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CURSO: ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO FOLHA: 1 / 8
1ª QUESTÃO
Uma viga contínua de um pavimento é apresentada a seguir. Utilizando o processo da rigidez direta e
a discretização sugerida, pede-se:
EJ = 4 104 kNm^2
^
k EJ
2 2
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
e
a) A matriz de rigidez global (com 3 GL);
b) O DMF e o DEC da viga quando submetida a um carregamento uniformemente distribuído de 24 kN/m ;
c) O DMF da viga quando submetida a um carregamento uniformemente distribuído de 24 kN/m e admitindo-se ainda que o apoio B se comporta verticalmente como um apoio elástico, recalcando 1mm para cada 10 kN de carga aplicada;
d) O DMF da viga quando solicitada por um recalque vertical de 2 cm no apoio B.
E, J
6 m 6 m
6 m
A B C D
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a) A matriz de rigidez global (com 3 GL):
Elmtos 1 , 2 e 3 ( L = 6 m, rigidez EJ= 40. 000 kNm²):
ke = ke = ke =
K =
K = 104
K =
SCRIPT – MATLAB
EJ=40000;L=6;
k1=[12EJ/L^3 6EJ/L^2 - 12EJ/L^3 6EJ/L^2; 6EJ/L^2 4EJ/L - 6EJ/L^2 2EJ/L;
- 12EJ/L^3 - 6EJ/L^2 12EJ/L^3 - 6EJ/L^2; 6EJ/L^2 2EJ/L - 6EJ/L^2 4EJ/L]
k2=k1;k3=k1;
6 m 6 m
6 m
A B C D
1 2 3
Elmto 1: X X 1 2
Elmto 2: 1 2 X 3
Elmto 3: X 3 X X
X 1 X
3 2 X
X X 1
X 3 2
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Equilíbrio:
F = K r r
(^0)
r
Esforços
S e 1 = S 0 e 1 + k e 1 u e 1 = ^
ke 1 S (^) e (^2) = S e 3 = Se (^1)
DMF:
DEC:
A B C D
A B C D
+72 kN (^72 )
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c) O DMF da viga quando submetida a um carregamento uniformemente distribuído de 24 kN/m
e admitindo-se ainda que o apoio B se comporta verticalmente como um apoio elástico, recalcando 1mm para cada 10 kN de carga aplicada;
k = 10 / 0 , 001 = 1 , 0 104 kN / m
k
K
Carregamento Nodal Equivalente
Reações de Fixação:
−
= = = 72
72
72
72 S 0 e 1 S 0 e 2 S 0 e 3
CNE:
−
0
0
144 F
Equilíbrio:
F = K r r
^ −
r =
SCRIPT – MATLAB
k=10/0.001; Kg_c=Kg+[k 0 0;0 0 0;0 0 0]; F_c=[- 144 0 0]'; r_c=inv(Kg_c)F_c; r_c10^ ans =
6 m 6 m
6 m
A B C D
72 mkN 72 mkN 72 mkN 72 mkN
72 kN
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DMF:
d) O DMF da viga quando solicitada por um recalque vertical de 2 cm no apoio B.
Equilíbrio:
F = K r
3
2
4
1 0 ,^02
r
r
R
=
3
2 r
r r
SCRIPT – MATLAB
r_d=inv(Kg(2:3,2:3))(-Kg(2:3,1)(-0.02)); r_d*10^ ans =
Esforços
S e 1 = S 0 e 1 + k e 1 u e 1 =
− −^4
1 6 , 67 10
k e
S e 2 = S 0 e 2 + ke 2 u e 2 =
−
4
4 2 26 , 7 10
k e
A B C D
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S e 3 = S 0 e 3 + k e 3 u e 3 =
−
4 ke 3
SCRIPT – MATLAB
S1=k1*[0 0 - 0.02 r_d(1)]' S1 =
S2=k2*[-0.02 r_d(1) 0 r_d(2)]' S2 =
S3=k3*[0 r_d(2) 0 0 ]' S3 =
71.1 111
DMF:
A B C D
