Cálculo de Muro de Arrimo por Gravidade, Notas de aula de Estruturas e Materiais

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UNASP – Centro Universitário Adventista de São Paulo

Curso: Engenharia Civil

Disciplina: Estruturas Especiais de Concreto

Muros de Arrimo

Prof. Dr. Leandro Dias Küster

Exemplo de Muro de Gravidade

Calcular um muro de contenção por gravidade para as condições apresentadas a seguir (Figura

Dados Gerais

• 𝛼 = 20º (Inclinação do terreno adjacente;
• 𝐺

0

= 0 (Carga aplicada no topo do muro);

• 𝑞 = 4 , 5 𝑘𝑁/𝑚

2

(Sobrecarga no terreno junto ao muro);

• 𝜑 = 30° (Ângulo de talude natural);
• 𝜑

1

= 0 (Ângulo de rugosidade – Utilizar parâmetro interno liso – é usado para muros

cimentados ou pintados com pixe);

𝑠

= 0 , 20 𝑀𝑃𝑎

Figura 1 : Muro de Contenção por gravidade

hs = 35,0 cm

i

e

r = 50,0 cm

t = 50,0 cm

b = 200,0 cm

bs = 300,0 cm

h = 400 cm

H

b 0 = 60 cm

4,5 kN/m²

2

2

. [ 1 +

]

2

0

𝑡

0

𝑡

2

0

2

2

2

1

1

𝐻

= 𝐸. cos(𝛿) = 71 , 50. 𝑐𝑜𝑠( 5 ) = 71 , 23 𝑘𝑁/𝑚

𝑉

= 𝐸. sen(𝛿) = 71 , 50. 𝑠𝑒𝑛( 5 ) = 6 , 23 𝑘𝑁/𝑚

𝑠

𝑖

𝑠

𝑖

𝑠

𝑡

0

2

𝑖

𝑡

2

′

𝑠

Cargas e momentos fletores

Na Figura 2 são apresentados os esquemas da cargas e suas respectivas distâncias para a

determinação do momento fletor.

Carga no topo

0

0

Peso próprio do muro

𝑀

0

𝑀

2

0

0

2

2

0

2

2

2

𝑀

𝑀

Peso próprio da sapata

𝑆

𝑠

𝑠

𝑆

𝑠

Figura 2 : Cargas e distâncias no muro de gravidade

E

y

y'

GM

EH

GT

xT

xM

 i

e

gV

gT

gM

GS

gS

Ev

Gt

xt

ht

h = 400 cm

H

b 0 = 60 cm



4,5 kN/m²

hs = 35,0 cm

r = 50,0 cm

m = 105,0 cm

b 0 = 60,0 cm

n = 35,0 cm

t = 50,0 cm

bS = 300,0 cm

d = 155,0 cm

b 0

a = 85,0 cm

b = 200,0 cm

Peso do solo no talão (Desprezando-se a inclinação do terreno)

𝑇

𝑡

Equilíbrio estático

Escorregamento

1

Rotação

2

0

0

𝑀

𝑚

𝑆

𝑆

𝑇

𝑇

𝑡

𝑡

2

Equilíbrio elástico

Tensão média

𝑚

𝑠

2

𝑚

2

Tensão máxima

1

𝑚

𝑠

1

2

𝑠

Tensão mínima

2

𝑚

𝑠

2

2

Verificação da estabilidade das juntas

Essa verificação será realizada em diversas alturas do muro de contenção. Em resumo, as

verificações que foram realizadas para a estabilidade do conjunto, serão realizadas agora em

diversas alturas, para determinar se essas regiões também estão garantindo estabilidade para o

muro. Na Figura 3 são apresentados detalhes referentes aos pontos de verificações que foram

definidos para esse dimensionamento.

Figura 3 : Estabilidade das juntas



= 20º

4,5 kN/m²

Junta 0

Junta 1

Junta 2

Junta 3

Junta 4

Junta 5

E 2

E 3

E 4

y 2

y 3

y 4

E 1

y 1

b 0 =60cm

b 1 =95 cm

b 2 = 130 cm

b 3 = 165 cm

b 4 = b = 200 cm

G 0

G 1

G 2

G 3

G 4

bS = 300 cm

h1 = 100 cm

h

2

= 200 cm

h

3

= 300 cm

h

4

= 400 cm

h

5

= 435 cm

hS = 35 cm

Verificações da estabilidade da Junta 1

Levantamento das ações da Junta 1

Peso próprio do bloco sobre a Junta

1

1

0

1

1

1

. tan(𝜃

𝑒

) = 1 , 00. tan( 15 ) = 0 , 268 𝑚

1

1

. tan

𝑖

= 1 , 00. tan

1

1

2

1

0

0

2

1

2

0

1

2

2

2

1

1

1

1

Equilíbrio estático na Junta 1

Escorregamento na Junta 1

1

1

1

Rotação na Junta 1

2

1

1

𝑇 1

𝑇 1

1

1

′

Obs. O valor de 𝑦

1

′

será igual ao valor de 𝑦

1

. Isso se dá por conta de ser o mesmo ponto de

referência a ser adotado. Isso também ocorrerá em todas as outras juntas.

Equilíbrio elástico na Junta 1

Tensão média na Junta 1

𝑚

1

1

1

2

𝑚

2

Tensão máxima na Junta 1

1

𝑚

1

1

1

2

𝑐𝑑

Tensão mínima na Junta 1

2

𝑚

1

1

2

2

Verificações da estabilidade da Junta 2

Levantamento das ações da Junta 2

Peso próprio do bloco sobre a Junta

2

2

0

2

2

2

. tan

𝑒

= 2 , 00. tan

2

2

. tan(𝜃

𝑖

) = 2 , 00. tan( 5 ) = 0 , 175 𝑚

2

2

2

2

0

0

2

2

2

0

2

2

2

2

2

2

2

2

Peso do solo sobre o tardoz do muro (sem contar a parte inclinada)

𝑇 2

𝑡

2

2

. tan(𝜃

𝑖

2

. tan( 5 )

𝑇 2

2

2

Empuxo parcial

2

2

0

2

𝑡

2

2

0

2

2

2

𝐻 2

2

. cos(𝛿) = 20 , 07. 𝑐𝑜𝑠( 5 ) = 19 , 93 𝑘𝑁/𝑚

𝑉 2

2

. sen

𝑠

𝑡

0

2

𝑖 2

𝑡

2

2

2

2

𝑠

𝑖 2

𝑠

𝑖 2

𝑉 2

2

2

𝑖

) = 1 , 30 − 0 , 74. tan( 5 ) = 1 , 24 𝑚

Força normal

2

0

2

𝑇 2

𝑉 2

Força tangencial

2

𝐻 2

Momentos fletores

𝑖 2

2

2

𝑇 2

𝑇 2

𝑉 2

𝑉 2

𝑒 2

𝐻 2

2

2

𝑖 2

𝑒 2

Posição do centro de pressão

2

2

2

Excentricidade

2

2

2

Peso do solo sobre o tardoz do muro (sem contar a parte inclinada)

𝑇 3

𝑡

3

2

. tan(𝜃

𝑖

2

. tan( 5 )

𝑇 3

3

3

Empuxo parcial

3

3

0

3

𝑡

3

2

0

2

2

2

𝐻 3

3

. cos

𝑉 3

3

. sen

𝑠

𝑡

0

2

𝑖 3

𝑡

3

2

3

3

𝑠

𝑖 3

𝑠

𝑖 3

𝑉 3

3

3

𝑖

) = 1 , 65 − 1 , 08. tan( 5 ) = 1 , 56 𝑚

Força normal

3

0

3

𝑇 3

𝑉 3

Força tangencial

3

𝐻 3

Momentos fletores

𝑖 3

3

3

𝑇 3

𝑇 3

𝑉 3

𝑉 3

𝑒 3

𝐻 3

3

3

𝑖 3

𝑒 3

Posição do centro de pressão

3

3

3

Excentricidade

3

3

3

Equilíbrio estático na Junta 3

Escorregamento na Junta 3

1

3

3

Rotação na Junta 3

2

3

3

𝑇 3

𝑇 3

3

3

′

Equilíbrio elástico na Junta 3

Tensão média na Junta 3

𝑚

3

3

3

2

𝑚

2

Tensão máxima na Junta 3

1

𝑚

3

3

1

2

𝑐𝑑

Tensão mínima na Junta 3

2

𝑚

3

3

2

2

Verificações da estabilidade da Junta 4

Levantamento das ações da Junta 4

Peso próprio do bloco sobre a Junta

4

4

0

4

4

4

. tan(𝜃

𝑒

) = 4 , 00. tan( 15 ) = 1 , 072 𝑚

4

4

. tan(𝜃

𝑖

) = 4 , 00. tan( 5 ) = 0 , 350 𝑚

4

4

2

4

0

0

2

4

2

0

4

2

2

2

4

4

4

4

Equilíbrio estático na Junta 4

Escorregamento na Junta 4

1

4

4

Rotação na Junta 4

2

4

4

𝑇 4

𝑇 4

4

4

′

Equilíbrio elástico na Junta 4

Tensão média na Junta 4

𝑚

4

4

4

2

𝑚

2

Tensão máxima na Junta 4

1

𝑚

4

4

1

2

𝑐𝑑

Tensão mínima na Junta 4

2

𝑚

4

4

2

2

< 0 ∴ 𝑵𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔𝒊𝒕𝒂 − 𝒔𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒂 𝒛𝒐𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂çã𝒐

Na Figura 4 é apresento um esquema para as novas tensões no solo devido à tração.

Figura 4 : Esquema de tensões no solo sem a parte tracionada

máx

b0 = 3.u

Junta 3

Junta 4

E 3

E 4

y 3

y 4

b 3 = 165 cm

b 4 = b = 200 cm

G 3

G 4

Nova tensão máxima na Junta 4

𝑚á𝑥

4

4

2

𝑐𝑑

Resultados

Como o muro passou em todas as verificações, com essa geometria ele pode ser construído.

Deve-se atentar ao fato que que na seção 4 está ocorrendo uma tração no muro, porém, o limite

de compressão ainda não está sendo ultrapassado.