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Documento que apresenta o modelo ising, definido por seu hamiltoniano e suas variantes, incluindo o modelo ferromagnético e o modelo gaussiano na dinâmica de langevin. Descreve as expressões matemáticas para a magnetização e a suscetibilidade, além de termos relacionados a temperatura reduzida e a expansão para temperatura indo a zero.
Tipologia: Teses (TCC)
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Eduardo do Carmo
Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao Instituto de F´ısica da Universidade de S˜ao Paulo para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias.
Orientador: Prof. Dr. Silvio Roberto de Azevedo Salinas
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Silvio Roberto de Azevedo Salinas (IFUSP) Prof. Dr. Carlos Seihiti Orii Yokoi (IFUSP) Prof. Dr. J¨ugen Fritz Stilck (UFF)
S˜ao Paulo 2007
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O modelo gaussiano para um ferromagneto em uma rede hiperc´ubica d-dimensional ´e apresentado num contexto est´atico e dinˆamico. Sua termodinˆamica ´e investigada cal- culando diversas grandezas para a faixa de temperatura na qual o modelo ´e definido (T ≥ Tc). Expoentes cr´ıticos e a dimens˜ao cr´ıtica s˜ao definidos e calculados para o caso ferromagn´etico com intera¸c˜oes de primeiros vizinhos. Dois tipos de dinˆamica s˜ao inseridos no modelo gaussiano: a dinˆamica de Langevin e a de Cahn-Hilliard. S˜ao calculadas a fun¸c˜ao de auto-correla¸c˜ao e a fun¸c˜ao resposta, que s˜ao os observ´aveis de interesse num enfoque dinˆamico. A maneira como esses observ´aveis se relacionam tamb´em ´e investigada, via teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao. De maneira mais geral, um eventual comportamento dinˆamico, tipo Langevin, ´e estudado atrav´es do formalismo MSR. Sendo a t´ecnica MSR apropriada ao estudo de sistemas com desordem, calculam-se as fun¸c˜oes de auto-correla¸c˜ao e resposta de um modelo gaussiano na presen¸ca de um campo aleat´orio (desordem do tipo quenching). Finalmente, de maneira independente e como um exerc´ıcio de mecˆanica estat´ıstica, trˆes modelos s˜ao apresentados: um modelo de g´as de rede com graus de liberdade orientacionais do tipo Ising, o modelo de Potts de q estados e o modelo de Maier-Saupe para um cristal l´ıquido. E mostrado que esses modelos, de certa maneira, est˜´ ao pr´oximos. Em uma maneira mais expl´ıcita, numa vers˜ao de campo m´edio, mostra-se que a energia livre de um modelo de Potts de trˆes estados e uma vers˜ao discretizada para o modelo de Maier- Saupe, com restri¸c˜oes `as dire¸c˜oes do diretor, possuem a mesma energia livre.
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The Gaussian model of a ferromagnet on a d-dimensional hipercubic lattice is pre- sented, in the static and dynamic contexts. The thermodynamics of the Gaussian model is investigated evaluating several thermodynamic quantities, in the temperature range of validity of the model (T ≥ Tc). For a ferromagnetic model with first neighbour interac- tions, the critical dimension and the critical exponents are found. Two kinds of dynamics are applied on the Gaussian model: the Langevin dynamics and the Cahn-Hilliard dynamics. The auto-correlation and the response functions, which are the interesting observables from the dynamical point of view, are calculated. The relation between these two functions is also analyzed, through the fluctuation-dissipation theorem. In a more general way, the Langevin behavior is studied through the MSR formalism, which is useful for systems with disorder. The MSR formalism is applied to find auto-correlation and response functions of a random-field Gaussian model (quenched disorder). Furthermore, as a statistical mechanics exercise, three models are presented: a lattice gas with Ising-like orientational degrees of freedom, the q-state Potts model, and the Maier-Saupe model for the transitions in a nematic liquid crystal. At the mean field level, we show that these three models are similar. In particular, we show that the free energy of the three-state Potts Model is equal of the free energy of a discretized version of the Maier-Saupe model, with restrictions on the directions of the director.
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x SUM ´ARIO
4.3.2 Modelo de Maier-Saupe discretizado................. 68 4.3.3 Algumas compara¸c˜oes......................... 70
5 Considera¸c˜oes finais 73
A Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao 75
B Integrais Gaussianas 79
Referˆencias Bibliogr´aficas 81
x
2.1 Contorno no plano complexo.......................... 12 4.1 Al¸cas de Van der Waals............................ 56 4.2 Vetores do modelo de Potts.......................... 60 4.3 Modelo de Potts trˆes estados.......................... 61 4.4 Cristal l´ıquido nem´atico............................ 63
xi
Os sistemas magn´eticos constituem um dos melhores laborat´orios para o desenvolvi- mento e teste de modelos estat´ısticos. O carro-chefe desses modelos foi proposto por W. Lenz (1888−1957) em 1920 e tratado quantitativamente, em uma dimens˜ao, por seu aluno Ernst Ising (1900 − 1998) em 1924. O c´alculo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao a campo nulo do modelo de Ising, numa rede quadrada com intera¸c˜oes de primeiros vizinhos, foi realizado por Lars Onsager (1903 − 1976) em 1944, constituindo um dos feitos importantes da f´ısica te´orica. O modelo de Ising ´e definido pelo hamiltoniano HN = −^12
~r,~r′
J~r,~r′^ S~rS~r′^ −
~r
H~rS~r, (1.1)
onde ~r designa um s´ıtio de uma rede c´ubica com d dimens˜oes, S~r = ±1 ´e a vari´avel de spin no s´ıtio ~r, J~r,~r′ ´e o parˆametro de troca que media as intera¸c˜oes entre os spins dos s´ıtios ~r e ~r′, e H~r ´e um campo externo aplicado ao spin no s´ıtio ~r. Desde o seu surgimento, o modelo de Ising tem sido empregado em muitas outras situa¸c˜oes f´ısicas al´em do magnetismo, como na modelagem de ligas bin´arias e de misturas de dois tipos diferentes de mol´eculas. No entanto, apesar de seu universo de atua¸c˜ao ser muito vasto, atraindo assim a aten¸c˜ao de muitos f´ısicos durante mais de 80 anos de existˆencia, pouco se avan¸cou, sob o ponto de vista anal´ıtico, desde a solu¸c˜ao de Onsager. Embora existam resultados num´ericos muito bons para o modelo de Ising tridimensional e para o modelo de Ising bidimensional na presen¸ca de um campo externo, eles ainda permanecem insol´uveis sob o ponto de vista anal´ıtico.
1
2 CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO
Motivado pelos avan¸cos de Onsager, M. Kac (1914 − 1984) propˆos em 1947, como simplifica¸c˜ao matem´atica, os modelos gaussiano e esf´erico. Esses modelos, que possuem car´ater essencialmente matem´atico, sempre gozaram de muito prest´ıgio desde sua de- fini¸c˜ao. Ainda que tais molelos sejam demasiadamente abstratos, eles possuem solu¸c˜oes exatas (Berlin e Kac, 1952) enquanto o modelo de Ising resiste a um tratamento anal´ıtico. O prest´ıgio dos modelos esf´erico e gaussiano ainda se justifica por servirem como parˆametros da robustez de t´ecnicas usadas no estudo das transi¸c˜oes de fase, no caso do modelo esf´erico, e ponto de partida de expans˜oes perturbativas num contexto de grupo de renormaliza¸c˜ao e teorias de campos, no caso do modelo gaussiano. Eles tamb´em se caracterizam pela sua importˆancia sob o ponto de vista did´atico.
A id´eia por tr´as dos modelos gaussiano e esf´erico est´a em substituir o v´ınculo forte S ~^2 r = 1 por outro v´ınculo mais fr´agil. Tais modelos s˜ao definidos pelo mesmo hamiltoni- ano de Ising, por´em os spins passam a ser vari´aveis que podem assumir qualquer valor na reta real. Para garantir a convergˆencia de suas fun¸c˜oes de parti¸c˜ao, diferentes v´ınculos s˜ao adicionados. No caso do modelo gaussiano, exige-se que os spins cont´ınuos sejam obedientes a uma distribui¸c˜ao gaussiana. No caso do modelo esf´erico, a soma dos qua- drados de todos os spins deve ser igual ao n´umero de spins da rede. De acordo com uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do c´alculo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, a soma sobre todos os estados poss´ıveis do modelo gaussiano ´e equivalente a uma integra¸c˜ao sobre todo o hiper-espa¸co d-dimensional dos poss´ıveis valores das vari´aveis S~r ; para o modelo esf´erico, devemos realizar integra¸c˜oes sobre a hiperesfera de raio N d/^2 , onde N d^ ´e o n´umero de spins da rede. De certa forma o modelo esf´erico est´a mais pr´oximo do modelo de Ising.
Em virtude da extensa aplicabilidade do modelo gaussiano e da possibilidade de sua investiga¸c˜ao atrav´es de todas as t´ecnicas usadas no estudo de fenˆomenos cr´ıticos, apesar de n˜ao ser definido abaixo de sua temperatura cr´ıtica, n´os o elegemos como laborat´orio de estudo, investigando a sua termodinˆamica e introduzindo, de forma suplementar, um comportamento dinˆamico. N˜ao se deve concluir precocemente que, como esse modelo n˜ao ´e definido abaixo de Tc, ele n˜ao possua nada de interessante, que ´e o que vamos mostrar.
O estudo do comportamento dinˆamico do modelo gaussiano, que ´e originalmente de- finido apenas no equil´ıbrio, parece um tanto contradit´orio. Por´em, ´e poss´ıvel inserir
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4 CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO
de troca, etc) permanecem constantes enquanto as vari´aveis de spin flutuam tem-se uma desordem do tipo quenched. O estudo de sistemas no equil´ıbrio que possuem esse tipo de desordem pode ser feito atrav´es do m´etodo das r´eplicas. Em um cen´ario dinˆamico, De Dominicis em 1978 substituiu a aplica¸c˜ao desse m´etodo por um procedimento mais f´ısico, utilizando um formalismo proposto por P. C. Martin, E. Siggia e H. Rose (Mar- tin, Siggia, e Rose, 1973). Esse procedimento engenhoso substitui o m´etodo das r´eplicas, pois define uma fun¸c˜ao geratriz devidamente normalizada. Modelos magn´eticos com aco- plamentos desordenados (como os vidros de spin) ou na presen¸ca de um campo aleat´orio vˆem exercendo um grande fasc´ınio sobre os f´ısicos estat´ısticos, sobretudo por apresentarem diagramas de fase muito ricos, com a potencialidade de descrever fases v´ıtreas.
A nossa disserta¸c˜ao se divide em duas partes. A primeira parte aborda os t´opicos comentados nos par´agrafos precedentes e a segunda trata de semelhan¸cas entre modelos bem conhecidos na literatura. Na verdade a segunda parte ´e um exerc´ıcio de mecˆanica estat´ıstica, servindo de base `as investiga¸c˜oes que pretendemos realizar futuramente nos dom´ınios dos cristais l´ıquidos e dos cristais pl´asticos.
Desde cedo nos ensinam que a mat´eria se apresenta em trˆes formas: s´olida, l´ıquida e gasosa. Por´em, existem materiais que em determinadas situa¸c˜oes apresentam proprieda- des da fase s´olida e em outras se comportam como l´ıquidos: os cristais l´ıquidos e os cristais pl´asticos. Tais materiais podem ser obtidos a partir da dissolu¸c˜ao de um material s´olido cristalino em um solvente. Dessa maneira, em determinadas condi¸c˜oes de temperatura, concentra¸c˜ao e press˜ao, podem surgir essas “mesofases”.
Em trabalho anterior no nosso grupo (Tsai, 1994), com a finalidade de explicar o diagrama de fases de um cristal pl´astico, foi detalhadamente analisada uma vers˜ao de campo m´edio de um g´as de rede com graus orientacionais de liberdade do tipo Ising. Na ´epoca tamb´em se sabia que talvez fosse mais apropriado utilizar um g´as de rede com vari´aveis de Potts a fim de representar com maior fidelidade os graus orientacionais de liberdade. Recentemente percebemos que seria ainda mais interessante e apropriado representar os graus orientacionais de liberdade do g´as de rede atrav´es de um modelo de Maier-Saupe, que tem sido amplamente utilizado no estudo das transi¸c˜oes de fase em cristais l´ıquidos do tipo nem´atico.
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CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO 5
Motivados por esses estudos anteriores, decidimos inicialmente recuperar os c´alculos para o g´as de rede acoplado a vari´aveis orientacionais do tipo Ising. Em seguida, con- sideramos a vers˜ao de campo m´edio do modelo de Potts de q estados, prestando maior aten¸c˜ao ao caso q = 3. Depois disso, estudamos um vers˜ao discretizada do modelo de Maier-Saupe, mostrando que ela se caracteriza pela mesma express˜ao da energia livre do modelo de Potts de q = 3 estados (que n˜ao ´e muito diferente da express˜ao da energia livre do g´as de rede com vari´aveis orientacionais do tipo Ising). O problema mais envolvido, do g´as de rede com vari´aveis de Maier-Saupe, ser´a deixado para um trabalho posterior.
Essa disserta¸c˜ao est´a organizada em uma introdu¸c˜ao (cap.1) e trˆes cap´ıtulos. No segundo cap´ıtulo definimos o modelo gaussiano e discutimos as suas propriedades ter- modinˆamicas (se¸c˜ao 2.1). As duas se¸c˜oes seguintes tratam de particulariza¸c˜oes para o caso ferromagn´etico com intera¸c˜oes entre primeiros vizinhos em uma rede d-dimensional, incluindo uma an´alise de um modelo unidimensional. Por fim, apresentamos um c´alculo das fun¸c˜oes de correla¸c˜ao de pares de spin desse modelo (se¸c˜ao 2.3). Tais fun¸c˜oes s˜ao calculadas para um sistema no ponto cr´ıtico e em seguida em suas proximidades.
O terceiro cap´ıtulo cont´em o estudo de um eventual comportamento dinˆamico do modelo gaussiano. Essa investiga¸c˜ao ´e feita usando as dinˆamicas de Langevin (se¸c˜ao 3.1) e de Cahn-Hilliard (se¸c˜ao 3.2). Nessas se¸c˜oes s˜ao calculados os observ´aveis de interesse dinˆamico: fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜ao e resposta. Ainda analisamos como essas fun¸c˜oes se relacionam nas proximidades do ponto cr´ıtico (teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao). Em seguida, apresentamos o procedimento mais f´ısico para o estudo de um comportamento dinˆamico segundo o formalismo MSR. Ap´os a apresenta¸c˜ao do m´etodo, introduzimos uma vers˜ao envolvendo vari´aveis fermiˆonicas (se¸c˜ao 3.3). Aplicamos esse formalismo ao modelo gaussiano definido no cap´ıtulo segundo e tamb´em a um modelo gaussiano na presen¸ca de um campo aleat´orio. A t´ecnica MSR ´e ideal para tratar sistemas com desordem (se¸c˜oes 3.4 e 3.5).
Finalmente, no quarto cap´ıtulo estudamos um modelo de g´as de rede generalizado para conter graus de liberdade orientacionais tipo Ising (se¸c˜ao 4.1), e um modelo de Potts de q estados (se¸c˜ao 4.2). Na se¸c˜ao 4.3 apresentamos o modelo de Maier-Saupe para transi¸c˜oes de fase em cristais l´ıquidos nem´aticos. Enfatizamos a necessidade da constru¸c˜ao de um
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O modelo gaussiano ´e definido pelo hamiltoniano (1.1) com a adi¸c˜ao de um fator de convergˆencia. Assim, temos a fun¸c˜ao canˆonica de parti¸c˜ao do modelo gaussiano,
ZG(β) =
R exp
β 2
~r,~r′
J~r,~r′ S~rS~r′ − 2 b
~r
S ~^2 r
~r
dS~r, (2.1)
onde b > 0 ´e o peso gaussiano de convergˆencia. O c´alculo dessa fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e feito atrav´es de uma transforma¸c˜ao de vari´aveis que diagonaliza a forma quadr´atica do argumento da exponencial. Vamos definir o vetor de um s´ıtio do espa¸co real,
~r = r 1 aˆ 1 + r 2 ˆa 2 + · · · + rdˆad, (2.2)
e seu correspondente no espa¸co rec´ıproco,
~q = q 1 ˆb 1 + q 2 ˆb 2 + · · · + qdˆbd, (2.3)
onde ri e qi s˜ao inteiros e as bases no espa¸co real e no espa¸co de Fourier s˜ao ortogonais, obedecendo a rela¸c˜ao
aˆi · ˆbj = 2πδij , (2.4)
onde δij designa o delta de Kronicker.
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8 CAP´ITULO 2. A TERMODIN ˆAMICA DO MODELO GAUSSIANO
Supondo que cada dire¸c˜ao da rede cristalina possua N s´ıtios, com espa¸camento a entre eles, os vetores permitidos na primeira zona de Brillouin s˜ao dados por
~q =^2 Lπ (q 1 , q 2 , · · · , qd), (2.5)
onde −L/ 2 < q 1 , q 2 , · · · , qd ≤ L/2. A transforma¸c˜ao discreta de Fourier das vari´aveis de spin ´e definida atrav´es da rela¸c˜ao S~r = 1 N d^2
~q
S^ ˆ~qei~q·~r, (2.6)
onde a soma deve ser realizada sobre a primeira zona de Brillouin (Yokoi, 1978). Para n˜ao sobrecarregar a nota¸c˜ao vamos deixar de explicitar o car´ater vetorial das vari´aveis que localizam os s´ıtios, tanto no espa¸co real quanto no rec´ıproco. Aplicando a transformada de Fourier ao argumento da exponencial da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao e supondo que a hiper-rede esteja sujeita a condi¸c˜oes peri´odicas de contorno (o que n˜ao ter´a conseq¨uˆencias no limite termodinˆamico), temos
Q = β 2
r,r′
J(|~r − ~r′|)SrSr′ − 2 b
r
S^2 r
= (^12)
q
[β Jˆ(q) − b] Sˆq Sˆ−q, (2.7)
onde Sˆq = 1 N d/^2
r
Sre−iqr^ (2.8)
e Jˆ(q) = ∑ h
J(|h|)e−iqh, (2.9)
onde o vetor ~h corresponde `a distˆancia entre dois s´ıtios no espa¸co direto. Fica evidente que J(~r, ~r′) = J(|~r − r~′|). Sendo Sr uma vari´avel real, temos a rela¸c˜ao Sˆq = Sˆ−∗q. Podemos ent˜ao lan¸car m˜ao da transforma¸c˜ao ortogonal,
S^ ˆ 0 = Rˆ 0 q = 0 Sˆq = √^12 ( Rˆq + i Iˆq) ∀q 6 = 0^ ,^ com
R^ ˆq = Rˆ−q I^ ˆq = − Iˆ−q^.^ (2.10) 8
