Exerc´ıcios de CPM e PERT Enunciados, Esquemas de Desenho

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Cap´ıtulo 7

Exerc´ıcios de CPM e PERT

Enunciados

Enunciados 106

Problema 1

O banco TTM (Tost˜ao a Tost˜ao se faz um Milh˜ao) decidiu transferir e ampliar a sua sede e servi¸cos centrais para a cidade do Porto. Este projecto foi dividido em tarefas, tendo as suas precedˆencias sido estabelecidas e os tempos de execu¸c˜ao m´edios, e seus desvios-padr˜ao, estimados:

Actividade Descri¸c˜ao Dura¸c˜ao Desvio- Actividades m´edia Padr˜ao imediatamente (semanas) (semanas) posteriores LO Obten¸c˜ao de licen¸cas de obras 5 1 OA, ME RTF OA Obras de altera¸c˜ao do edif´ıcio 21 2 II ME Medi¸c˜ao do espa¸co 1 0 PAI, PAM RTF Recrutamento e treino dos funcion´arios 21 1 M PAI Planeamento e aquisi¸c˜ao de infra-estruturas 24 1 II II Instala¸c˜ao de infra-estruturas 7 1 IM PAM Planeamento e aquisi¸c˜ao de mobili´ario 10 1 IM IM Instala¸c˜ao de mobili´ario 1 0 M M Mudan¸ca 2 0 —

(a) Desenhe a rede de actividades correspondente ao projecto.

(b) Calcule as folgas totais e livres e determine o caminho cr´ıtico.

(c) Qual ´e a probabilidade de o projecto se atrasar 2 semanas ou mais?

(d) Durante a execu¸c˜ao do projecto conclui-se que as actividades OA e PAM sofrer˜ao atrasos de 4 e 8 semanas, respectivamente. Ser´a necess´ario alterar a execu¸c˜ao dessas actividades para que a data prevista para a conclus˜ao do projecto n˜ao seja compro- metida? Justifique.

Enunciados 108

Problema 3

Considere o seguinte projecto:

Actividade Dura¸c˜ao Desvio- Actividades m´edia Padr˜ao imediatamente (semanas) (semanas) precedentes A 8 3 D B 1 0 H C 5 1 — D 8 2 — E 10 3 C, D F 6 2 H G 4 1 B, I, J H 5 1 A, E I 9 2 D J 2 0 A, E

(a) Trace a rede de actividades para este projecto.

(b) Defina o caminho cr´ıtico (em termos de dura¸c˜oes m´edias).

(c) Defina as folgas m´edias (total e livre) das actividades H, J e I.

(d) Determine a probabilidade de o projecto estar conclu´ıdo antes da semana 27 (admita que o projecto arranca no in´ıcio da semana 0). Critique a estimativa da probabilidade obtida.

(e) Qual a probabilidade de o projecto estar conclu´ıdo entre o in´ıcio da semana 27 e o fim da semana 30?

(f ) Que data de conclus˜ao do projecto dever´a ser proposta, para que haja apenas 5% de probabilidade de n˜ao a cumprir?

(g) No fim da semana 13, o estado de execu¸c˜ao das diferentes actividades ´e o seguinte:

• actividades completas: C e D
• actividades em execu¸c˜ao:
  • E (valor esperado da dura¸c˜ao restante: 1 semana)
  • A (valor esperado da dura¸c˜ao restante: 1 semana)
  • I (valor esperado da dura¸c˜ao restante: 8 semana)
  • actividades n˜ao iniciadas: as restantes

Redefina a rede. Indique sobre a rede os valores esperados das datas de in´ıcio mais cedo e das datas de fim mais tarde para as actividades n˜ao terminadas, bem como o(s) caminho(s) cr´ıtico(s), na nova situa¸c˜ao.

Enunciados 109

Problema 4

Um dado projecto envolve as 9 actividades que se caracterizam na tabela seguinte:

Actividade Dura¸c˜ao Desvio- Actividades m´edia Padr˜ao imediatamente (semanas) (semanas) anteriores A 10 2 — B 7 1 — C 16 3 — D 12 1 A E 5 1 B F 12 2 B G 8 2 E, D H 10 2 F, E, D I 8 2 G, H

(a) Defina os n´umeros de ordem das actividades, desenhe a rede correspondente e de- termine o caminho cr´ıtico.

(b) Calcule as folgas m´edias total e livre das actividades F, B e D. Qual o interesse desses valores no controlo de um projecto?

(c) Calcule a probabilidade de o projecto n˜ao estar completo ao fim de 50 semanas. Que confian¸ca tem no valor encontrado?

Resolu¸c˜oes 111

Problema 1

(a) Para desenhar a rede de actividades ´e necess´ario come¸car por atribuir um n´umero de ordem a cada actividade, seguindo o algoritmo dado nas aulas te´oricas:

Actividades imediatamente subsequentes (posteriores) N´umero Actividade LO OA ME RTF PAI II PAM IM M de ordem LO x x x 1 OA x 2 ME x x 2 RTF x 2 PAI x 3 II x 4 PAM x 3 IM x 5 M 6

Seguidamente, desenham-se 6+1 = 7 linhas verticais e constroi-se a rede partindo do fim para o princ´ıpio. O in´ıcio de cada actividade coincide com a linha vertical corres- pondente ao seu n´umero de ordem. Esta fase do desenho da rede est´a representada na figura seguinte.

LO ME

PAI II IM M

1 2 3 4 5 6 7

OA

RTF

PAM

Simplificando a rede apresentada na figura anterior, obt´em-se a rede representada na figura seguinte.

Resolu¸c˜oes 112

LO(5)

PAM(10)

Notação: -Nós

-Actividades i^ Designação (d^ ij) j

i

1 2 ME(1)^3 PAI(24)^4 II(7)^5 IM(1)^6 M(2) 7

RTF(21)

OA(21)

(b) Na figura seguinte est˜ao representadas as folgas totais e livres de cada uma das actividades. O caminho cr´ıtico corresponde `as actividades LO → M E → P AI → II → IM → M

Resolu¸c˜oes 114

Problema 2

Para desenhar a rede de actividades ´e necess´ario come¸car por atribuir um n´umero de ordem a cada actividade, seguindo o algoritmo dado nas aulas te´oricas:

Activ. imediatamente posteriores N´umero Actividade A B C D E F G H I de ordem A x 2 B 3 C x x x 1 D x x 1 E x 2 F x x 2 G x 3 H 4 I x 3

Seguidamente, desenham-se 4 + 1 = 5 linhas verticais e constroi-se a rede partindo do fim para o princ´ıpio. O in´ıcio de cada actividade coincide com a linha vertical correspon- dente ao seu n´umero de ordem. Esta fase do desenho da rede est´a representada na figura seguinte.

D

1 2 3 4 5

C

E

A

F

G H

I

B

Simplificando a rede apresentada na figura anterior, obt´em-se a rede representada na figura seguinte.

Resolu¸c˜oes 115

D(3)

1

2

3

4 6

7

C(7)

E(3)

5

A(2)

F(3)

G(4)

H(5)

B(4)

Notação: -Nós

-Actividades i^ Designação (dij) j

i

I(9)

Na figura seguinte est˜ao representadas as folgas totais e livres de cada uma das acti- vidades. O caminho cr´ıtico corresponde `as actividades C → I → H e tem uma dura¸c˜ao m´edia de 21 semanas.

D(3) 1/

1

2

3

4 6

7

C(7) 0/

E(3) 2/

5

A(2) 7/

F(3) 1/

G(4) 2/ H(5) 0/ I(9) 0/ B(4) 10/

7 7

0 0

10 12 16 16

21 21

3 4 7 7

ESi. LF.j Notação: -Nós

-Actividades -Actividades críticas

i DesignaFTção (dij) j ij/FL^ ij

i j

i

Resolu¸c˜oes 117

Notação: -Nós

-Actividades i^ Designação (dij) j

i

C(5) 1

3

2 4 5

6

D(8)

A(8)

H(5)

B(1)

E(10) (^7)

J(2)

I(9)

G(4)

F(6)

(b) Na figura seguinte est˜ao representadas as folgas totais e livres de cada uma das actividades. O caminho cr´ıtico corresponde `as actividades D → E → H → F e tem uma dura¸c˜ao m´edia de 29 semanas.

Notação: -Nós^ ESi.^ LF.j

-Actividades -Actividades críticas

i DesignaFTij/FLção (dij ij) j

i j

i

C(5) 3/ 1

3

2 4 5

6

D(8) 0/

A(8) 2/

H(5) 0/

B(1) 1/

E(10) 0/0 7 J(2) 5/

I(9) 8/

G(4) 1/

F(6) 0 0 0/

8 8 18 18 23 23 29 29

8 8 24 25

(c) Ver figura anterior.

(d) A dura¸c˜ao total do projecto ´e igual `a soma das dura¸c˜oes das actividades do caminho cr´ıtico:

Resolu¸c˜oes 118

DT = D 1 + D 2 + D 3 +... + Dn = 29

Como as dura¸c˜oes das actividades s˜ao vari´aveis aleat´orias, DT tamb´em ser´a uma vari´avel aleat´oria com m´edia μT dada por:

μT = μ 1 + μ 2 + μ 3 +... + μn = 8 + 10 + 5 + 6 = 29

Admitindo que as dura¸c˜oes das actividades s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes, a variˆancia da dura¸c˜ao total σ^2 T ser´a:

σ^2 T =^ σ^21 +^ σ^22 +^ σ 32 +^...^ +^ σ^2 n = 2^2 + 3^2 + 1^2 + 2^2 = 18

Dura¸c˜ao total do projecto pode ser descrita por uma distribui¸c˜ao normal com m´edia μT e variˆancia σ T^2. Neste caso teremos ent˜ao:

P (D ≤ 27) = P

Z ≤ (^27) σ−TμT

= P (Z ≤ 274 −. 2429 ) = P (Z ≤ − 0 .47) ≈ 0. 5 − 0. 1808 ≈

A probabilidade de o projecto estar conclu´ıdo antes da semana 27 ´e de aproximada- mente 30%. Foi dito que a dura¸c˜ao do caminho cr´ıtico tinha uma distribui¸c˜ao que tendia para a distribui¸c˜ao normal. Isso significa que a sua distribui¸c˜ao n˜ao ser´a exactamente nor- mal, tal como n´os a consideramos. Estamos pois perante uma poss´ıvel fonte de erro para a estimativa da probabilidade encontrada. Outro pressuposto que pode falsear os resultados ´e de que a dura¸c˜ao do projecto ´e a dura¸c˜ao do caminho cr´ıtico encon- trado. Ora este ´e o caminho cr´ıtico quando as actividades demoram exactamente a sua dura¸c˜ao m´edia. Se isso n˜ao acontecer pode o caminho cr´ıtico ser alterado e a dura¸c˜ao do projecto n˜ao corresponder `a dura¸c˜ao do caminho cr´ıtico “m´edio”.

(e) A probabilidade de o projecto estar conclu´ıdo entre o in´ıcio da semana 27 e o fim da semana 30 ´a a probabilidade de a dura¸c˜ao do projecto estar entre 27 e 31.

P (27 ≤ D ≤ 31) = P

4. 24 ≤^ Z^ ≤^

31 − 29

4. 24

= P (− 0. 47 ≤ Z ≤ 0 .47) = 2 × 0. 1808 ≈

(f ) Devem-se propor 36 semanas at´e `a conclus˜ao do projecto, para que haja apenas 5% de probabilidade de n˜ao cumprimento.

P (D ≥ d) = 0. 05 ≡ P

Z ≥ d 4 −. 2429

= 0. 05 ≡ d 4 −. 2429 = 1. 645 ≡ d = 36 semanas

(g) A situa¸c˜ao interm´edia referida no enunciado, est´a representada na figura seguinte.

Resolu¸c˜oes 120

Problema 4

(a) Para desenhar a rede de actividades ´e necess´ario come¸car por atribuir um n´umero de ordem a cada actividade, seguindo o algoritmo dado nas aulas te´oricas:

Activ. imediatamente posteriores N´umero Actividade A B C D E F G H I de ordem A x 1 B x x 1 C 1 D x x 2 E x x 2 F x 2 G x 3 H x 3 I 4

Seguidamente, desenham-se 4+1 = 5 linhas verticais e constroi-se a rede partindo do fim para o princ´ıpio. O in´ıcio de cada actividade coincide com a linha vertical corres- pondente ao seu n´umero de ordem. Esta fase do desenho da rede est´a representada na figura seguinte.

1 2 3 4 5

A

B

C

D E

F

G

H

I

Simplificando a rede apresentada na figura anterior, obt´em-se a rede representada na figura seguinte.

Resolu¸c˜oes 121

A(10) B(7)

C(16)

D(12) E(5)

F(12)

G(8)

H(10)

I(8)

Notação: -Nós

-Actividades i^ Designação (dij^ ) j

i

O caminho cr´ıtico corresponde `as actividades A → D → H → I e tem uma dura¸c˜ao m´edia de 40 semanas.

A(10)

B(7)

C(16)

D(12)

E(5)

F(12)

G(8)

H(10)

I(8)

Notação: -Nós

-Actividades

-Actividades críticas

i Designação (dij) j

i

0 0

ESi. LF.j

10 10

7 10

22 22 32 32 40 40

22 22

i j

(b) Na figura seguinte est˜ao representadas as folgas totais e livres de cada uma das actividades.