Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Desvio Médio para dados agrupados: SEM intervalo de classes: Quando temos dados agrupados, a frequência simples representa o número de vezes que esse valor.
Tipologia: Notas de estudo
1 / 22
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Alessandro da Silva Saadi
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central , que recebem
esse nome pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores
centrais. As medidas que vamos estudar são:
a) desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;
b) houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.
a) desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
b) há valores extremos que afetam de uma maneira acentuda a média;
c) a variável em estudo é salário.
a) desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;
b) a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
Medidas de Posição para Dados Não- Agrupados
Média ̄
x
É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelos número deles. Para conhecermos
a média dos dados não- agrupados, determinamos a média aritmética simples.
x =
x
i
n
Exemplo 1.1) Seja a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana: 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12
litros. Calcule a produção média da semana.
Mediana (Me)
É o valor que divide um conjunto ordenado de n elementos em duas partes iguais.
1) Quando n é ímpar: a mediana será o termo de ordem
(
n+ 1
2
)
.
Exemplo 1.2) Os dados a seguir se referem ao tempo de espera de quinze paciente a serem atendidos
em um consultório médico, em minutos: 15,12, 22, 20, 14, 30, 21,12, 10, 18, 13, 23, 18, 12, 25. Encontre
o tempo mediano de espera.
2) Quando n é par: a mediana será a média aritmética dos termos de ordem
(
n
2
)
e
(
n
2
)
.
Exemplo 1.3) Os dados a seguir se referem ao tempo de espera de oito pessoas em uma fila do
Supermercado Alfa, em minutos: 2, 21, 18, 13, 6, 7, 10, 12. Encontre o tempo mediano de espera.
2º) COM Intervalo de Classes
Vamos estudar em um exemplo a média, a mediana e a moda quando temos dados agrupados.
Exemplo 1.6) Considere a tabela das estaturas de 40 pessoas.
Estaturas F x i
= Pm x i
.F Fa
150|--154 4
154|--158 9
158|--162 11
162|--166 8
166|--170 5
170|--174 3
Total 40
Encontre a média, a mediana e a moda.
a) A média é dada pela fórmula:
x
i
. F
F
e x i
é o ponto médio, logo, a média é:
b) No caso da mediana, vamos encontrar a classe mediana, e a seguir, calcular a mediana através da
fórmula:
Me = L
i
∑
F
2
− Fa ant
Me
× h
F
Me
onde:
Li é o limite inferior da classe mediana
Fa(ant) Me
é a frequência acumulada anterior à da classe
mediana
F Me
é frequência da classe mediana
h é a amplitude do intervalo
Logo a mediana é:
c) E por último, temos a moda que é encontrada através da fórmula
Mo =
Li Ls
2
onde Li e Ls são os
limites inferior e superior da classe modal. Logo a moda é:
Exercícios
1) Considerando os seguintes conjuntos de dados referentes a números de pacientes atendidos em
consultórios médicos por dia, encontre a média, a mediana e a moda:
a) Consultório A
3 5 2 6 5 9 5 2 8 6
b) Consultório B
20 9 7 2 12 7 20 15 7
c) Consultório C
15 18 20 13 10 16 14
51,6 48,7 50,3 49,5 48,9 35,5 41,
determine:
a) a média dos salários-hora
b) o salário-hora mediano
Determine:
a) a nota média
b) a nota mediana
c) a nota modal.
uma residência durante 12 meses.
50 267 279 262 226 298
294 272 297 257 244 50
a) Qual foi o consumo médio do período?
b) Qual foi o consumo mediano?
c) Qual dessas duas medidas você acha que representa melhor o consumo de energia nessa casa?
NOTAS Nº DE
ALUNOS
2 1
3 3
4 6
5 10
6 13
7 8
8 5
9 3
10 1
Total 50
Calcule:
a) a nota média.
b) a nota mediana.
c) a nota modal.
Introdução
Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não são
suficientes para caracterizar totalmente uma sequência de dados.
Veja os seguintes dados:
A) 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10
B) 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13
C) 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13
Qual é a média desses dados?
Concluímos que a média das sequências é …...........
Podemos notar que as sequências são completamente distintas do ponto de vista da variabilidade
dos dados.
O que podemos constatar sobre a dispersão dos dados em relação à média?
Medidas de Dispersão Absoluta
As principais medidas de dispersão absolutas são: amplitude total, desvio médio, variância e
desvio padrão.
Amplitude Total
Para uma rápida medida de variabilidade, podemos calcular a amplitude total que é a diferença
entre o maior e o menor valor de uma distribuição.
AT = V max
A amplitude total considera apenas os valores extremos de um conjunto de dados. Tais valores
podem ser ser atípicos.
Exemplo 2.1)
a) Calcule a amplitude total das notas dos alunos da turma B da Escola Beta:
4 4,5 5 5 5 5 5,5 6
b) Em um orfanato tem crianças de várias idade conforme tabela de distribuição de frequência. Determine
a amplitude total da série.
Idade Nº de crianças
2 1
3 6
5 10
7 3
Total 20
c) A seguinte distribuição mostra as notas de 44 alunos da Escola Alfa. Determine a amplitude total da
série.
Notas Frequência
0|--2 5
2|--4 10
4|--6 20
6|--8 7
8|--10 2
Total 44
Observação: A amplitude total é muito fácil de se obter, mas esse tipo de medida tem um
inconveniente pois depende apenas de dois valores da série estatística. Muitas vezes é possível modificar
completamente a dispersão ou a concentração dos elementos em torno da média, sem alterar a amplitude
total.
Desvio Médio
A dispersão dos dados em relação à média de uma série estatística pode ser avaliada através dos
desvios de cada elemento da série em relação a média.
Para levar em conta todos os valores da distribuição, além dos extremos, subtrai-se a média
aritmética de cada elemento do conjunto de dados e somam-se as diferenças, calculando, dessa forma, o
desvio de cada elemento em relação à média.
Como essa soma é sempre igual a zero, pois alguns valores são negativos e outros positivos,
considera-se apenas o módulo das diferenças. Portanto, o desvio médio é definido como a média
aritmética dos desvios em módulo.
Desvio Médio para dados brutos ou rol
DM =
i = 1
N
∣ x
i
− x ∣
N
Exemplo 2.2) Determine o desvio médio para as notas dos 8 alunos da turma A da Escola Gama:
0 2 4 5 5 6 8 10
Interpretação: ______________________________________________________________________
Desvio Médio para dados agrupados:
SEM intervalo de classes:
Quando temos dados agrupados, a frequência simples representa o número de vezes que esse valor
figura na série. Logo, haverá repetições de desvios iguais de cada elemento distinto da série para a média
da série.
por x
i
− x
2
obtemos essa nova medida de dispersão ou variabilidade chamada de variância, que é
definida como a média aritmética dos quadrados dos desvios.
O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância e significa, em média, quanto cada
elemento de uma série está afastado da média da série.
A variância é representada pela letra grega σ
2
(sigma) ao quadrado e o desvio padrão por σ.
Cálculo da Variância e Desvio Padrão para dados brutos ou rol
σ
2
=
∑
x
i
−
x
2
n
e σ =
∑
x
i
−x
2
n
Exemplo 2.5) Calcule a variância e o desvio padrão das seguintes notas de 8 alunos que terminaram a
disciplina de Estatística e interprete o resultado:
5 8 5,5 7 7,5 6,5 9,5 10
Cálculo da Variância e Desvio Padrão para dados agrupados
σ
2
=
∑
x
i
−
x
2
. f
i
∑
f
i
e σ =
∑
x
i
−
x
2
. f
i
∑
f
i
Exemplo 2.6) (SEM intervalo de classe)
Calcule a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição relativa ao tempo de espera na fila de um
banco e interprete o resultado:
Tempo de
espera
Frequência
f i
2 3
3 5
4 8
5 4
Total 20
Exemplo 2.7) (COM intervalo de classe)
A seguinte distribuição é uma tabela de salários recebidos em uma empresa de informática com sua
devidas faixas salariais. Calcule a variância e o desvio padrão interpretando o resultado.
Faixa
Salarial
Frequência
f i
0|-- 4 1
4|-- 8 3
8|-- 12 5
12|-- 16 1
Total 10
Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa que mede a dispersão dos
dados em relação à média. É calculado dividindo-se o desvio padrão pela média e multiplicando por 100,
para expressar o resultado em porcentagem, em vez de se utilizar a unidade de medida da variável em
análise. Assim:
CV=
σ
̄
X
⋅ 100
Para facilitar a interpretação do coeficiente de variação, usaremos os seguintes intervalos:
CV≥ 30 % Alta dispersão
15 % < CV < 30 % Média dispersão
CV≤ 15 % Baixa dispersão
Exemplo 2.8) Na tabela abaixo são apresentados os valores do desvio-padrão e da média da altura e
peso de um grupo de pessoas. Através do coeficiente de variação encontre a variável que tem a maior
dispersão relativa.
Média Desvio-padrão
Altura 174 cm 7 cm
Peso 78 kg 12 kg
Exercícios
a) X: 2, 8, 10, 15, 20, 22, 30
b) Y: 12, 9, 15, 40, 22, 34, 8
c)
x i
f i
3 4
8 7
12 9
15 10
20 3
Considerando as séries X e Y das letras a e b , qual delas apresenta maior dispersão absoluta?
Nas seguintes séries, calcule o desvio médio (DM) e interprete o resultado:
a) 3, 8, 12, 3, 9, 7 b) 2; 2,5; 3,5; 7; 10; 14,5; 20
notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos e interprete os
resultados.
Consumo por nota R$ Nº de notas
0|-- 50 10
50|-- 100 28
100|-- 150 12
150|-- 200 2
200|-- 250 1
250|-- 300 1
Alturas(cm) Nº de alunos
150|-- 160 2
160|-- 170 15
170|-- 180 18
180|-- 190 18
190|-- 200 16
200|-- 210 1
Introdução
Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos várias vezes e sob mesmas
condições, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita,
o resultado é imprevisível; não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Esses fenômenos ou
experimentos são chamados de aleatórios.
Experimento Aleatório
É todo experimento (ou fenômeno) que, repetido várias vezes sob condições idênticas, apresentar
resultados imprevisíveis, isto é, depender exclusivamente do acaso.
Exemplo 3.1)
a) lançamento de um dado ou de uma moeda;
b) o sorteio de uma loteria de números;
c) selecionar uma amostra da produção de um certo artigo para o controle de sua qualidade;
d) escolher uma ou mais pessoas para uma pesquisa de mercado.
O cálculo das probabilidades nos permite encontrar um número que mostra a chance de
ocorrência do resultado desejado num experimento aleatório.
Espaço Amostral ( S )
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. O número de elementos desse
conjunto é indicado por n(S).
Exemplos 3.2) Encontre o espaço amostral e o número de elementos em cada caso:
a) ao lançarmos um dado, os resultados possíveis, ou seja, o espaço amostral é o conjunto:
b) ao lançarmos uma moeda, o espaço amostral é o conjunto:
c) no sorteio de uma dezena da Megasena, o espaço amostral é o conjunto:
d) ao sortearmos um estado da região Sul do Brasil, o espaço amostral é:
Evento
É o conjunto dos resultados desejados num experimento. Em geral, indicamos um evento por uma
letra maiúscula.
Exemplo 3.3)
a) ocorrência de números menores do que 4: A = { }
b) ocorrência de números ímpares: B = { }
c) ocorrência de números maiores do que 1: C = { }
(Note que a ocorrência desse evento é muito provável, mas não garante que ele irá acontecer sempre)
d) ocorrência de números maior do que 5: D = { }
(É pouco provável a ocorrência desse evento. Quando o evento é um conjunto unitário, dizemos que é
simples ou elementar )
e) ocorrência de números menores do que 7: E = S = { }
(A ocorrência desse evento é certa, pois qualquer número do espaço amostral é menor do que 7.
Dizemos que um evento é certo quando o espaço amostral é igual a ele).
f) ocorrência de um número maior do que 6: F =
(A ocorrência desse evento é impossível, pois qualquer número do espaço amostral é menor do que ou
igual a 6. Nesse caso o evento é impossível ).
Exemplo 3.4)
Ao lançarmos um dado, o espaço amostral é S = {1,2,3,4,5,6}. Alguns eventos que podemos citar
em relação a esse espaço amostral são:
Exercícios
a) um número maior do que 4.
b) um número primo.
um número:
a) múltiplo de 3.
b) múltiplo de 5
evento de obter o nascimento:
a) de exatamente uma menina.
b) de no máximo uma menina.
c) de no mínimo duas meninas.
espaço amostral do experimento.
jogam na defesa. Nomeando esses jogadores de A, B, C, D e E, determine o espaço amostral das duplas
de defesa que podem ser formadas com esses jogadores.
sucessivamente, 2 bolas sem reposição. Sendo A o evento em que a soma dos números sorteados é par
e B o evento em que o produto dos números sorteados é menor do que 20, determine A∩B.
Seja um evento A de um espaço amostral S. A probabilidade P(A) de o evento A ocorrer é a razão
entre o número de elementos de A pelo número de elementos de S, isto é :
P( A)=
n( A)
n( S)
=
n úm e r o d e c a s o s f a v o r á v e i s
n ú me r o de c a s o s p o s s í v e i s
Exemplo 4.1) Lançado um dado honesto qual a probabilidade de:
a) se obter um número ímpar na face voltada para cima?
b) se obter um número menor do que 3 na face voltada para cima?
c) se obter um número maior do que 6 na face voltada para cima?
d) se obter um número primo na face voltada para cima?
Exemplo 4.2) Rafael tem 6 cupons de uma promoção, cujo prêmio é um almoço em uma churrascaria.
Qual a probabilidade de Rafael ganhar o prêmio, sabendo que foram distribuídos 320 cupons no total?
Exemplo 4.3) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de se obter :
a) duas caras e uma coroa?
b) pelo menos duas coroas?
Teorema da Soma
No desenho está representado um espaço amostral S contendo dois eventos, A e B. Sabemos, da
teoria de conjuntos que:
n( A∪B)=n( A )+ n(B)−n( A∩B)
Para a probabilidade de ocorrência do evento união de A e B, temos:
P( A∪B)=P( A )+P(B)−P( A∩B)
Eventos Complementares
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra
(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a
relação:
p + q = 1 ⇒ q = 1 – p
Exemplo 4.7) Se a probabilidade de se realizar um evento é p=
1
5
qual a probabilidade de que ele não
ocorra?
Exemplo 4.8) Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é p=
1
6
. Qual a
probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado?
Eventos Independentes
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um
dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Exemplo 4.9) Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles __________________
(depende/ independe) do resultado obtido no outro.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é
igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.
Assim, sendo p 1
a probabilidade de realização do primeiro evento e p 2
a probabilidade de
realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada
por:
p = p 1 x p 2
Exemplo 4.10) Lançado dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter 1 no primeiro
dado e 5 no segundo dado?
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um
exclui a realização do(s) outro(s).
Exemplo 4.11) No lançamento de uma moeda, o evento “ tirar cara ” e o evento “ tirar coroa ” _________
(são/ não são) mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro ______________ (se realiza/ não se
realiza).
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é
igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:
p = p 1
+ p 2
Exemplo 4.12) Lançado um dado, qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5?
Mais Exemplos
Para resolver os problemas envolvendo baralhos, saiba que:
um baralho tem 52 cartas no total.
um baralho tem quatro naipes:
a) ouro;
b) copa;
c) pau;
d) espada.
Exemplo 4.13) Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de
52 cartas?
Exemplo 4.14) Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52
cartas?
Exemplo 4.15) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa.
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa.
