Docsity
Docsity

Prepare-se para as provas
Prepare-se para as provas

Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity


Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos para baixar

Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium


Guias e Dicas
Guias e Dicas

Introdução à Lógica Computacional: Cardinalidade e Enumerabilidade, Notas de aula de Algoritmos

Este documento aborda os conceitos de cardinalidade e enumerabilidade em lógica computacional, definindo conjuntos finitos e infinitos, bem como as diferentes classes de cardinalidade de conjuntos infinitos. Além disso, é investigado o conceito de conjuntos enumeráveis e sua relação com subconjuntos, demonstrando teoremas e fornecendo exemplos.

Tipologia: Notas de aula

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Pipoqueiro
Pipoqueiro 🇧🇷

4.5

(123)

405 documentos

1 / 43

Toggle sidebar

Esta página não é visível na pré-visualização

Não perca as partes importantes!

bg1
DCC638 - Introdu¸ao `a ogica Computacional
2020/01
Estruturas asicas: Cardinalidade e Enumerabilidade
´
Area de Teoria DCC/UFMG
Estruturas asicas: Cardinalidade e Enumerabilidade 1 / 33
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25
pf26
pf27
pf28
pf29
pf2a
pf2b

Pré-visualização parcial do texto

Baixe Introdução à Lógica Computacional: Cardinalidade e Enumerabilidade e outras Notas de aula em PDF para Algoritmos, somente na Docsity!

DCC638 - Introdu¸c˜ao `a L´ogica Computacional 2020/

Estruturas B´asicas: Cardinalidade e Enumerabilidade

Area de Teoria DCC/UFMG^ ´

Cardinalidade: Introdu¸c˜ao

A cardinalidade de um conjunto finito ´e o n´umero de seus elementos.

A cardinalidade de conjuntos finitos ´e compar´avel por qual tem mais elementos.

Isto n˜ao se aplica a conjuntos infinitos

Aqui estudaremos as cardinalidades de conjuntos infinitos e como compar´a-las.

Em particular, definiremos conjuntos enumer´aveis, o objeto de estudo da Matem´atica Discreta.

Estes conjuntos est˜ao em contraste com os conjuntos n˜ao-enumer´aveis, objeto de estudo na Matem´atica Cont´ınua.

Cardinalidade: Introdu¸c˜ao

Mas e quanto a conjuntos infinitos, como N, Z e R?

Relembrando: a seguinte afirma¸c˜ao ´e verdadeira ou ´e falsa? “O conjunto Z dos inteiros ´e maior que o conjunto N dos naturais.”

H´a duas possibilidades, ambas n˜ao necessariamente intuitivas: Verdadeira: ent˜ao existe um infinito maior que o outro. Falsa: ent˜ao um conjunto pode ter a mesma cardinalidade que um de seus subconjuntos pr´oprios Nesse case Z teria a mesma cardinalidade que seu subconjunto pr´oprio N.

Investigaremos as diferentes classes de cardinalidade de conjuntos infinitos.

Cardinalidade de conjuntos

Dados conjuntos A e B quaisquer, dizemos que A tem a mesma cardinalidade de B, denotado por

|A| = |B|,

sse existe uma uma fun¸c˜ao bijetiva de A para B.

Esta defini¸c˜ao engloba conjuntos tanto finitos como infinitos.

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 1 O conjunto P dos n´umeros naturais pares ´e enumer´avel?

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 1 O conjunto P dos n´umeros naturais pares ´e enumer´avel?

Solu¸c˜ao. Considere a bije¸c˜ao f entre os naturais e o conjunto P dos pares positivos, definida como

f (n) = 2n , e que pode ser ilustrada por N : 0 1 2 3 4... l l l l l P : 0 2 4 6 8... Esta bije¸c˜ao demonstra que P ´e enumer´avel. Note que esta bije¸c˜ao ´e uma maneira de enumerar ou contar os elementos de P em uma sequˆencia: 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ,...

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 2 O conjunto Z de todos os n´umeros inteiros ´e enumer´avel?

Solu¸c˜ao. A seguinte bije¸c˜ao demonstra que os inteiros s˜ao enumer´aveis: N :... 5 3 1 0 2 4 6... l l l l l l l Z :... − 3 − 2 − 1 0 1 2 3... Logo, podemos enumerar os elementos de Z na sequˆencia:

0 , − 1 , 1 , − 2 , 2 , − 3 , 3 , − 4 , 4 ,...

Observa¸c˜ao: Note que uma forma expl´ıcita para a bije¸c˜ao f : Z → N dada acima ´e:

f (n) =

2 n, se n ≥ 0 (− 2 n) − 1 , se n < 0

J´a um algoritmo para construir a sequˆencia equivalente ´e: “Inclua 0 na sequˆencia e ent˜ao, para cada inteiro positivo n ≥ 1 , inclua n na sequˆencia, depois inclua −n.”

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 3 O conjunto Q+^ dos racionais positivos ´e enumer´avel?

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 4 O conjunto Q de todos os racionais ´e enumer´avel?

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 4 O conjunto Q de todos os racionais ´e enumer´avel?

Solu¸c˜ao. M´etodo 1: Adaptando a t´ecnica do exemplo anterior, fazemos linhas corresponderem a inteiros e colunas a naturais. A tabela abaixo mostra uma bije¸c˜ao entre Q (fra¸c˜oes) e N (n´umeros circulados). (As fra¸c˜oes n˜ao-simplificadas s˜ao redundantes e n˜ao entram na bije¸c˜ao.) N/D 1 2 3 4 5...

0 0 / 1 0 0 / 2 × 0 / 3 × 0 / 4 × 0 / 5 ×...

-1 −^1 / 1 3 −^1 / 2 5 −^1 / 3 8 −^1 / 4? −^1 / 5?...

2 2 / 1 6 2 / 2 × 2 / 3? 2 / 4 × 2 / 5?...

-2 −^2 / 1 9 −^2 / 2 × −^2 / 3? −^2 / 4 × −^2 / 5?...

..................... Logo Q ´e enumer´avel.

Propriedades dos conjuntos enumer´aveis

Teorema 1: A uni˜ao de dois conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel.

Propriedades dos conjuntos enumer´aveis

Teorema 1: A uni˜ao de dois conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel.

Demonstra¸c˜ao. Sejam A e B dois conjuntos enumer´aveis. Ent˜ao existem: uma enumera¸c˜ao a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ,... para A, e uma enumera¸c˜ao b 0 , b 1 , b 2 , b 3 ,... para B. Podemos construir uma enumera¸c˜ao para A ∪ B tomando

a 0 , b 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , a 3 , b 3... ,

com o cuidado de n˜ao listar elementos repetidos, i.e., em A ∩ B.

Propriedades dos conjuntos enumer´aveis

Teorema 2: Qualquer subconjunto de um conjunto enumer´avel ´e enumer´avel.

Demonstra¸c˜ao. Dado um conjunto enumer´avel B, tome A ⊆ B. Por hip´otese, existe uma enumera¸c˜ao b 0 , b 1 , b 2 ,... para B. Eliminando os termos bi ∈/ A desta enumera¸c˜ao, obt´em-se uma enumera¸c˜ao para A.

Corol´ario: Se um conjunto B tem um subconjunto A ⊆ B tal que A ´e n˜ao-enumer´avel, ent˜ao B ´e n˜ao-enumer´avel.

Demonstra¸c˜ao. Este resultado ´e apenas o contrapositivo do teorema que diz que qualquer subconjunto de um conjunto enumer´avel ´e enumer´avel.

O conjunto R n˜ao ´e enumer´avel

Teorema: O conjunto de todos os n´umeros reais no intervalo [0, 1) n˜ao ´e enumer´avel.