜ao As tangentes horizontais ao gr´afico de uma fun¸c˜ao ocorrem quando a derivada da fun¸c˜ao ´e zero. Ent˜ao calculemos f ′(x) e resolvamos a equa¸c˜ao f ′(x) = 0. Tem-se que f ′(x) = 6x + 5. Logo, f ′(x) = 0 se x = − 5 /6. Ent˜ao, o ponto na curva y = 3x^2 + 5x + 6 no qual a tangente ´e paralela ao eixo x ´e (− 5 / 6 , f (− 5 /6)), isto ´e, (− 5 / 6 , 47 /12). O gr´afico da fun¸c˜ao e da reta tangente horizontal ´e,
- Calcule as derivadas das fun¸c˜oes
(a) y = 3
x + ex; (b) y = sen
(x − 1 x + 1
Solu¸c˜ao (a) Usaremos a Regra da Cadeia na sua forma dy dx
dy du
du dx
onde y depende de u e u depende de x. Seja u = x + ex. Sendo dex dx
= ex^ resulta
du dx = 1 + ex^ (2)
De y = 3
u = u^1 /^3 resulta dy du
u^1 /^3 −^1 =
u−^2 /^3 =
3 u^2 /^3
(b) A substitui¸c˜ao direta x = 0 resulta na indetermina¸c˜ao, a^0 − b^0 0
Pela primeira regra de L’Hospital, e pelos linites exponenciais fun- damentales (pag. 62):
lim x→ 0
ax^ − bx x
= lim x→ 0
(ax^ − bx)′ x′^
= lim x→ 0 (ax^ ln a − bx^ ln b)
= ln a − ln b = ln a b (c) Exerc´ıcio.
- Calcular o limite L = lim x→ 0 cos nx − cos mx x^2 Solu¸c˜ao A substitui¸c˜ao direta x = 0 resulta na indetermina¸c˜ao, cos 0 − cos 0 0
Pela primeira regra de L’Hospital,
L = lim x→ 0 (cos nx − cos mx)′ (x^2 )′^ = lim x→ 0 −n sen nx + m sen mx 2 x
Utilizando novamente a regra,
L = lim x→ 0
(−n sen nx + m sen mx)′ (2x)′^
= lim x→ 0
−n^2 cos nx + m^2 cos mx 2
Desta forma, L = m^2 − n^2 2
- Calcular o limite L = lim x→+∞
e^2 x x^3
Solu¸c˜ao Uma substitui¸c˜ao direta resulta na indetermina¸c˜ao
Utilizando repetidas vezes a segunda regra de L’Hospital teremos,
L = (^) x→lim+∞ e^2 x x^3 = (^) x→lim+∞ (e^2 x)′ (x^3 )′^ = (^) x→lim+∞ 2 e^2 x 3 x^2 = (^) x→lim+∞ (2e^2 x)′ (3x^2 )′
= lim x→+∞
4 e^2 x 6 x
= lim x→+∞
(4e^2 x)′ (6x)′^
= lim x→+∞
8 e^2 x 6
Desta forma, L = +∞.
