Introdução à Álgebra: Exercícios e Conceitos Fundamentais, Resumos de Direito

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PROJETO

EUCLIDES

introdução

à álgebra

adilson gonçalves

ÍNDICE

PREFÁCIO

Após experiências lecionando na Universidade de Brasilia, e na

Universidade Federal do Rio de Janeiro, pensei escrever um livro que viesse a ser um texto de Álgebra em nível de bacharelado (ou licen- ciatura) em Matemática. Esse planejado texto deveria apresentar, entre outras coisas, um material elementar de dificuldade crescente, suficientemente interes- sante tanto para aqueles que fossem prosseguir nos estudos pós-gra- duados, como para aqueles que fossem se dedicar ao ensino. Sem dúvida, as noções de conjunto, função, relação de equivalência, como também anéis, corpos, polinômios e grupos devem estar pre- sentes em qualquer texto com esses objetivos. Escolhemos o Teorema Fundamental de Galois (característica zero) como principal objetivo a ser atingido pois, além de apresentar uma belíssima solução ao his- tórico problema sobre determinação de fórmulas para expressar raizes de um polinômio por meio de radicais, exige e aplica todas as noções elementares anteriormente apresentadas. Abordaremos também os clássicos problemas da duplicação do cubo, da quadratura do circulo e da trisseção do ângulo, além de enunciarmos, sem demonstração, o famoso teorema de Gauss que ca- racteriza os números naturais n > 3 cujos polígonos regulares de

n-lados no plano podem ser construidos por meio de régua e com-

passo. As noções de conjunto, função e relação de equivalência foram intencionalmente apresentadas de modo sucinto no 1.º capítulo. Inclui-

mos um grande número de exercicios complementares esperando que

o aluno, com alguma orientação, entenda equilibradamente a impor- tância dessas noções preliminares. Considerando que a formalização envolvida na criação dos con- juntos N, Z, Q, Re € cabe perfeitamente fora da sequência de Álgebra (por exemplo, Matemática do Ensino Médio ou Evolução da Ma- temática, ou outro curso equivalente), penso que, como os analistas, os algebristas também deveriam usar e abusar da existência desses conjuntos numéricos, sem perder muito de seu tempo com essas for- malizações. O teorema fundamental da álgebra é também admitido sem demonstração. Dentro desse espírito, toda a teoria de Galois (chamada teoria

de Galois elementar) foi desenvolvida para extensões L> K, onde

C>L>K>0Q.O pouco de Álgebra Linear necessário na parte de extensões de corpos foi explicitado, embora nem tudo provado. Nos Capítulos 2 e 4 é feito um estudo comparativo entre os anéis

Z dos inteiros e K[x] dos polinômios em uma variável com coeficien-

tes em um corpo K. À teoria elementar de Anéis foi inserida no Ca- pitulo 3 para evitar a repetição de tão evidentes analogias. No Capítulo 5 incluímos importantes resultados a serem usados no capítulo final do texto, além de apresentarmos os anteriormente citados problemas clássicos e incluirmos um parágrafo sobre constru- ção por meio de régua e compasso. O Capítulo 6, sobre grupos, é o mais extenso embora isto não signifique que o lá apresentado deixe de ser elementar.

No último capítulo demonstramos os principais teoremas da Teoria de Galois sobre Q e discutimos o problema da solubilidade de equações polinomiais por meio de expressões radicais. Agradeço a contribuição anônima dos meus alunos dos cursos de Álgebra e em especial agradeço ao corpo editorial do Projeto Eucli- des por esta oportunidade de realização.

Adilson Gonçalves

Magna, 1545, que também divulgou o método de Ferrari de redução

de uma equação do 4.º grau para uma de 3.º grau. Vamos em seguida, apresentar um argumento (devido a Viete) para a solução de uma equação do 3.º grau. Seja F > Q um corpo contendo o corpo dos números racionais e

seja f(x) = ax? + bx? + cx + d um polinômio de grau 3 com coe-

ficientes em F. Substituindo x por y + h segue que o coeficiente de

y* no polinômio f(y + h) é 3ah + b.

Escolhendo h = 3a

remos: y) + py+q=0,p, qeF.

Podemos admitir que esse polinômio é irredutível sobre F, pois de outro modo ele teria uma raiz em F e as demais seriam raizes de um polinômio do 2.º grau com coeficientes em F.

e dividindo a equação f(x) = O por a te-

o n k - Usando agora a substituição de Viete: y=z + — a equação Z

y + py+q=0 torna-se:

k? Ê k

2 43k+3— + os +pz+tp—+q= o == 1 Escolhendo k = — eliminamos os termos em z e em —. As- Z

sim, a substituição y = z— 4 transforma a equação y* + py+q= Z 3 272º ca em zº. Portanto,

3 = Datvo Ds ondeD =

na equação 2º — +q =0 que vem a ser uma equação quadráti-

z 2 2 — (4pº + 279")

“q+V/2D “q-J/-D Agora se z) = q+ > la7 ez = q , /a7 teremos

(z122)) = — 57 pº^ * daí segue que z,7, = — p 3 À onde À é uma raiz

cúbica da unidade. 21 21 o. Vo Se w = cos 3 + i sen a € C e substituindo, se necessário, z,

por wz, ou w?z, podemos supor que z,-z, = — p/; e as raízes cúbi- cas da equação y* + py+ q=0, serão:

J=0+H2, )=wza+wiz, e y; = w?ez, + wz,.

3 3 3

• |[DI, [PM Joao [Po 4 nova vota 5 V27 174

que vem a ser uma expressão obtida dos coeficientes através de repe- tidas adições, subtrações, multiplicações, divisões e extrações de raizes. Tais expressões são conhecidas como expressões radicais. A equação geral do 4.º grau pode ser reduzida de modo análogo

ao anterior para uma equação do tipo

Assim,

(x) v+pl+a+r=

Seguindo um argumento de Descartes escolhemos uy, v e w tais 2 que (+) se reduz à équação | y? + 2) — (vy + w)? = 0 e daí seguem

as relações: u (++) p=u-v,q=—2wer=———^ wi.

As duas primeiras dessas relações nos dão: u=p+v e w=—q/ o. u^2 e substituindo-as em r = 4 — w? obtemos:

vº + 2pvt + (p?—-4r)v? — q? =0, a qual vem a ser uma equa-

ção cúbica em v?.

Assim, a equação do 4.º grau se reduz a uma equação cúbica e novamente temos que as raizes de uma equação do 4.º grau são dadas por uma expressão radical. Ora, já que as raizes das equações de grau < 4 são expressões radicais, naturalmente a pergunta que segue é inevitável: Serã que as equações de grau 5 também são resolúveis por meio de expressões radicais? Muitos matemáticos importantes atacaram o problema. Euler não conseguiu resolver o problema porém encontrou novos métodos para a resolução da equação do 4.º grau. Em 1770 Lagrange conse- guiu uma etapa que iria contribuir bastante na solução do problema das equações de grau 5. Ele conseguiu unificar os argumentos nos casos das equações de grau 3 e 4 e mostrou por que o tal argumento falhava no caso do grau 5. À partir dai um sentimento de que a res- posta para o grau 5 seria negativa tomou corpo entre os pesquisadores

CAPÍTULO I

NOÇÕES PRELIMINARES

Incluiremos sob o título acima a terminologia de conjuntos e as noções de função e relação de equivalência. Deixaremos como exercícios muitas propriedades elementares envolvendo essas noções básicas.

81 Conjuntos

Entenderemos por conjunto uma qualquer coleção de objetos os quais chamaremos de elementos do conjunto. O conjunto vazio (isto é, o conjunto sem elementos) será denotado por 4). Usaremos letras maiusculas para simbolizar conjuntos e minusculas para simbolizar elementos (as exceções ficarão claras no contexto do livro). Se x é um elemento do conjunto 4 escreveremos x € 4 e leremos “x pertence a A”. Caso contrário escreveremos x É 4 e leremos “x não pertence a 4”. Como primeiros exemplos de conjuntos podemos citar os con- juntos numéricos mais conhecidos, para os quais usaremos a seguinte nomenclatura:

N = [0,1,2,...,m,...; (números naturais)

Z=[...—k,...,—1,0,1,...,m,...! (n.º inteiros) m, neZ , O = <mpn: (números racionais) nao R = (números reais, isto é números racionais e números irracionais) C + bi abeR =+ta j: i=/- Sabemos, por exemplo, que /2ER mas /2€0. Quando todo elemento de um conjunto 4 pertence a um con- junto B dizemos que À está contido em B ou A é subconjunto de B e denotamos por 4 c B. Consideraremos o conjunto 4 contido em qualquer conjunto (raciocine por absurdo).

Dois conjuntos 4 e B são iguais se possuem os mesmos elemen-

tos. Assim temos claramente que 4 = Bse e somentese ACBeBcC A.

2 | Introdução à álgebra

Se o conjunto 4 não estã contido no conjunto B usaremos a notação 4 & B. Em relação aos conjuntos numéricos acima temos NcZcQcRCC. O conjunto dos elementos que pertencem simultâneamente a um conjunto 4 e a um conjunto B será denotado por

AnB=([x:xeAe xeB) e chamado de interseção de 4 e B.

O conjunto dos elementos que pertencem a um conjunto 4 ou a um conjunto B será denotado por

AÚUB=(x:xe4 ou xEB) e chamado de união de A e B.

Claramente temos, quaisquer que sejam os conjuntos 4 e B, as seguintes propriedades:

AND=D, AUVUD=A An BCcCA, ACAUB. Se 4 c B também dizemos que B contém 4 e denotamos por B> 4.

EXERCÍCIOS

1. Prove que quaisquer que sejam os conjuntos 4,B e C, tem-se: a) ACA b)Se4cBeBcCentão4cC c) Se 4cBeBcA então 4 =B.
2. Prove que quaisquer que sejam os conjuntos 4,B e C, tem-se: a) ANn(BUC) =(AN BJu(AN CO) b) AU(BnN O =(A4UÚVB)N (AVC) c) AUB=BUA; ANB=BnA d) AV(BUOC) =(AVBUC; AN (BN C)=(An BnC e) AC B se e somente se AUB=B se e somente se AN B=A

3. Sejam 4,B c 9. Definimos:

Co4 =|(xeN:xéA4); A-—-B=(acA:aéB)

Prove que: a) CAAUB) = CAN CB; CAN B)=CAUVUCB b) AnCA =D; AVUCA =Q

c) 4 — B= An CB

d) CACGA)= A

4 Introdução à álgebra

onde para cada a€ 4 estã associado um único b = f(a)e B, através

da regra que define f. Chamamos 4 de domínio da função fe B de con- tra-domínio da função f. Se XcA4Aef:A- B denotamos por f(X) ao conjunto f(X) =

= (f(x):xe X! - B o qual chamamos de imagem de X pela f. De-

tamos por Im f ao conjunto f(4) o qual chamamos de Conjunto Ima-

gem da f. Dizemos que a função f é sobrejetiva se Im f = B.

Observem que duas funções coincidem se e somente se possuem

os mesmos dominios, os mesmos contradominios e as mesmas regras. Por exemplo, as seguintes funções abaixo definidas são distintas apesar de possuirem o mesmo domínio e a mesma regra. Apenas a segunda delas e sobrejetiva.

f:RSR g:R> R*

x vox? = f(x) x no x? = g(x)

onde R* = (xeR:x >0).

Sef:A>Be Xc<A denotaremosporf|l,:X->B a função

cujo domínio é o conjunto X, cujo contra-domínio é o conjunto B e cuja regra é a mesma de /f, isto é, flx) = f(x) qualquer que seja

xe X. Chamaremos f|, de restrição de f à X.

Dizemos que uma função f: A — B é injetiva se quaisquer que se-

jam x, ye 4, se x * y então f(x) £ f(y) (ou equivalentemente, quais-

quer que sejam x, ye 4, se f(x) = f(y) então x = )y). Se f: A > B é uma função simultaneamente injetiva e sobrejetiva dizemos que f é uma função bijetiva. Observe que das funções abaixo f:RS R* g:RSR eh:R>R

x vox? = f(x) x vox] = g(x) x vox) = h(x)

apenas as duas últimas são bijetivas (desenhe o gráfico). Se f: 4 > B é uma função e y E B, denotamos por f”!(x) ao con- junto

fm) =ixeA:fo)=)y)

o qual chamamos de imagem inversa de yeB pela f. Observe que se ye B então f"!(y)c 4 e mais se yé Imf então

Noções preliminares 5

Se Yc Bdenotamos porf” !(Yao conjuntof !(Y) = (xe A:f(x)e Y)

e chamamos tal conjunto de imagem inversa de Yc B pela f. Observe que em nossa terminologia temos,

se yeB, então f (y)=fH(y)).

Por exemplo, se f:R > R temos XxX v> sen x

f4D= | = 5 + 2kn :ke

2| e o conjunto fr! (io

é igual a:

pe=tnitez)u fe Et UasteZfo je Tt Da iheZ]

Se f:A>Beg:B->C são duas funções denotamos por gof:A>C a função definida por (gº f)(x) = g(f(x)) qualquer que seja xe 4, a qual chamamos de função composta de g e f. A função 1, : 4 > A definida pela regra Iu(x) = x qualquer que seja xe 4 é chamada de função identidade de A. Observe que se f: 4 — B é uma função bijetiva então existe uma função g: B > A definida por: se ye B, g(y) = x onde x é o único ele- mento de A tal que f(x) = y (o elemento x existe pois f é sobrejetiva e ele é único pois f é injetiva).

É de fácil verificação as propriedades:

gef=I, e fog=ts

A função g com as propriedades acima é dita ser a função inversa

(claro que ela é unica) da função f, e será denotada (não confundir com

imagem inversa) por g=f 1:B>54.

Por exemplo, se f:R > Rº onde Rº = (xeR:x>0) x no et então temos que f é bijetiva e mais f !:Rº > R x vo log x

Se f:R>R com a * O temos que f (uma reta) é

x »oax+b o , l b

bijetiva e mais f !:R>R é tal que foi(x) = —x — —,

a a

Noções preliminares 7

b) Se f sobrejetiva então m > n.

c) Se f bijetiva então m = n.

9. Seja f:lx,,X2,-.-,X,) > [X4,X>,-..,X,) uma função.

Prove que: a) Se f injetiva então f sobrejetiva b) Se f sobrejetiva então f injetiva. Seja f:R> R definida por: fo)=x]-3x+ 2. Calcule: fH0), STO, 00),f “!(— 00,0]) e fr H([1,2])

Seja f:R > R definida por:

fo)=x?-—1.

Dê exemplo de conjunto não vazio Bc R tal que: a) f'(B) = (D.

b) f”!(B) contém apenas um elemento.

12. Seja f:X — Y uma função e M,NcTY Prove que:

foHM — N)=f"HM) — foH(N).

13. Para cada uma das 8 leis abaixo especificadas explicite subcon- juntos não vazios X,Y c R de modo que: a) y = f(x) defina uma função f:X > 7Y b) y = f(x) defina uma função f:X — Y sobrejetiva. c) y = f(x) defina uma função f:X > Y injetiva. d) y = f(x) defina uma função f:X > Y bijetiva. onde as 8 leis são as seguintes: y=x*;y) =x; y)=4-— x;

y=e; y=senx; y=sene; y=log e finalmente,

x— Voy 9

83 Relação de equivalência

Suponhamos que em um conjunto 4 esteja definida uma rela- ção entre pares de elementos de 4. Se x,x'€e 4 escreveremos x R x

8 Introdução à álgebra

se x estiver relacionado com x, e x%x' se x não estiver relacionado com x. Por exemplo, se 4 é o conjunto de retas do plano, ortogonalidade define uma relação % entre pares de elementos do conjunto 4. Ana- logamente, paralelismo define uma relação no mesmo conjunto 4. Vamos agora definir o que vem a ser uma relação de equiva- lência em um conjunto 4. Seja 4 um conjunto e seja % uma relação entre pares de elementos de 4. Dizemos que % é uma relação de equivalência em A se as se- guintes propriedades são verificadas quaisquer que sejam x,x e x'€ 4. | xBRx

2. Se x Rx então x Rx
3. SexAx ex Rx” então x Rx”. As propriedades acima são chamadas, respectivamente, reflexiva, simétrica e transitiva. Observe que 1 não é reflexiva nem transitiva. Se consideramos duas retas coincidentes como paralelas então paralelismo define uma relação de equivalência no conjunto de retas do plano. Quando uma relação à em um conjunto 4 for de equivalência vamos em geral usar a notação — em vez de 4X.

EXEMPLO 1. Seja f: 4 > B uma função e vamos definir uma rela- ção de equivalência no domínio 4 da f, do seguinte modo: xx €eM, x- x se f(x) = f(x) A relação acima definida é claramente uma relação de equiva- lência no domínio 4 da função f. Veremos mais adiante na Propo- sição 2 que qualquer relação de equivalência em um dado conjunto A € proveniente de uma certa função como no Exemplo 1. Seja — uma relação de equivalência em um conjunto A e seja xe 4. Vamos definir agora o que chamamos por classe de equiva- lência x do elemento x em relação a —,a qual denotaremos por x=(ac4:a- x). Antes de enunciarmos a proposição 1 vamos explicitar o signi-

ficado de alguns dos símbolos matemáticos mais utilizados.

3 — símbolo significando: “Existe” Y — símbolo significando: “Para todo(s), “qualquer que seja” ou “quaisquer que sejam”

10 | Introdução à álgebra

Vamos definir uma relação de equivalência em Z do seguinte modo: xx eZ, x- x<>x — x é um multiplo inteiro de n. Claramente — define uma relação de equivalência em Z. Essa relação de equivalência recebe o nome de congruéência módulo n e é geralmente indicada por = (mod n). Assim, x,x'eZ, x= x (mod n)<>x — x é um múltiplo inteiro de n. Vamos agora calcular a classe x, relativamente a = (mod n).

SexeZ, x=(aeZ:a=x (mod n)j eaex<>a =x (mod n)<

<>a-x=k-nkeZ<eoa=x+4 ken, keZ.

Daí segue que: x= (x + kn:keZ).

Observe que se n = O temos que X = (x) e que = (mod 0) nada

mais é do que a relação de igualdade em Z, e nesse caso existe um número infinito de classes x = (x; em Z. Provaremos mais tarde que se n>0 a relação = (mod n) nos fornece exatamente n classes dis-

tintas quais sejam 0, 1,...,n— 1.

Assim, por exemplo, = (mod 3) nos fornece exatamente as clas- ses O, 1, 2 que são as classes dos números que deixam respectivamente restos zero, 1 e 2 na divisão por 3. Agora vamos definir a noção de conjunto quociente.

Seja — uma relação de equivalência em um conjunto 4. Cha-

mamos de conjunto quociente de A pela relação de equivalência —, e denotamos por A/., ao conjunto de todas as classes de equivalência relativamente a relação —. Assim,

Al. =X :xe AJ.

Na relação = (mod n),n >0, em Z temos Z = moan = 10, 1,2,..,n— 1)

que também será representado por Z, = (0,1,2,...,n — 1).

Vamos enunciar agora o resultado que nos diz que toda relação de equivalência em um conjunto 4 é proveniente (como no Exemplo 1) de uma função.

PROPOSIÇÃO 2. Seja — uma relação de equivalência em um conjun-

to Aeseja Aj. = 4X:xE AJ o conjunto quociente

de A por =. Seja n:A > A/. definida por n(x) = X,V xe 4 (7 é cha- mada de projeção canônica). Então a relação — é proveniente da função n como no Exemplo 1.

Noções preliminares 11

Demonstração. De fato, basta observar pelo item 1 da Proposição 1 que se x,ye4 temos, x- y<>X=y<rn(x) = 7n()) como queriamos demonstrar. E

84 Produto cartesiano e operação

binária em um conjunto

Vamos iniciar esse parágrafo introduzindo a noção de produto cartesiano de dois conjuntos. Sejam 4, e 4, dois conjuntos não vazios. Definimos produto cartesiano dos conjuntos 4, e 4, como segue:

A, x 4, =+(a,,45): asA, onde, i=1, (a,, 43) =(bob)<a,; =— b,, | = 1,2.

Se 4, = 4, = 4 denotamos por 4? o produto 4, x 4,.

Usando a noção acima podemos reinterpretar a noção de relação de equivalência em um conjunto 4. Seja 4 um conjunto não vazio e seja % um subconjunto do pro-

duto cartesiano 4?. W diz-se uma relação (binária) em A.

Usando a definição: se a, be 4, “a estã relacionado com b” <> (a, be %, podemos interpretar à como uma relação entre pares de elementos de A. Assim, para que a relação acima definida seja uma relação de equivalência é necessário e suficiente que: Va,b,ce 4

1. (a,a)e R (reflexividade)
2. (a, be R > (b,a)e R (simetria)
3. (a, be RAR, (bo)jeR => (a, c)JeR (transitividade)

Por exemplo, à = ((a,a):ae A! define a relação de igualdade no

conjunto 4, que é evidentemente uma relação de equivalência em 4. Se 4 =R então a interpretação geométrica das propriedades 1.

e 2. nos diz que: o subconjunto % do pleano R? contém a reta y = x

e é simétrico em relação a essa mesma reta, diagonal dos 1.º e 3.º qua- drantes do plano. Vamos agora definir a noção de operação (binária) em um con- junto não vazio 4. Chamamos de operação (binária) em A uma função

O:A x A> A (a, b) »> O(a, b) = al0b.