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INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS SÃO JOSÉ COORDENADORIA DE ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES
PRE29006 LISTA DE EXERCÍCIOS #1 2016.
Exercícios
1. Considere uma variável aleatória X cuja função densidade de probabilidade está mostrada abaixo, onde a é uma constante positiva.
a
h
(a) Determine o valor da constante h. (b) Determine e esboce a função de distribuição acumulada de X. (c) Determine Pr[ X ≤ a/ 2]. (d) Determine a média e a variância de X.
Suas respostas deve estar em função de a.
2. [2, Exercício 2.4.30] Uma variável aleatória contínua X é definida pela seguinte função densidade de probabilidade:
fX ( x ) =
k √ x , se 0 < x ≤ 1 , 0 , caso contrário_._
(a) Determine e esboce a função de distribuição acumulada de X. (b) Calcule a probabilidade de X assumir valores maiores que 1 / 2. (c) Calcule a probabilidade de que, em 4 experimentos independentes, a variável X assuma pelo menos uma vez um valor maior que 1 / 2.
3. [3, Problem 4.33] Determine a função massa de probabilidade de uma variável aleatória X que representa o número de experimentos de Bernoulli necessários para alcançar o segundo sucesso. 4. [4] Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y distribuídas conjuntamente de acordo com a tabela abaixo.
X
Y 0 1 2
(a) Determine as funções massa de probabilidade marginais de X e Y. (b) Determine as funções massa de probabilidade de X + Y e XY. (c) São X e Y independentes? (d) Determine as PMFs condicionais de X , dado Y = 0, e de Y , dado X = 1. (e) Determine Pr[ X ≥ 1 , Y ≤ 1] e Pr[ X ≤ 1 | Y = 0].
5. Considere uma variável aleatória X cuja função de distribuição acumulada está mostrada abaixo, em que a e b são constantes tais que 0 < a < b.
− b − a a b
1 2
x
FX ( x )
Determine e esboce a função densidade de probabilidade de X. Sua resposta deve estar em função de a e b.
6. Sejam B 1 , B 2 , B 3 três variáveis aleatórias discretas independentes, cada qual distribuída uniformemente sobre o conjunto { 0 , 1 }. Sejam X = B 1 + B 2 + B 3 e Y = B 1 B 2 B 3.
(a) Determine a função massa de probabilidade conjunta de X e Y. (b) Determine e esboce as funções massa de probabilidade marginais de X e Y. (c) Determine a covariância entre X e Y. (d) São X e Y variáveis aleatórias correlacionadas ou descorrelacionadas? São depen- dentes ou independentes? Justifique.
12. Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função densidade de probabilidade conjunta constante e diferente de zero apenas na área sombreada da figura.
x
y
(I)
x
y
(II)
Para cada caso:
(a) Determine Pr[ Y > 1 / 2 | | X | ≤ 1 / 2]. (b) Determine e esboce as funções densidade de probabilidade marginais de X e de Y. (c) Determine e esboce as funções de distribuição acumuladas marginais de X e de Y. (d) Determine a função densidade de probabilidade condicional de X dado que Y = y. Esboce a função densidade de probabilidade obtida, em função de x , para y = 1 / 4 e y = 3 / 4. (e) Determine a função densidade de probabilidade condicional fX | A ( x ), onde A é o evento definido por A = { 0 , 4 ≤ Y ≤ 0 , 6 }.
13. [2, Exercício 3.3.17] Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função densidade de probabilidade conjunta
fX,Y ( x, y ) =
kxy^2 , se 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2 , 0 , caso contrário ,
onde k é uma constante real. Determine E[ X ], E[ Y ], E[ X | Y = 1] e E[ Y | X = 0].
14. [3, Example 9.4] Considere duas variáveis aleatórias discretas X 1 e X 2 distribuídas con- juntamente de acordo com a tabela abaixo.
X 1
X 2 − 8 0 2 6
Seja X~ = [ X 1 X 2 ]T. Determine o vetor média ~μ (^) X~ e a matriz covariância K (^) X~.
15. Seja X~ = [ X Y ]T^ um vetor aleatório com função densidade de probabilidade dada por
f (^) X~ ( x, y ) =
k, se 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 , 0 , caso contrário,
(I)
f (^) X~ ( x, y ) =
k ( x + y ) , se 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 , 0 , caso contrário,
(II)
f (^) X~ ( x, y ) =
xy, se 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ k, 0 , caso contrário,
(III)
onde k é uma constante positiva. Para cada caso:
(a) Determine o valor de k. (b) Determine o vetor média de X~. (c) Determine a matriz covariância de X~.
Extra
1. [1, Exercício 5.5] Considere uma variável aleatória U uniformemente distribuída em [− 1 , 1]. Considere ainda duas variáveis aleatórias X e Y , definidas por X = U^2 e Y = U^3.
(a) Mostre que X e Y são descorrelacionadas. (b) Mostre que E[ X^2 Y^2 ] 6 = E[ X^2 ]E[ Y^2 ] e conclua que X e Y não são independentes.
2. A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é definida como
cov[ X, Y ] = E[( X − μX )( Y − μY )] ,
onde μX = E[ X ] e μY = E[ Y ].
(a) Mostre que cov[ X, Y ] = E[ XY ] − E[ X ]E[ Y ]. (b) Mostre que var[ X + Y ] = var[ X ] + var[ Y ] + 2 cov[ X, Y ]. (c) Mostre que a covariância é bilinear , isto é, é linear em ambos os argumentos:
cov[ αX + βY, Z ] = α cov[ X, Z ] + β cov[ Y, Z ] , cov[ X, αY + βZ ] = α cov[ X, Y ] + β cov[ X, Z ] ,
onde α e β são constantes e X , Y , Z são variáveis aleatórias. (É necessário apenas mostrar a primeira linha; a segunda linha segue de modo similar.)
6. (a) pX,Y ( x, y ) =
1 / 8 , se ( x, y ) = (0 , 0) , 3 / 8 , se ( x, y ) = (1 , 0) , 3 / 8 , se ( x, y ) = (2 , 0) , 1 / 8 , se ( x, y ) = (4 , 1).
(b) pX ( x ) =
1 / 8 , se x = 0 , 3 / 8 , se x = 1 , 3 / 8 , se x = 2 , 1 / 8 , se x = 4_._
pY ( y ) =
{ 7 / 8 , se y = 0 , 1 / 8 , se y = 1_._
(c) 163. (d) X e Y são correlacionadas e dependentes.
7. (a) fX ( x ) =^16 δ ( x + 1) +^13 δ ( x ) +^16 δ ( x − 1) + 12 1 [− 2 ≤ x ≤ 2]. (b) 14. (c) 13. 8. (a) p e p (1 − p ). (b) a^ + 2 b e ( b^ −^ a )
2
- (c)^
1 p e^
1 − p p^2. (d)^
1 λ e^
1 λ^2. (e)^ σ
√ π 2 e^
4 − π 2 σ
(^2). (f) 0 e 2 α^2.
9. (a) k = 161. (b) fX ( x ) =
1 4 ,^ se^0 ≤^ x^ ≤^4 , 0 , caso contrário_._
fY ( y ) =
3 − y 4 ,^ se^0 ≤^ y^ ≤^2 , 0 , caso contrário_._ (c) Sim. (d) 245.
10.^16 , 301 e 1801. 11. (a) fX ( x ) =^12 δ ( x ) + 60 1 [0 ≤ x ≤ 30]. (b) FX ( x ) =
0 , se x < 0 , 1 2 +^
x 60 ,^ se^0 ≤^ x^ ≤^30 , 1 , se x > 30_._
(c) 7 , 5 s.
12. (Em breve.) 13. E[ X ] = E[ X | Y = 1] =^23 , E[ Y ] = E[ Y | X = 0] =^32. 14. ~μ (^) X~ =
[ 0 0
] e K (^) X~ =
[ 26 6 6 26
] .
15. (I-a) k = 1. (I-b) ~μ (^) X~ =
[ 7 / 12 7 / 12
]
. (I-c) K (^) X~ =
[ 11 / 144 − 1 / 144 − 1 / 144 11 / 144
] .
(II-a) k = 2. (II-b) ~μ (^) X~ =
[ 2 / 3 1 / 3
]
. (II-c) K (^) X~ =
[ 1 / 18 1 / 36 1 / 36 1 / 18
] .
(III-a) k = 2. (III-b) ~μ (^) X~ =
[ 2 / 3 4 / 3
]
. (III-c) K (^) X~ =
[ 1 / 18 17 / 81 17 / 81 2 / 9
] .
