Baixe Exercícios de Álgebra Linear: Matrizes, Operações e Inversas e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
Petronio Pulino 39
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.1 Considere o subconjunto I n
= { 1 , 2 , · · · , n } de IN. Determine a
matriz A : I n
× I
n
−→ IR definida pela seguinte regra funcional
a ij
= A(i, j) =
1 se | i − j | > 1
− 1 se | i − j | ≤ 1
Exerc´ıcio 2.2 Considere o subconjunto I n
= { 1 , 2 , · · · , n } de IN. Determine a
matriz A : In × In −→ IR definida pela seguinte regra funcional
aij = A(i, j) =
1 se | i − j | < 2
0 se | i − j | ≥ 2
Exerc´ıcio 2.3 Sejam A uma matriz de ordem m × n e X uma matriz coluna de
ordem n × 1 que s˜ao indicadas da seguinte forma:
A = [Y
1
· · · Y
j
· · · Y
n
] e X =
x 1
x j
x n
onde a matriz coluna Y j
de ordem m × 1 ´e a j–´esima coluna da matriz A. Mostre que
podemos escrever o produto AX da seguinte forma:
AX = x 1 Y 1 + · · · + xj Yj + · · · + xnYn.
Exerc´ıcio 2.4 Sejam A uma matriz de ordem m × n e B uma matriz de ordem
n × p que vamos indicar da seguinte forma:
B = [Y
1
· · · Y
j
· · · Y
p
] ,
onde a matriz coluna Y j
de ordem n × 1 ´e a j–´esima coluna da matriz B. Mostre que
podemos escrever a matriz C = AB da seguinte forma:
C = AB = A[Y 1 · · · Yj · · · Yp] = [AY 1 · · · AYj · · · AYp].
onde a matriz coluna Zj = AYj de ordem m × 1 ´e a j–´esima coluna da matriz C.
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.5 Dadas as matrizes
A =
[
a + 2b 2 a − b
2 c + d c − 2 d
]
e B =
[
]
Determine os parˆametros a, b, c e d de modo que A = B.
Exerc´ıcio 2.6 Dadas as matrizes
X =
a
⎦ ,^ Y^ =
[
− 1 b 2
]
e Z =
Determine os parˆametros a e b tais que Y X = 0 e Y Z = 1.
Exerc´ıcio 2.7 Determine todas as matrizes X tais que Y X = 0, onde
X =
a
b
c
⎦ e^ Y^ =
[
]
Exerc´ıcio 2.8 Dadas as matrizes
A =
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
]
, X =
[
]
e Y =
[
]
Determine os valores do parˆametro θ ∈ IR de modo que AX = Y.
Exerc´ıcio 2.9 Dadas as matrizes
A =
[
]
; B =
[
]
e C =
[
]
Verifique que AB = AC.
Exerc´ıcio 2.10 Dada a matriz
A =
[
]
Determine as matrizes B de modo que AB − BA = 0 2 × 2
, se poss´ıvel.
Petronio Pulino 57
Exerc´ıcio 2.48 Mostre que as matrizes
A =
⎦ e^ B^ =
comutam, isto ´e, AB = BA.
Exerc´ıcio 2.49 Mostre que a matriz
A =
´e auto–reflexiva, isto ´e, A
2 = I.
Exerc´ıcio 2.50 Determine todas as matrizes reais de ordem 2 da forma
A =
[
a b
0 c
]
tal que A
2 = I 2
, isto ´e, A ´e auto–reflexiva.
Exerc´ıcio 2.51 Sejam A uma matriz de ordem m × n e D = diag(d 1 , · · · , dm)
uma matriz diagonal. Deduza uma regra para o produto DA.
Exerc´ıcio 2.52 Sejam A uma matriz de ordem m × n e D = diag(d 1
, · · · , d n
) uma
matriz diagonal. Deduza uma regra para o produto AD.
Exerc´ıcio 2.53 Mostre que se A ´e auto–reflexiva, ent˜ao as matrizes
(I + A) e
(I − A)
s˜ao idempotentes.
Exerc´ıcio 2.54 Mostre que se A ´e uma matriz auto–reflexiva, de ordem n × n, ent˜ao
(I + A)(I − A) = 0n.
Exerc´ıcio 2.55 Mostre que as matrizes
A =
[
]
e B =
[
]
s˜ao anti–comutativas. Assim, temos que (A + B)
2 = A
2
2 .
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.56 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Qual a condi¸c˜ao
que devemos ter para que (A + B)(A − B) = A
2 − B
2 ?
Exerc´ıcio 2.57 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Qual a condi¸c˜ao
que devemos ter para que (A + B)
2 = A
2
2 ?
Exerc´ıcio 2.58 Dada a matriz
A =
[
]
Deduzir uma f´ormula para as potˆencias inteiras positivas da matriz A.
Exerc´ıcio 2.59 Dada a matriz
A =
[
]
determine as matriz B, de ordem 2 , tais que AB = BA.
Exerc´ıcio 2.60 Sejam X = [xi 1 ] e Y = [yi 1 ] matrizes coluna de ordem n × 1.
Mostre que tr(XY
t ) = X
t Y.
Exerc´ıcio 2.61 Seja A = [aij ] uma matriz real de ordem n × n. Mostre que
(a) tr(A
t A) ≥ 0.
(b) tr(A
t A) = 0 se, e somente se, A = 0 n
Exerc´ıcio 2.62 Dada a matriz
A =
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
]
para θ ∈ IR.
(a) Determine A
2 e A
3 .
(b) Fa¸ca a dedu¸c˜ao de uma express˜ao para A
k , k ∈ IN , se poss´ıvel.
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.70 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB ´e uma
matriz invert´ıvel. Mostre que as matrizes A e B s˜ao invert´ıveis.
Exerc´ıcio 2.71 Sejam A e B matrizes quadradas n˜ao–nulas, de ordem n, tais que
AB = 0n. Mostre que as matrizes A e B s˜ao n˜ao–invert´ıveis.
Exerc´ıcio 2.72 Seja A uma matriz quadrada complexa com inversa A
− 1
. Mostre que
( A )
− 1
= (A
− 1 ).
Exerc´ıcio 2.73 Seja A uma matriz de ordem n tal que A
4
= 0 4. Mostre que
(I
4
− A)
− 1
= I 4
+ A + A
2
3
.
onde I 4 ∈ IM 4 (IR) ´e a matriz identidade e 04 ∈ IM 4 (IR) ´e a matriz nula.
Exerc´ıcio 2.74 Seja A uma matriz nilpotente de ordem n. Mostre que a matriz
(I
n
− A) ´e invert´ıvel, exibindo sua matriz inversa.
Exerc´ıcio 2.75 Sejam A e B matrizes de ordem n. Mostre que
(a) Se AB = In , ent˜ao BA = In.
(b) Se BA = I n
, ent˜ao AB = I n
Exerc´ıcio 2.76 Determine a matriz A
− 1 , se poss´ıvel, da matriz A dada por:
A =
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
]
para θ ∈ IR.
Exerc´ıcio 2.77 Seja X uma matriz coluna de ordem n × 1 tal que X
t X = 1. A
matriz H, de ordem n, definida por:
H = In − 2 XX
t
´e denominada matriz de Householder. Mostre que
(a) H ´e uma matriz sim´etrica.
(b) H
t H = In.
(c) H
− 1 = H
t .
Dˆe um exemplo de uma matriz de Householder de ordem 3.
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.78 Mostre que as matrizes
A =
⎦ e^ U^ =
s˜ao equivalentes, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas utilizada para
reduzir a matriz A a matriz triangular superior U.
Exerc´ıcio 2.79 Mostre que as matrizes
A =
⎦ e^ B^ =
s˜ao equivalentes, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de linhas utilizada para
reduzir a matriz A a matriz B.
Exerc´ıcio 2.80 Mostre que as matrizes
A =
⎦ e^ R^ =
s˜ao equivalentes, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares utilizada.
Exerc´ıcio 2.81 Mostre que as matrizes
A =
[
]
e R =
[
]
s˜ao equivalentes, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares utilizada.
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcio 2.87 Dada a matriz
A =
Determine uma matriz R na forma escalonada que seja linha equivalente a matriz A, e
uma matriz P invert´ıvel de ordem 3 × 3 tal que R = P A.
Exerc´ıcio 2.88 Dada a matriz
A =
Determine uma matriz R na forma escalonada que seja linha equivalente a matriz A e
uma matriz P invert´ıvel de ordem 3 × 3 tal que R = P A.
Exerc´ıcio 2.89 Considere a seguinte matriz sim´etrica
A =
Determine uma matriz L triangular inferior que seja equivalente por coluna a matriz
A, indicando a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de colunas utilizada e a respectiva
seq¨uˆencia de matrizes elementares de coluna, isto ´e, L = AK 1
K
2
· · · K
r
Exerc´ıcio 2.90 Considere a matriz L triangular inferior obtida no Exerc´ıcio 2.89.
Determine a matriz D linha equivalente a matriz L atrav´es da seq¨uˆencia de opera¸c˜oes
elementares de linhas correspondente `a seq¨uˆencia de opera¸c˜oes elementares de colunas
utilizada para obter a matriz L, isto ´e, D = H r
· · · H
2
H
1
L onde H i
= (K
i
t .
Exerc´ıcio 2.91 Determine o posto linha da matriz A dada por:
A =
e tamb´em o posto linha da matriz A
t .
Algebra Linear e suas Aplica¸c˜oes: Notas de Aula
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.92 Considere a matriz sim´etrica
A =
Determine uma matriz invert´ıvel P de modo que D = P AP
t seja uma matriz diagonal,
e a matriz L = P
− 1 tal que A = LDL
t .
Exerc´ıcio 2.93 Considere a matriz sim´etrica
A =
Determine uma matriz invert´ıvel P de modo que D = P AP
t seja uma matriz diagonal,
e a matriz L = P
− 1 tal que A = LDL
t .
