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UEL CTU DEPTO ESTRUTURAS, CONCRETO ESTRUTURAL: FUNDAMENTOS E PROJETO, RBUCHAIM 02/2015 Página 1
ESTADOS LIMITES ÚLTIMO E DE SERVIÇO FLEXÃO SIMPLES
1 INTRODUÇÃO
Examina-se neste capítulo o dimensionamento e a verificação no Estado Limite Último – Flexão de seções mais comumente utilizadas na prática, sujeitas à flexão simples ou composta normal com grande e pequena excentricidade. Entende-se por flexão com grande excentricidade a existência na seção transversal de dois banzos resistentes distintos, um comprimido, outro tracionado. O banzo comprimido (i.e., a parte comprimida da seção) é atribuído ao concreto e inclui, eventualmente, a armadura de compressão, enquanto o banzo tracionado (i.e., a parte resistente à tração da seção) é atribuído ao aço. A força cortante não é aqui considerada, o que significa que são examinadas as seções de momentos fletores extremos, localizados onde há inversão de sinal da força cortante. Mais precisamente, onde a força cortante se anula.
Considera-se, de início, as seções retangulares e T, para efeito do dimensionamento de vigas e lajes em flexão simples. Mais adiante, no capítulo 6, examina-se as solicitações normais em pilares de seções retangulares e circulares.
Tendo em vista que já é prática corrente o uso de concretos de alta resistência, consideram- se as respectivas leis constitutivas para concretos até = 90 , que constam na NBR 6118:
- Para estas leis, tomam-se também como referência principalmente o Euro-Code 2 (2010), e ainda o Código Modelo 90 do CEB, 1991, assim como o Código Modelo 2010, Final draft, da FIB CEB-FIP, de março de 2012. Para os aços, particularmente os de categorias CA-50 e CA-60, usa-se a lei bilinear com e sem encruamento. Esta última é suficiente para o dimensionamento, a primeira, com o segmento plástico ascendente, é usada na estimativa das rotações plásticas.
Na flexão composta normal, usa-se o método de Wuczkowski, conforme referido no livro de René Walter e Manfred Miehlbradt (1990), também apresentado por Fusco, P. B. (1981), o qual simplifica grandemente o problema ao considerar os esforços solicitantes, não no centro de gravidade da seção transversal, mas no centro de gravidade da armadura tracionada. O método, muito simples, é também útil na consideração do dimensionamento das peças protendidas, se a protensão for considerada como carga. O transporte dos esforços solicitantes para o CG da armadura tracionada transforma a flexão composta normal em flexão simples, no que se refere à determinação da profundidade da linha neutra, da força de compressão total (i.e., inclusive com a da armadura comprimida, se existir), igual à parcela da força de tração a ser adicionada algebricamente (quer dizer, com sinal) à força normal solicitante já posicionada no banzo tracionado, compondo a segunda parcela da força total na armadura tracionada. Mostra-se, ainda, os limites deste método, quando há transição de grande para pequena excentricidade, o que ocorre se a seção estiver toda comprimida ou toda tracionada.
Os passos empregados no dimensionamento e na verificação da seção no ELU-Flexão são os mesmos para outras formas de seção não consideradas neste texto. As dificuldades advêm apenas da integração numérica das tensões normais distribuídas nas partes componentes da seção, para obter as resultantes e respectivas posições, um trabalho mais facilmente feito através de programa em computador, p. ex., Excel e Qbasic.
Chame-se a atenção para o fato de não mais ser permitido dimensionar a seção transversal de vigas e lajes na fronteira dos domínios 3 e 4, com a escolha da profundidade correspondente da LN ( (^) ou , = () (^) , etc.), a menos que a peça que contém a seção em questão seja isostática.
Isto porque a seção assim dimensionada, embora mais econômica, terá pouca capacidade de rotação plástica e, precisamente por essa razão, haverá pouca ou nenhuma redistribuição de solicitações na situação limite, i.e., nas proximidades do colapso. Na realidade, as lajes e vigas são os principais componentes dúteis da estrutura, e seu dimensionamento, ou seja, a escolha da profundidade relativa da linha neutra está ligada, conforme as normas atuais, à necessária capacidade de rotação plástica
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das seções críticas para conseguir-se, com a devida segurança, a carga de colapso da estrutura prevista no projeto. Além destas razões, salienta-se a necessidade de atender outros estados limites da estrutura, tanto últimos quanto de utilização (ou de serviço). Assim, o projetista não deve dar-se por satisfeito com o dimensionamento da seção (e da peça) ao atender apenas o ELU-Flexão, pois este estado é apenas um dentre os vários estados limites que devem ser atendidos, conforme estabelecem as normas.
2 LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS
2.1 Leis constitutivas do concreto
No que segue, são consideradas as leis constitutivas a usar no dimensionamento das peças em concreto estrutural (i.e., armado e protendido). Estas leis constam no Euro-Code 2 (2010) e nos textos do MC 2010, e constam em parte na NBR 61118: 2014 com a inclusão de concretos de alta resistência (ou, mais precisamente, concretos de alto desempenho). São três as leis consideradas neste texto, a saber: (1) parábola-retângulo, (2) lei bilinear e (3) lei rígido-plástica (bloco retangular de tensões). Ver a Figura 2.1 e as Tabelas 2.1 e 2.2. Dado que a resistência à tração do concreto é desprezada no dimensionamento, estas leis são específicas para o concreto em compressão. O valor de cálculo da resistência à compressão do concreto é definido como segue:
em que:
é o coeficiente de segurança parcial do concreto, igual a 1,4 para as combinações normais das ações, e 1,2 para as combinações especiais ou de construção, e excepcionais, cf. a NBR 6118: 2014, Tabela 12.1, item 12.4.1.
é a resistência característica do concreto, correspondente ao quantil de 5%, medida em corpos de prova cilíndricos ( â !"#$/ &"'# = 15/30 ) ) e referida aos 28 * após sua moldagem.
O fator 0,85 considera principalmente dois efeitos antagônicos, a saber, o ganho de resistência com o tempo e, simultaneamente, a velocidade (lenta) de aplicação do carregamento. Nas estruturas, esta velocidade é representada pelas cargas permanentes aplicadas na peça estrutural pouco a pouco, ao longo da construção, permitindo ocorrer a fluência do concreto. Um terceiro fator refere-se à diferença de resistências medidas no corpo de prova e na peça estrutural, geralmente prismática. O EC-2 (2010), item 3.1.6, indica o intervalo deste fator entre 0,8 e 1 , mas recomenda o valor 1. Sabe-se, no entanto, que uma pequena variação na resistência do concreto afeta pouco a resistência à flexão das peças dúteis. Ver Shehata, L. C. D. et al (2008). Assim, considerar ou não o fator 0,85 tem importância maior na segurança de peças com predomínio de compressão axial (especialmente pilares). Com os coeficientes parciais de segurança do EC-2 (2010), obtém-se, para
o valor 1 recomendado, o fator que afeta a resistência do concreto, igual a
,-,.^ =^
+,/×+,/ = 0,444. No caso da NBR 6118: 2014, mantendo-se o coeficiente 0,85, mesmo para concretos até =
90 , tem-se
1,2/ ,-,.^ =^
1,2/ +,3×+,3 = 0,434. Ou seja, há entre as duas normas apenas^ ≈ 2,5%^ de diferença (a maior na NBR) na consideração da segurança das peças com predominância de compressão axial. Dito de outro modo, se o coeficiente 0,85 for alocado aos coeficientes parciais
e 5 resultariam em = 5 = 6+,3×+,31,2/ = + √1,^
= 1,52. Assim, mantidos os coeficientes 0,85 e
= 5 = 1,4, o nível de segurança estabelecido nas normas brasileiras é praticamente o mesmo das normas europeias que não aplicam o coeficiente 0,85.
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O expoente X é igual a: X = 2 *! ≤ 50
X = 1 , 4 + 23 , 4 [(J1K5 +11.L )]^3 *! 50 < ≤ 90
(2.2g)
(2.2h)
Como se vê, em relação à lei dada na NBR 6118, há alteração nos parâmetros a partir de concretos de classes superiores a 50. Note-se, também, que na faixa 50 a 90 , o expoente X decresce de 2 a 1,4, quer dizer, a parábola tende para a reta (X = 1), mostrando a aproximação desta lei com a linear, para os concretos de alto desempenho.
A lei bilinear é dada pela equação:
(^9) = 0 , 85 B ⁄B (^) 8 *! B ≤ B 8 (2.3a)
(^9) = 0 , 85 *! B 8 < B ≤ BF 8 (2.3b)
em que:
B8 é a deformação do início do patamar de escoamento, igual a:
B 8 = 1 , 75 ‰ *! ≤ 50
B 8 (‰)^ = 1 , 75 + 0 , 55 (
(^5) .LK/ 31 )^ *!^50 ^ <^ ^ ≤^90
(2.3c)
(2.3d)
BF8 é a deformação limite (= BFD) , igual a:
BF 8 = 3 , 5 ‰ *! ≤ 50
BF 8 (‰) = 2 , 6 + 35 [(J1 +11K^5 .L )]^3 *! 50 < ≤ 90
(2.3e)
(2.3f)
Como se vê, a lei bilinear (2.3a) é um caso particular da (2.2a), bastando fazer na primeira X = 1, e trocar BD por B8, notando-se que a deformação limite é a mesma nas duas leis.
A lei rígido-plástica atribui ao concreto uma resistência constante, P(0,85), desacoplada da deformação, tomando-se ainda a altura do bloco de compressão igual ao produto da profundidade da LN pelo fator T, ou seja, S = T. Estes dois fatores são dados a seguir:
T = 0 , 8 *! ≤ 50
λ = 0 , 8 − (^5 .L 311 K/1 ) *! 50 < ≤ 90
(2.4a)
(2.4b)
P = 1 *! ≤ 50
η = 1 − (
(^5) .LK/ D11 )^ *!^50 ^ <^ ^ ≤^90
(2.4c)
(2.4d)
Novamente, para concretos de classe não superior a 50 , têm-se os valores tradicionais S = 0,8 e 0,85. Para = 90 , por exemplo, resultam T = 0,7, P = 0,8, donde altura do bloco de tensões S = T = 0,7 e a resistência do concreto P(0,85) = 0,68.
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Se a seção diminui sua largura na direção da borda de maior encurtamento, deve-se reduzir o fator P em 10%, donde a resistência é 0,9P(0,85). As deformações limites das três leis anteriores são iguais, ou seja, BFD = BF8. Ver, igualmente, a Figura 2.1 e a Tabela 2.1.
BD (‰) 2 , 0 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2,
BFD (‰) 3 , 5 3 , 1 2 , 9 2 , 7 2 , 6 2,
X 2 , 0 1,75^1 , 6 1 , 45 1 , 4 1,
B 8 (‰) 1 , 75 1,8 1 , 9 2 , 0 2 , 2 2,
BF 8 (‰) 3 , 5 3,1 2 , 9 2 , 7 2 , 6 2,
T 0 , 8 0 , 787 0 , 775 0 , 75 0 , 725 0 , 7
P 1 0 , 975 0 , 95 0 , 9 0 , 85 0 , 8
Tabela 2.1: Classes de resistência do concreto e parâmetros das leis constitutivas
Figura 2.2: Lei parábola-retângulo do concreto
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,
ssss c (MPa)
0,85fck/1,4=54,64MPa
48, 42, 36, 30,
21,
12,
C C C C
C
C
C
33,
eeee c ( 0/ 00 )
C
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A lei constitutiva do aço, derivada de ensaios de tração, pode também ser usada na compressão, quando então as deformações limites passam a ser as do concreto, inferiores às do aço,
uma vez que na compressão (e antes da fissuração) há aderência sem deslizamento entre a barra de aço e o concreto circundante.
Conforme mostra a Figura 2.4, a lei bilinear com encruamento da deformação em valores
característicos (pontilhada) une, no segmento plastificado, a resistência ao escoamento ] ao valor
característico ` da resistência à ruptura por tração, através do fator , definido pelo valor
característico da relação entre estas resistências, ou seja:
(^55 a b
Esta reta é importante, por exemplo, na estimativa da capacidade de rotação plástica de lajes e vigas. Os dois segmentos em valores de cálculo podem ser usados no dimensionamento e na
verificação da seção transversal. O valor de cálculo do alongamento de ruptura por tração (decorrente do alongamento característico para força máxima na barra ensaiada) deve ser reduzido em 10% em
relação ao valor característico, ou seja, BF 0,9BF. Nos cálculos de dimensionamento e
verificação geralmente basta usar o patamar horizontal.
O módulo de elasticidade do aço, que caracteriza o segmento ascendente (lei de Hooke), cf. o item 8.3.5 da NBR 6118: 2014, é igualado a _V 210 c , à falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante.
A capacidade de uma barra de aço em dissipar energia por deformações plásticas, em caso de descarga ou de ruptura, representa sua dutilidade. A energia dissipável por unidade de volume é
dada pela área sob a curva tensão-deformação, (^9) V(BV, até a ruptura, após descontar a parcela elástica
(recuperável). A Tabela 2.2 mostra as condições exigidas para os aços de dutilidade normal, alta e muito alta, cf. o EC-2 (2010), Anexo C, o MC-90, item 2.2.4.4 e Sigrist e Marti, (1994). A Tabela
2.3 mostra as condições análogas para os aços nacionais e refere-se à deformação residual medida em uma distância igual a 10 diâmetros da barra após a ruptura, fora da zona de estricção. O
alongamento característico de ruptura por tração mostrado na Tabela 2.3 foi calculado com _V
200 c e pode, como aproximação, ser igualado ao alongamento residual medido em 10 diâmetros
da barra, após a ruptura. O aço de dutilidade muito alta (S no MC-90 e na referência Sigrist e Marti (1994), e C no EC-2) é indicado para estruturas sujeitas a sismos.
Classe
EC-2 (2010), Anexo C MC-90, item 2.2.4.4 Sigrist e Marti (1994) Quanti l exigid o
A norma l
B alta
C muito alta
B norma l
A alta
S muito alta
N norma l
H alta
S muit o alta ] ( 400 600 5%
= (
` ]
)^ ≥^1 ,^05 ≥^1 ,^08 ≥^1 ,^15 ≤ 1 , 35
≥ 1 , 05 ≥ 1 , 08 ≥ 1 , 15 ≤ 1 , 30
≥ 1 , 05 ≥ 1 , 08 1 , 20 10%
BF (‰) ≥ 25 ≥ 50 ≥ 75 ≥ 25 ≥ 50 ≥ 60 ≥ 25 ≥ 50 100 10% Tabela 2.2: Características de dutilidade dos aços cf. EC-2 (2010), MC-90 e Sigrist e Marti, (1994)
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Categoria
NBR 7480: 2007 NBR 6118: 2007 Características de dutilidade, item 8.3.
BF (‰)= (
` ]
)
] _V = (`^ +^ BV,+1∅ ]
)^ BV,+1∅^ (‰)
CA-25 ≥ 1 , 20 ≥ 180 Alta ≥ 181 , 5 CA-50 (^) ≥ 1 , 10 ≥ 80 Alta (^) ≥ 82 , 75 CA-60 (^) ≥ 1 , 05 ≥ 50 Normal (^) ≥ 53 , 5
Tabela 2.3: Características de dutilidade dos aços nacionais
Note-se que o aço CA-25 pode ser classificado como de muito alta dutilidade , embora
qualificado na NBR 6118: 2014 como de alta dutilidade.
3. FLEXÃO SIMPLES, SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES E
CONCRETOS fNg = hi j ki lmj
Figura 3.1: Seção retangular no ELU-Flexão simples
Os coeficientes mostrados na Figura, que afetam a profundidade da LN e a resistência do concreto, são respectivamente iguais a:
T = 0,8! P = 1 *! ≤ 50
λ = 0 , 8 − (
(^5) .LK/ 311 )^ ≤^0 ,^8 *!^50 ^ <^ ^ ≤^90
η = 1 − (^5 .L D11K/1 ) ≤ 1 *! 50 < ≤ 90
O momento relativo é definido pela expressão:
n = /( 0 , 85 o D)
Das duas equações de equilíbrio obtém-se a taxa mecânica da armadura e o braço de alavanca correspondente:
U = UV ou oT P( 0 , 85 ) = WV] ou oSP( 0 , 85 ) = WV]
Esta equação dividida por 0,85o fornece a taxa mecânica da armadura, dada a seguir, em função da altura relativa do bloco de tensões S ⁄. Esta altura é obtida da igualdade entre os momentos resistente (interno, i.e., vindo das resistências dos dois materiais) e solicitante (externo, i.e., vindo da carga), ou seja:
oS(P0,85)( − 0,5S) =
(^9) = P( 0 , 85 )
ℎ
≤ BFD
R = 0
S = T
U = oT P+
QR
q = − 0 , 5 S WV
o UV^ =^ WV]
BV ≥ B]
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r =
WV
o
]
= η S ⁄ = 0,85 1 − s1 −
2 × 0,
Limite da altura relativa S =⁄ 1,+/J1,2/ = 0,187para qualificar a seção como dútil com = 80 :
⁄ = S (T ) =
1,+2} (^) 1,}D/ = 0,258≤ 0,35, ok.
A armadura, como antes, pode ser calculada de duas maneiras:
1ª : Taxa Mecânica
r =
WV
o
]
= 0,159; WV = 0,159 ×
200 × 500 × 48,
= 1775,7 D^ ≅ 3∅25 + 1∅
= 3 × 500 + 315 = 1815 D
2ª : Braço de alavanca
q = −
] D = 500(1 − 0,5 × 0,187) = 453,
WV = (^) |5vw bw
= 8/1×+
y 3/8,D/×38/ = 1775,^
D, ok
Confere-se neste caso o equilíbrio:
Forças internas:
U = (η0,85)oS = 0,85 × 0,85 ×
× 200 × (0,187 × 500) × 10K8^ = 772,0R
UV = 1775,7 × 435 × 10K8^ = 772,4R, ok forças iguais.
Momento:
q = 500 − 0,5 × 93,5 = 453,25 ,
= 772,4 × 0,45325 = 350R , ok momento resistente igual ao solicitante.
Notar:
(1) Para análise elástica linear sem redistribuição, os limites de / , 0,45 e 0,35 estão respeitados. Entretanto, no primeiro caso a capacidade de rotação plástica é aprox. 5mrad, e no segundo cerca de 15mrad, bem mais dútil, desde que sejam mantidas as dimensões da seção transversal dada.
(2) Pouca diferença de área de armadura, cerca de 9% de economia, para dobrando de 40 a 80 MPa.
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4. Exemplo viga biapoiada sob ação de carga uniformemente distribuída: Construção do
diagrama momento curvatura para ensaio de laboratório e respectiva relação momento- curvatura.
Figura 4.1: Viga biapoiada e seção: geometria e carga
Dados do ensaio: Resistência a compressão do concreto, valor médio = 30 , coeficiente de variação
= 0,20;
Resistência à tração direta do concreto, valor médio ` = 0,3D/8^ = 2,90 ;
Resistência à tração na flexão do concreto, valor médio ,5 =
++,/( (^) ), +,/( (^) ),^
++,/(), +,/(),^
= 2,9 × 1,25 = 3,63 ;
Resistência característica: = (1 − 1,645) = 30 × 2 3 = 20⁄ ; Aço CA-50: Resistência ao escoamento valor médio ] = 540 , coeficiente de
variação = 0,045;
Área da armadura: WV = 4∅16 = 800 D; Módulos de elasticidade: Concreto _V = 30c , Aço _V = 210c , coeficiente de
equivalência V =
.^ = 7. Taxa geométrica da armadura:^ V^ =^
x =^
211 D11×81 = 1,11%, produto VV = 7 × 0,0111 = 0,
4.1 Situação no ensaio
Na sequência, examina-se o comportamento da viga, com base na seção mais solicitada, através de aumento gradual da carga aplicada. Há três estágios de comportamento sob ação de flexão:
(a) Estádio I, viga não fissurada: tensões normais baixas, não ultrapassam a resistência à tração na
flexão, `,5 = 3,63. Sob ação do momento fletor que leva a seção à fissuração, , tem-se
tensões normais nas bordas superior e inferior iguais a:
9 + = 9D = `,5 =
oℎD 6 donde o momento de fissuração
= `,5 x
= 3,^
D11×311> × 10
K = 19,3R
ℎ = 400
& = 6
o = 200 W*^ =^800
D, ′ = 40
= 360
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108 × 360
680,2 × 10^8
(c) Estádio III, início da plastificação da armadura para a tensão (^9) V = ] = 540 , e deformação
BV] = (^) D+1×+1/31 = 2,57 × 10K8^ e subsequente aumento de deformação sem aumento de tensão.
Como a área da armadura é dada, calcula-se o momento do início da plastificação, para a taxa
mecânica da armadura r =
(^5) b x5.^ =^
211×/ D11×81×81 = 0,20, donde:
n] =
]
o D
= r(1 − 0,5r) = 0,20 × (1 − 0,5 × 0,20) = 0,20 × 0,9 = 0,
] = 0,18 × o D = 0,18 × 200 × 360D^ × 30 × 10K^ = 140R
Notando que a taxa mecânica é também igual à altura relativa do bloco de tensões no
concreto, ], e esta altura relaciona-se com a profundidade da linha neutra (LN) S = T , com T =
0,8 se ≤ 50 , obtém-se:
S = r = 0,20 × 360 = 72 , =
S
= 1,25 × S = 90
Portanto, a curvatura no início da plastificação do aço vale:
#]
BV]
210 × 10^8
105 × 10^8
K+
O valor adimensional desta curvatura é: ] =
+1 b^ =^
+1×8 +1/×+1^ = 3,43.^ Como^ agora
praticamente há fissuração na viga toda, e supondo constante a armadura, pode-se calcular a flecha imediata no centro do vão, pois a rigidez à flexão é constante:
1,] =
&D
#]
(6 × 10^8 )
D × (
105 × 10^8
A carga que produz o momento de plastificação ] = 140R é ] =
2×+ >^ = 31,1R/ e é igual à máxima carga possível na viga durante o ensaio, F (carga última), pois na seção central
forma-se uma rótula plástica. A viga isostática, com três rótulas (duas nos apoios e outra no centro
do vão), transforma-se em um mecanismo ou cadeia cinemática, i.e., move-se sem acréscimo de carga, e entra em colapso.
4.2 Situação no projeto
4.2.1 Estado Limite Último-Flexão
Neste caso há introdução de segurança de acordo com o método semi-probabilístico, em dois
passos. No primeiro, fixam-se as cargas com seus valores característicos superiores ou
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representativos, e as resistências com seus valores característicos inferiores. No segundo passo, aplicam-se nestas grandezas os coeficientes de segurança parciais:
5 = 1,4 majora a carga aplicada com seu valor característico superior, ou representativo;
V = 1,15 reduz a resistência característica (inferior) do aço, ] =
(^5) bL +,+/ = 435^ ;
= 1,4 reduz a resistência característica (inferior) do concreto, e além disso aplica-se o
fator 0,85, reduzindo-a em mais 15%, donde no exemplo: 0,85 =
1,2/×5.L +,3 = 0,85 ×^
D +,3 = 12,14.
Com a majoração da carga e minoração das resistências dos materiais obtém-se a condição de segurança, a qual para peça isostática decorre da comparação direta entre as solicitações (no caso,
momento fletor) resultantes da carga e resistente da seção, ou seja:
( ) ≤ (0,85, ])
Em estruturas hiperestáticas, na análise não linear, a comparação da segurança deve ser feita entre os valores de cálculo das cargas solicitante e resistente, e não entre os esforços.
No exemplo, com as resistências 0,85 = 12,14 e ] = 435 , e conhecida a
área da armadura, WV = 800 D^ e a taxa mecânica r =
x
(^5) bw 1,2/5.w^ =^
211×38/ D11×81×+D,+3 = 0,398, obtém-se o momento resistente último, igual ao do início do escoamento da armadura, pela equação:
n =
]
o D(0,85)
= r(1 − 0,5r) = 0,398 × (1 − 0,5 × 0,398) = 0,
Ou seja:
] = 0,319 × 200 × 360D^ × 12,14 × 10K^ = 100,3R
Logo, a carga última com seu valor de cálculo vem a ser:
] =
8 × 100,
= 22,3R/
Seu valor característico (máximo valor possível em serviço) é
= 15,9R/
Este valor é de ocorrência rara na estrutura.
4.2.2 Condição de projeto em serviço (Estados Limites de Serviço), para o valor frequente da carga
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210 , bitola ∅16. O espaçamento entre CGs das barras depende do detalhamento ou
disposição das barras no banzo tracionado. A distância livre entre barras deve ser o maior valor dentre os três dados a seguir:
1,2 × (^) , ¡#!¡ = 1,2 × 25 = 30
O número máximo de barras X em uma camada pode ser obtido da seguinte inequação:
o ≥ X × ∅ + (X − 1) × ! + 2 × () + ∅`), ou X ≤ x^ KD×(∅a
) ∅ (^) ^ =^
D1181KD×8, +81 = 3,3 ≅ 3
Logo, escolhe-se duas camadas com 3∅16 na camada inferior e 1∅16 na mais interna, com
a distância entre CGs de ambas igual a 40 > !¯ + 2 × (0,5∅ ) = 20 + 16 = 36. Com isto,
a máxima distância entre os CGs das barras tracionadas na primeira camada é *° = D11KD×8,8K+ 8K+ = 55,7^. Conhecida a tensão na armadura, a qual não ultrapassa o limite^9 V,°^ = 280 > 9V,¤L¥¦L = 210 , para a bitola ∅ = 16 , tira-se da Tabela 17.2 o maior
espaçamento entre as barras desse banzo: *° = 150 > 55,7. Atendidas estas duas condições, o controle da fissuração está satisfatório.
A Tabela 4.1 e a Figura 4.2 mostram a relação momento-curvatura para a seção e resistências
do ensaio, incluindo também o ponto correspondente ao valor frequente da carga em serviço.
Observação Imediatamente antes da fissuração
Imediatamente após a fissuração
Serviço, valor frequente da carga
Início da plastificação do aço
Deformação última do concreto atingida, BF = 3 , 5 / 1000 Carga (± )
0 4,3 4,3 12 31,1 31,
(R ) 0 19,3^ 19,3^54 140
( K+)
0 1 1652 , 9 × 108
1 680 , 2 × 108
1 243 , 2 × 108
1 105 × 108
1 23 , 5 × 108
n =
o D
0 0,025 0,025 0,069 0,18 0,
0 0,22 0,53 1,48 3,43 15,
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Figura 4.2: Relação Momento-Curvatura para a viga na situação de ensaio
5. Observações Finais
(a) O gráfico da Figura 4.2 mostra as três fases da viga no ensaio. No Estádio I a rigidez à flexão da
viga conta com a seção integral, e é dada pelo produto _², com ² = x
+D. No Estádio II, há fissuração e a rigidez à flexão da seção transversal diminui ao valor _²³³, e o momento de inércia ²³³ depende
da profundidade da LN e da armadura. No Estádio III, a seção perde toda a rigidez à flexão, e a
reta é horizontal, _²³³³ = 0.
(b) A carga última do ensaio, igual a F = ] = 31,1R/ , e o valor característico da carga =
15,
± ,^ máximo valor admitido no projeto, têm entre si a relação^ ≅ 2, a qual representa o coeficiente de segurança global para a viga em questão.
(c) Se a viga fosse protendida com aço ´ 190 , de resistência ao escoamento ¦] = 1710 , de
modo a manter a força resistente de escoamento, a sua área seria igual a W¦ =
(^5) b (^5) ©b^ =^
211×/ +}+1 ≅
253 D. A protensão desta armadura com tensão pouco acima da metade de ¦], ou seja, 0,55¦] =
940,5 , introduziria uma força de compressão igual a = W¦μ0,55¦]¶ = 253 × 940,5 =
237,9 × 10^8 R. Com esta compressão na mesma posição da armadura anterior aumenta-se o
momento de fissuração como segue. A tensão na fibra inferior da seção transversal agora sujeita à força de compressão − e ao momento negativo − × (0,5ℎ − u), resultante do transporte da força
de protensão ao CG da seção, e ainda ao momento de fissuração que se quer determinar, resulta
igualando (^9) D a `,5 , ou seja:
`,5 = −
oℎ
× (0,5ℎ − u) oℎD 6
oℎD 6
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,
Momento-Curvatura Adimensionais
n =
o D
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(_²)½,` = 30 × 10^8 ¾(0,359)^8 ×
200 × 0,4^8 × 10J
+ [1 − (0,359)^8 ] × 0,437 × 10J¿
= 30 × (0,049 + 0,423) × 10+D^ = 30 × 0,473 × 10+D^ = 14,176 × 10+DR D
Logo, a flecha imediata na combinação frequente das cargas resulta igual a:
1 =^
(_²)½,`
&^3 =
×
14,176 × 10+D^
× (6 × 10^8 )^3 = 14,
contra o deslocamento 15,4 obtido apenas com a rigidez do Estádio II.
Para concluir, a flecha final deve considerar o aumento da flecha imediata por efeito da fluência do concreto ao longo do tempo, calculado com as cargas permanentes e a parcela quase
permanente da carga variável (£D¢, cf. a tabela 11.2 da NBR 6118: 2014). Ver o item 17.3.2.1.2, que
fornece o coeficiente 5 =
ÀÁ +/1Âu, onde^ Δ = (") − ("^1 ) = 2 − 0,5 = 1,5, adotando-se^ "^1 = 0,5 ê* e " ≥ 70 !!, e a taxa ′ de armadura comprimida igual a zero. Logo, resulta a flecha
total igual a (com a parcela de fluência igual a (^) Å = 5 1 ):
1 +^ Å =^1 × ~1 + 5
¡ + £D¢
= 14,3 × ~1 + 1,
9 + 0,3 × 6,
9 + 0,4 × 6,
No parêntese, tomou-se a fração entre os valores das cargas quase permanente e frequente,
pois 1 foi calculada com o valor frequente da carga e (^) Å deve ser obtida com o valor quase
permanente da carga. Como se vê, o Estado Limite de Serviço não está atendido, pela estimativa da
flecha total, imediata e de fluência, para o limite (^) D/1 = 24. O leitor poderá verificar se a viga em
questão atende a flecha admissível para a altura da seção ℎ = 500. Note-se que a esbeltez atual
da viga, para o vão & = 6 é alta, e igual a (^) = 15, quando a esbeltez de vigas em CA usualmente
está na faixa 8 − 12.
