Estudo das equações diferenciais parciais - parte 1 - EDP parte 1, Notas de aula de Matemática Aplicada

Baixe Estudo das equações diferenciais parciais - parte 1 - EDP parte 1 e outras Notas de aula em PDF para Matemática Aplicada, somente na Docsity!

Equações Diferenciais Parciais I

Paulo Cupertino de Lima

Departamento de Matemática - UFMG

Agosto, 2013

Sumário

Capítulo 1

Introdução

1.1 O que são equações diferenciais parciais?

Vagamente falando, uma equação diferencial parcial é uma equação que envolve uma função desconhecida u(x 1 ,... , xn) e suas derivadas parciais de até uma certa ordem. A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da derivada mais alta que aparece na mesma. Por exemplo, uma equação diferencial de primeira ordem nas variáveis x, y é da forma F (x, y, u, ux, uy) = 0,

enquanto uma equação diferencial parcial de segunda ordem nas variáveis x, y é da forma

F (x, y, u, ux, uy, uxy, uxx, uyy) = 0.

1.2 De onde vêm as equações diferenciais parciais?

As equações diferenciais parciais vem de problemas de modelagem em ciências (Física, Biologia, etc). Alguns exemplos de tais equações são

• a equação de Burger com viscosidade

ut + uux = νuxx,

que aparece em várias áreas da matemática aplicada, dentre elas modelagens de dinâ- mica de gases e de fluxo de tráfico.

• a equação de Laplace ∆u = 0, onde é o operador ∆ =

∑n i=

∂^2 ∂x^21. A equação de Laplace e suas generalizações apare- cem em vários contextos, dentre eles, teoria de potencial(teoria de gravidade de Newton, eletrostática), geometria riemaniana (operador de Laplace-Beltrami), processos estocá- ticos (solução estacionária da equação de Kolmogorov para o movimento browniano), análise complexa (as partes real e imaginária de uma função analítica são soluções da equação de Laplace).

• a equação de calor ut = k∆u, usada para modelar a evolução temporal do temperatura de um corpo.
• a equação da onda ut = c^2 ∆u, que descreve a propagação de uma onda num meio.
• a equação de Schro¨dinger

iℏ

∂ψ ∂t

ℏ^2

2 m

∆ + V

ψ,

onde |ψ(x, t)|^2 dá a probabilidade de encontrarmos uma partícula no ponto x e no instante t, estando ela sujeito ao um potencial V.

• as equações de Navier-Stokes

∂v dt

• (v · ∇)v = −∇v + ν∆v + f (x, t),

que é um sistema de equações diferenciais parciais que modela o movimento de um fluido, v(x, t), p(x, t) e f (x, t) são o campo de velocidade, a pressão e a força externa no ponto x, no instante t.

1.3 Equações diferenciais parciais e leis de conservação

Muitas equações diferenciais parciais vêm de leis de conservação, a seguir daremos um exemplo simples de tal equação.

Exemplo 1. Considere uma rua começando no ponto x e terminando no ponto x + ∆x. Se u(x, t) é a densidade de carros no ponto x, no instante t, então quantidade total de carros na rua no instante t é (^) ∫ x+∆x

x

u(s, t)ds.

Admitindo que a variação desta quantidade seja decorrente apenas do fluxo f de carros através dos pontos x e x + ∆x, então a taxa de variação do número de carros entre os pontos x e x + ∆x no instante t, é dada pela seguinte lei de conservação

d dt

∫ (^) x+∆x

x

u(s, t)ds = f (u(x, t)) − f (u(x + ∆x, t)). (1.1)

Mostraremos que esta lei de conservação nos leva a uma equação diferencial parcial para u(x, t). De fato, assumindo que u seja de classe C^1 , então (1.1) pode ser reescrita como

∫ (^) x+∆x

x

ut(s, t)dx = f (u(x, t)) − f (u(x + ∆x, t)),

Do Teorema da Divergência, temos

d dt

Ω

u(s, t)ds = −

Ω

∇ · Φ(s, t, u(s, t)) ds +

Ω

f (s, t, u(s, t))ds.

Se u for de Classe C^1 , podemos passar a derivada em relação a t para dentro da integral e teremos (^) ∫

Ω

ut(s, t)ds +

Ω

∇ · Φ(s, t, u(s, t)) ds =

Ω

f (s, t, u(s, t))ds.

Em particular, se x ∈ U e Ω for a esfera de raio r > 0 centrada em x, assumiremos r suficientemente pequeno para que ela esteja contida em U. Então dividindo a última equação pelo volume V (Ω) e tomando o limite quando r tende a zero, segue do Teorema do Valor Médio que

ut + ∇ · Φ = f, (1.4)

nos dando outra equação diferencial parcial que vem de uma lei de conservação.

Capítulo 2

Equações Diferenciais Parciais de

Primeira Ordem

2.1 Definição e classificação

Uma equação diferencial parcial de primeira ordem é uma equação da forma

F (x 1 ,... , xn, u, ux 1 ,... , uxn ) = 0, (2.1)

onde u(x 1 ,... , un) é uma função desconhecida. Se a equação (2.1) for linear nas derivadas parciais uxi ’s, ou seja, se puder ser colocada sob a forma

∑^ n

i=

ai(x 1 ,... , xn, u)uxi = c(x 1 ,... , xn, u), (2.2)

dizemos que ela é quasi-linear. Se a equação (2.2) puder ser colocada na forma

∑^ n

i=

ai(x 1 ,... , xn)uxi = c(x 1 ,... , xn) ou

∑^ n

i=

ai(x 1 ,... , xn)uxi = c(x 1 ,... , xn)u, (2.3)

dizemos que a equação ela é linear. Dizemos que u é uma solução de (2.1) numa região Ω ⊂ Rn, se ao substituirmos u(x 1 ,... , xn) e as suas derivadas parciais na equação (2.1) ela é satisfeita identicamente para todo (x 1 ,... , xn) em Ω.

2.2 Equações diferenciais parciais quasi-lineares

Figura 2.1: A solução do problema de valor inicial (2.4) e (2.5), mostrada em três instantes diferentes. É uma onda viajante.

Resumindo, se quisermos o valor de u no ponto (xo, yo), pegamos a curva característica projetada (reta) que passa por este ponto, encontramos a sua interseção com o eixo x, ou seja, o ponto (xo − ayo, 0) e fazemos u(xo, yo) = h(xo − ayo). Portanto a solução em qualquer ponto é completamente determinada a partir do dado inicial. O que aconteceria se tivéssemos especificado o dado inicial sobre uma curva característica projetada, digamos x = ay? Neste caso seria dado u(as, s) = h(s) ou invés de u(s, 0) = h(s).

Ao resolvermos (2.4) e (2.5) o que fizemos foi encontrar uma superfície solução S : z = u(x, y), contendo uma curva γ dada por

x = s, y = 0, z = h(s).

A curva característica projetada de (2.4) passando por (s, 0) em t = 0 é dada por

x = X(s, t) = s + at, y = Y (s, t) = t, (2.8)

ao longo da mesma u = Z(s) = h(s).

Como a solução desejada é u = z(x, y), isto significa que temos que expressar s em termos de x e y, o que é imediato de (2.8) e obtemos s = x − ay. Em geral, estaremos interessados em encontrar uma superfície solução de (2.4) que contenha uma curva dada por

x = f (s), y = g(s), z = h(s). (2.9)

A curva característica projetada passando (f (s), g(s)) em t = 0 é dada por

x = f (s) + at, y = g(s) + t (2.10)

ao longo da qual u = Z(s) = h(s). Para encontrarmos u(x, y) devemos ser capazes de expressar s em função de x e y. De (2.10) facilmente eliminamos t e encontramos

x − ay = f (s) − ag(s) ≡ w(s),

portanto, se

w′(s) = f ′(s) − ag′(s) = (−g′(s), f ′(s)) · (a, 1) ̸= 0, (2.11)

ou seja, se o campo vetorial (a, 1) for transversal à curva plana (f (s), g(s)), a função w terá inversa s = w−^1 (x − ay).

Portanto, u(x, y) = h(w−^1 (x − ay))

é solução do problema de Cauchy (2.4) e (2.9). Quando a curva (f (s), g(s)), na qual especial especificamos o dado inicial satisfaz a con- dição (2.11), dizemos que ela é não característica. Através deste exemplo simples, vimos que existe um compromisso entre a equação dife- rencial (2.4) e a curva (f (s), g(s)) na qual especificamos o dado inicial. Pode ser que em função desta curva, não tenhamos solução para o problema de Cauchy (2.4) e (2.9). Por exemplo se especificarmos o nosso dado sobre a curva Γ dada por f (s) = as e g(s) = 1, então se (xo, yo) não estiver sobre Γ, a característica projetada passando por (xo, yo) será paralela a Γ, portanto não poderemos acessar o dado inicial através da mesma e o problema de Cauchy correspondente não terá solução. Vale a pena ressaltar que se J(s, t) for o Jacobiano da transformação (2.10), ou seja,

J(s, t) = det

Xs Ys Xt Yt

então (2.11) é equivalente a dizer que

J(s, 0) ̸= 0

e pelo Teorema da Função Inversa, a condição de transversalidade é equivalente a dizer que a transformação (2.11) é localmente (para todo s e t pequeno) invertível, nos permitindo expressar s e t em função de x e y. Vimos que a superfície solução S : z = u(s, y) pode ser escrita como S = ∪sγs, onde para cada s fixo, γs é a curva dada por γs = {(X(s, t), Y (s, t), h(s)}, a qual é chamada de curva característica. A projeção desta no plano xy é o que havíamos definido como uma curva característica projetada. Note que γs é a solução do seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias

dx dt

= a,

dy dt

dz dt

com condições iniciais

x(0) = f (s), y(0) = g(s), z(s) = h(s),

portanto o que fizemos acima foi para cada s fixo encontrar a curva característica passando pela curva dada γ, em t = 0.

Exemplo 4. Considere o seguinte problema

uy − xux = 0, u(x, 0) = h(x) (2.12)

que ainda é uma equação de transporte linear. Note que agora as características projetadas são dadas por dx dt

= −x,

dy dt

com condições iniciais x(0) = s, y(0) = 0, z(0) = h(s).

Encontramos

x = h(s)t + s ≡ X(s, t), y = s ≡ Y (s), z = h(s) ≡ Z(s). (2.14)

No presente exemplo as curvas características projetadas ainda são retas, porém os seus coeficientes angulares não são mais constante, dependem do dado inicial h(s). Das duas primeiras equações de (2.14), temos as seguintes expressões para as curvas características projetadas:

x − h(s)y = s (2.15)

que são retas que passam por (s, 0) e têm coeficiente angulares dxdy = h(s). Substituindo (2.15) na terceira equação de (2.14), temos

Z(s) = h(x − Z(s)y). (2.16)

Agora é só lembrarmos que u(x, y) = Z(S(x, y)), onde s = S(x, y) é obtido a partir das duas primeiras equações de (2.14), o que é possível, uma vez que a curva Γ é não característica. Portanto, de (2.16), temos

u(x, y) = Z(S(x, y)) = h(x − S(x, y)y) = h(x − yu(x, y)),

ou seja, u é dado implicitamente a partir da relação

u(x, y) = h(x − u(x, y) y).

Exemplo 6. Se no Exemplo 5 fizermos

h(x) = αx + β,

onde α, β são constantes, então de (2.14), temos

u(x, y) = α(x − yu(x, y)) + β,

e podemos calcular explicitamente a solução, encontrando

u(x, y) =

αx + β 1 + αy

Para y fixo o gráfico de u é uma reta. Se α > 0 esta reta vai ficando horizontal, à medida em que y tende a infinito. Por outro lado, se α < 0 , a reta se torna vertical quando y se aproxima do valor crítico y∗ = − (^) α^1 e a solução deixa de existir, veja Figura 2. 4.

Das duas primeiras equações de (2.14) segue que as características projetadas no plano xy da equação de Burger são as retas

Cs : x = h(s)y + s,

Figura 2.4: A solução da equação de Burger com condição inicial h(x) = αx + β, α = − 0 , 2 , β = 0, 1 nos instantes y = 0, 3 , 4 e 4 , 9. O valor de t∗ = 5.

as quais passam por (s, 0) e os seus coeficientes angulares são iguais a h(s). Ao longo de Cs, temos u = h(s). Note que se h′(s) < 0 , então as retas Cs 1 e Cs 2 , com s 1 ̸= s 2 , se cruzarão para algum valor de y > 0 , ou seja, no ponto

(xc, yc) =

s 2 h(s 1 ) − s 1 h(s 2 ) h(s 2 ) − h(s 1 )

s 2 − s 1 h(s 2 ) − h(s 1 )

Portanto, temos um problema, pois sendo u constante ao longo destas retas, no ponto (xc, yc) a função deve tomar valores distintos h(s 1 ) e h(s 2 ), portanto não pode ser univalente, o que não é fisicamente aceitável. Quando duas características projetadas se cruzam, dizemos que temos um choque. De- rivando u = h(x − uy)

em relação a x, temos ux = h′(s)(1 − yux),

portanto

ux =

h′(s) 1 + h′(s)y

logo, para h′(s) < 0 , ux se torna infinito no instante positivo

y =

h′(s)

O menor y para o qual isto acontece corresponde ao valor s = so no qual h′(s) tem um mínimo. No tempo

T = −

h′(so)

ux explode, portanto, não pode haver uma solução de classe C^1 além deste tempo, isto é tipico de equações não-lineares. Em particular, se quisermos uma solução u que esteja definida para valores de tempo maiores do que T , temos que abrir mãos dela ser de classe C^1 e introduzir a noção de solução fraca.

Exemplo 7. Se no Exemplo 5 fizermos h(s) = e−s 2

. Então para s > 0 , h′(s) < 0 , portanto, h(s 1 ) > h(s 2 ) para 0 < s 1 < s 2. Logo as características correspondentes a s 1 e s 2 se cortarão. Conforme mostramos na Figura 2.5, a parte mais alta da onda ultrapassará a parte mais baixa da onda, nos conduzindo a singularidades na solução. Uma solução não pode tomar valores múltiplos. Consequentemente, a onda não poderá ser solução de classe C^1 da equação de Burger depois do tempo y quando a onda se quebra.

(a, b, c), isto fará que em cada ponto S tangencie o campo (a, b, c). Portanto C satisfaz o seguinte sistema de EDO’s autônomo

dx dt

= a(x, y, z) (2.18) dy dt

= b(x, y, z) (2.19) dz dt

= c(x, y, z), (2.20)

chamadas de equações características de (2.17). A curva C é chamada de uma curva característica do campo vetorial característico (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)).

Teorema 1. Se uma superfície S é uma união de curvas características, então S é uma superfície integral.

Prova. Para mostrarmos que S é uma superfície integral, devemos mostrar que em cada ponto Po = (xo, yo, zo) de S vale a relação (2.17). Como S é a união de curvas características, então existe uma curva característica γ passando por Po. Por definição o vetor tangente a γ em Po é (a(xo, yo, zo), b(xo, yo, zo), c(xo, yo, zo)), mas estando este no plano tangente a S no ponto Po, o vetor normal a S neste ponto, (ux(xo, yo), uy(xo, yo), −1), deve ser perpendicular a (a(xo, yo, zo), b(xo, yo, zo), c(xo, yo, zo)), ou seja,

a(xo, yo, zo)ux(xo, yo, zo) + b(xo, yo, zo)uy(xo, yo, zo) = c(xo, yo, zo)ux(xo, yo, zo),

portanto S é uma superfície integral.

A seguir mostraremos que toda curva integral S é a união de curvas características, ou seja, por cada ponto de S a curva característica que passa por ele está contida em S.

Teorema 2. Seja Po = (xo, yo, zo) um ponto da superfície integral S : z = u(x, y). Seja γ a curva característica passando por Po (a existência e unicidade da mesma segue dos teoremas de EDO’). Então γ está em S.

Prova. Seja γ = {(x(t), y(t), z(t))} e (xo, yo, zo) = (x(to), y(to), z(to). A partir de γ e S definimos

U (t) = z(t) − u(x(t), y(t)), (2.21)

como Po está em S, então U (to) = 0. De (2.21) e de (2.18), temos

dU dt

dz dt

− ux(x(t), y(t))

dx dt

− uy(x(t), y(t))

dy dt = c(x(t), y(t), z(t)) − ux(x(t), y(t))a(x(t), y(t), z(t)) − uy(x(t), y(t), z(t))b(x(t), y(t), z(t)).

Esta equação pode ser reescrita como

dU dt

= c(x, y, u(x, y) + U ) − ux(x, y)a(x, y, u(x, y) + U ) − uy(x, y)b(x, y, u(x, y) + U ),

onde na expressão acima, x e y são as funções de t, dadas pela descrição de γ. Portanto a equação diferencial para U é da forma

dU dt

= f (t, U ), U (to) = 0. (2.22)

Seja g(x, y) = c(x, y, u(x, y)) − ux(x, y)a(x, y, u(x, y)) − uy(x, y)b(x, y, u(x, y)).

Como (x(t), y(t), u(x(t), y(t))) está em S, para todo t, segue que g(x(t), y(t)) = 0, para todo t, logo f (t, 0) = g(x(t), y(t)) = 0,

para todo t, o que implica que U ≡ 0 é uma solução de (2.22), da unicidade da solução de (2.22), segue que U ≡ 0 é a solução de (2.22), portanto, z(t) = u(x(t), y(t)) para todo t, o que implica que γ está em S.

Sejam S 1 e S 2 duas superfícies integrais e suponha que Po ∈ S 1 ∩ S 2. Seja γ a curva característica que passa por Po (por cada ponto passa uma única curva característica), pelo Teorema anterior, γ tem que pertencer a S 1 e S 2. Ou seja, se duas superfícies integrais tem um ponto em comum,elas contém a curva característica que passa por este ponto.

Uma maneira de selecionarmos uma u(x, y) particular de um conjunto infinito de soluções de (2.17), consiste em preescrevermos uma curva γ no espaço xyz que deve estar contida na superfície integral S : z = u(x, y). Seja γ representada parametricamente por

x = f (s), y = g(s), z = h(s), (2.23)

estamos interessados numa solução de (2.17), tal que

h(s) = u(f (s), g(s)),

para todo s. Este problema é chamado de Problema de Cauchy para (2.17). Estaremos satisfeitos com uma solução local u do nosso problema definida para x, y próximos dos valores xo = f (so), yo = g(so). Um caso especial do problema de Cauchy é quando γ tem a seguinte forma:

x = s, y = 0, z = h(s).

Em muitas situações a variável y será identificada como o tempo, por isso o problema de Cauchy acima é chamado de problema de valor inicial. A projeção de γ no plano xy é a curva Γ = {(f (s), g(s))}.

Definição 1. (Condição de transversalidade) Dizemos que Γ é uma curva não-característica se para nenhum s ela não for tangente ao campo vetorial característico projetado (a(f (s), g(s), h(s)), b(f (s), g(s), h(s)), ou seja, se

(−g′(s), f ′(s)) · (a(f (s), g(s), h(s)), b(f (s), g(s), h(s)) ̸= 0. (2.24)

Observação 1. ( O Teorema da Função Inversa) Dada uma transformação G : U ⊂ Rn^ → Rn^ de classe C^1 , digamos que

G(x) = (G 1 (x),... , Gn(x)),

então o jacobiano de G num ponto xo ∈ U é definido como

∂(G 1 ,... , Gn) ∂(x 1 ,... , xn)

(xo) = det

G 1 ,x 1 (x 0 ) · · · Gn,x 1 (x 0 ) G 1 ,x 2 (x 0 ) · · · Gn,x 2 (x 0 ) ..

. · · ·

G 1 ,xn (x 0 ) · · · Gn,xn (x 0 )

Seja U um aberto do Rn^ contendo xo, G : U → Rn^ uma função de classe C^1 e

∂(G 1 ,... , Gn) ∂(x 1 ,... , xn)

(xo) ̸= 0.

O Teorema da Função Inversa diz que existem abertos V ⊂ U , contendo xo e W ⊂ Rn contendo zo = G(xo), tal que G : V → W é uma bijeção e sua inversa G−^1 : W → V é de classe C^1.

Exemplo 8. Resolva o seguinte problema de Cauchy

ut + xux = 0, u(x, 0) = h(x).

Resolução. Note que Γ = {(s, 0)}, a(x, y, u) = x, b(x, y, u) = 1 e c(x, y, u) = 0, logo

(a(f (s), g(s), h(s)), b(f (s), g(s), h(s)), c(f (s), g(s), h(s))·(−g′(s), f (ss)) = (r, 1)·(0, 1) = 1 ̸= 0,

logo Γ é não-característica. As equações diferenciais características são

dt dr

dx dt

= x

dz dr

com condições iniciais

t(r, 0) = 0, x(r, 0) = r, z(r, 0) = h(r).

Encontramos

t(r, s) = s + c 1 (r), x(r, s) = c 2 (r)es^ e z(r, s) = c 3 (r).

Usando as condições iniciais, concluimos que

t(r, s) = s, x(r, s) = res^ e z(r, s) = h(r).

Podemos facilmente expressar r e s em termos de t e x:

s(x, t) = t, r(x, t) = xe−t,

portanto, u(x, t) = z(r(x, t), s(x, t)) = h(xe−t).

Note que as características projetadas são as curvas

xe−t^ = ξ,

onde ξ é uma constante, ao longo das quais u = h(ξ).

Exemplo 9. Resolva o problema

ut + aux = u^2 , u(x, 0) = cos x.

Resolução. Note que o dado é prescrito na curva Γ = {(0, s)}, as equações características são dadas pelas equações

dt dτ

dx dτ

= a,

dz dτ

= z^2 ,

com condições iniciais

t(s, 0) = 0, x(s, 0) = s, z(s, 0) = cos(s).

Encontramos

t(s, τ ) = τ + c 1 (s), x(s, τ ) = aτ + c 2 (s) e −

z(s, τ )

= τ + c 3 (s).

Usando as condições iniciais, concluimos que

t(s, τ ) = τ, x(s, τ ) = aτ + s e z(s, τ ) =

cos s 1 − τ cos s

Podemos facilmente expressar s e τ em termos de t e x:

τ (x, t) = t, s(x, t) = x − at,

portanto,

u(x, t) = z(s(x, t), τ (x, t)) =

cos(x − at) 1 − t cos(x − at)

que é uma solução para (x, t) próximo de Γ. Note que a solução explode quando

1 − t cos(x − at) = 0,

em particular a primeira explosão ocorre quando t = 1, para valores de x satisfazendo x = a = 2πn, onde n ∈ Z.

Exemplo 10. Resolva a equação

ux + xuy = u, u(1, y) = h(y).

Resolução. Note que o dado é prescrito na curva Γ = {(1, s)}, as equações características são dadas pelas equações

dx dt

dy dt

= x,

dz dt

= z,

com condições iniciais x = 1, y = s, z = h(s).