Introdução à Lógica Computacional: Cardinalidade e Enumerabilidade, Notas de aula de Algoritmos

Baixe Introdução à Lógica Computacional: Cardinalidade e Enumerabilidade e outras Notas de aula em PDF para Algoritmos, somente na Docsity!

DCC638 - Introdu¸c˜ao `a L´ogica Computacional 2020/

Estruturas B´asicas: Cardinalidade e Enumerabilidade

Area de Teoria DCC/UFMG^ ´

Cardinalidade: Introdu¸c˜ao

A cardinalidade de um conjunto finito ´e o n´umero de seus elementos.

A cardinalidade de conjuntos finitos ´e compar´avel por qual tem mais elementos.

Isto n˜ao se aplica a conjuntos infinitos

Aqui estudaremos as cardinalidades de conjuntos infinitos e como compar´a-las.

Em particular, definiremos conjuntos enumer´aveis, o objeto de estudo da Matem´atica Discreta.

Estes conjuntos est˜ao em contraste com os conjuntos n˜ao-enumer´aveis, objeto de estudo na Matem´atica Cont´ınua.

Cardinalidade: Introdu¸c˜ao

Mas e quanto a conjuntos infinitos, como N, Z e R?

Relembrando: a seguinte afirma¸c˜ao ´e verdadeira ou ´e falsa? “O conjunto Z dos inteiros ´e maior que o conjunto N dos naturais.”

H´a duas possibilidades, ambas n˜ao necessariamente intuitivas: Verdadeira: ent˜ao existe um infinito maior que o outro. Falsa: ent˜ao um conjunto pode ter a mesma cardinalidade que um de seus subconjuntos pr´oprios Nesse case Z teria a mesma cardinalidade que seu subconjunto pr´oprio N.

Investigaremos as diferentes classes de cardinalidade de conjuntos infinitos.

Cardinalidade de conjuntos

Dados conjuntos A e B quaisquer, dizemos que A tem a mesma cardinalidade de B, denotado por

|A| = |B|,

sse existe uma uma fun¸c˜ao bijetiva de A para B.

Esta defini¸c˜ao engloba conjuntos tanto finitos como infinitos.

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 1 O conjunto P dos n´umeros naturais pares ´e enumer´avel?

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 1 O conjunto P dos n´umeros naturais pares ´e enumer´avel?

Solu¸c˜ao. Considere a bije¸c˜ao f entre os naturais e o conjunto P dos pares positivos, definida como

f (n) = 2n , e que pode ser ilustrada por N : 0 1 2 3 4... l l l l l P : 0 2 4 6 8... Esta bije¸c˜ao demonstra que P ´e enumer´avel. Note que esta bije¸c˜ao ´e uma maneira de enumerar ou contar os elementos de P em uma sequˆencia: 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ,...

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 2 O conjunto Z de todos os n´umeros inteiros ´e enumer´avel?

Solu¸c˜ao. A seguinte bije¸c˜ao demonstra que os inteiros s˜ao enumer´aveis: N :... 5 3 1 0 2 4 6... l l l l l l l Z :... − 3 − 2 − 1 0 1 2 3... Logo, podemos enumerar os elementos de Z na sequˆencia:

0 , − 1 , 1 , − 2 , 2 , − 3 , 3 , − 4 , 4 ,...

Observa¸c˜ao: Note que uma forma expl´ıcita para a bije¸c˜ao f : Z → N dada acima ´e:

f (n) =

2 n, se n ≥ 0 (− 2 n) − 1 , se n < 0

J´a um algoritmo para construir a sequˆencia equivalente ´e: “Inclua 0 na sequˆencia e ent˜ao, para cada inteiro positivo n ≥ 1 , inclua n na sequˆencia, depois inclua −n.”

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 3 O conjunto Q+^ dos racionais positivos ´e enumer´avel?

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 4 O conjunto Q de todos os racionais ´e enumer´avel?

Conjuntos enumer´aveis

Exemplo 4 O conjunto Q de todos os racionais ´e enumer´avel?

Solu¸c˜ao. M´etodo 1: Adaptando a t´ecnica do exemplo anterior, fazemos linhas corresponderem a inteiros e colunas a naturais. A tabela abaixo mostra uma bije¸c˜ao entre Q (fra¸c˜oes) e N (n´umeros circulados). (As fra¸c˜oes n˜ao-simplificadas s˜ao redundantes e n˜ao entram na bije¸c˜ao.) N/D 1 2 3 4 5...

0 0 / 1 0 0 / 2 × 0 / 3 × 0 / 4 × 0 / 5 ×...

-1 −^1 / 1 3 −^1 / 2 5 −^1 / 3 8 −^1 / 4? −^1 / 5?...

2 2 / 1 6 2 / 2 × 2 / 3? 2 / 4 × 2 / 5?...

-2 −^2 / 1 9 −^2 / 2 × −^2 / 3? −^2 / 4 × −^2 / 5?...

..................... Logo Q ´e enumer´avel.

Propriedades dos conjuntos enumer´aveis

Teorema 1: A uni˜ao de dois conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel.

Propriedades dos conjuntos enumer´aveis

Teorema 1: A uni˜ao de dois conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel.

Demonstra¸c˜ao. Sejam A e B dois conjuntos enumer´aveis. Ent˜ao existem: uma enumera¸c˜ao a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ,... para A, e uma enumera¸c˜ao b 0 , b 1 , b 2 , b 3 ,... para B. Podemos construir uma enumera¸c˜ao para A ∪ B tomando

a 0 , b 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , a 3 , b 3... ,

com o cuidado de n˜ao listar elementos repetidos, i.e., em A ∩ B.

Propriedades dos conjuntos enumer´aveis

Teorema 2: Qualquer subconjunto de um conjunto enumer´avel ´e enumer´avel.

Demonstra¸c˜ao. Dado um conjunto enumer´avel B, tome A ⊆ B. Por hip´otese, existe uma enumera¸c˜ao b 0 , b 1 , b 2 ,... para B. Eliminando os termos bi ∈/ A desta enumera¸c˜ao, obt´em-se uma enumera¸c˜ao para A.

Corol´ario: Se um conjunto B tem um subconjunto A ⊆ B tal que A ´e n˜ao-enumer´avel, ent˜ao B ´e n˜ao-enumer´avel.

Demonstra¸c˜ao. Este resultado ´e apenas o contrapositivo do teorema que diz que qualquer subconjunto de um conjunto enumer´avel ´e enumer´avel.

O conjunto R n˜ao ´e enumer´avel

Teorema: O conjunto de todos os n´umeros reais no intervalo [0, 1) n˜ao ´e enumer´avel.