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Cálculos do Experimento - Interferômetro de Michelson
1. Medida do comprimento de onda do laser:
λ = 2|d - dn| / N × 1000
N = 30: λ = 681 nm
N = 40: λ = 646 nm
N = 50: λ = 650 nm
∆λ = 681 - 646 = 35 nm
2. Cálculo do ângulo do espelho:
θn = 9,2° → 100×θn = 12,8°
Inclinação do espelho: ε = 0°
3. Determinação do índice de refração do ar:
λ = 633 nm, s = 41 mm
Tabela (N x Pressão):
N = 6, P = 0.4 mbar
N = 5, P = 0.55 mbar
N = 4, P = 0.65 mbar
N = 3, P = 0.7 mbar
N = 2, P = 0.75 mbar
N = 2, P = 0.8 mbar
N = 1, P = 0.82 mbar
N = 0, P = 0.9 mbar
Usar gráfico N × P para obter ∆N/∆p e calcular n(p).
Experimento 5
INTERFER
OMETRO DE
MICHELSON
5.1 OBJETIVOS
- Medir o comprimento de onda de um laser de He-Ne
- Medir o ´ındice de refra¸c˜ao de um vidro
- Medir o ´ındice de refra¸c˜ao do ar
5.2 PARTE TE ORICA´
Figura 5.1: O Interferˆometro de Michelson
5.2.1 O Interferˆometro de Michelson
O interferˆometro de Michelson ´e o tipo mais fundamental de interferˆometro de dois feixes.
A figura 5.1 mostra esquematicamente, a montagem do interferˆometro.
5.2. PARTE TE ORICA´ 61
e c´ırculos concˆentricos s˜ao produzidos para cada valor de N, d e ✓.
Se a posi¸c˜ao do espelho m´ovel (M 1 ) ´e variada de modo que d, por exemplo diminua
ent˜ao, de acordo com a equa¸c˜ao 5.6, o diˆametro do c´ırculo tamb´em diminuir´a. Portanto
um c´ırculo desaparecer´a cada vez que d seja diminu´ıda (ou aumentada) de 2 .
A condi¸c˜ao 5.6 pode ser aplicada no centro dos an´eis de interferˆencia, onde ✓ = 0. Assim
teremos:
2 d = N N = 1, 2 , 3 ... (5.7)
5.2.2 Determina¸c˜ao do ´ındice de refra¸c˜ao de um vidro
Ao introduzir um bloco de um vidro transparente, de ´ındice de refra¸c˜ao n, em um dos bra¸cos
do interferˆometro, os diˆametros dos c´ırculos de interferˆencia ser˜ao alterados, uma vez que
haver´a modifica¸c˜ao na diferen¸ca de caminho entre os feixes. Se S ´e a diferen¸ca de caminho
entre os feixes que chegam no centro do padr˜ao, o n´umero de c´ırculos de interferˆencia que
desaparecem (ou aparecem) ´e N = S/ .
Figura 5.3: Determina-se o ´ındice de refra¸c˜ao n a partir da diferen¸ca de caminho entre os
feixes de luz que passam pelos dois blocos de vidro.
A figura 5.3 ilustra uma maneira de se determinar o ´ındice de refra¸c˜ao n de uma placa de
vidro, usando o interferˆometro de Michelson. Para isto, ´e calculada a diferen¸ca de caminho
entre o feixe de luz que percorre, em incidˆencia normal, um bloco de vidro posicionado na
vertical (desenhado em linha pontilhada) com a normal a este bloco. Ambos os blocos tem
faces paralelas, mesmo ´ındice de refra¸c˜ao n e espessura t.
Se um dos blocos ´e girado lentamente em torno de um eixo perpendicular ao raio,
as franjas que desaparecem, devido ao aumento do caminho ´optico, podem ser contadas.
Como pode ser vista na figura, a diferen¸ca de caminho ´optico em uma passagem entre os
dois blocos ´e:
S = nAE + EF nAB BC (5.8)
Se um arco de circunferˆencia com centro em A e raio AB ´e tra¸cado, ele corta a reta AE
no ponto D. Desta forma a diferen¸ca de caminho ´e S = nDE + EF BC. Como os raios
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passam pelo blocos duas vezes, ent˜ao a diferen¸ca de caminho total ser´a:
S = 2(nDE + EF BC) = N (5.9)
Da geometria:
2[n(AE t) + (sen )(GC GE) (AC t)] = N (5.10)
nAE + (sen )(GC GE) AC =
N
Expressando AE, GC, GE e AC em termos de t, e ^0 , teremos:
n sen sen ^0 cos ^0
sen^2 1 cos
N
2 t
Da lei de Snell
sen = n sen ^0 (5.13)
e da igualdade trigonom´etrica:
sen^2 ^0 + cos^2 ^0 = 1! cos ^0 =
p 1 sen^2 ^0 =
p n^2 sen^2 n
obtemos: p n^2 sen^2 =
N
2 t
1 + n + cos (5.15)
o que nos leva a:
n =
(2t N )(1 cos ) + (N 2 ^2 / 4 t) 2 t(1 cos ) N
5.2.3 Determina¸c˜ao do ´ındice de refra¸c˜ao do ar
Para determinar o ´ındice de refra¸c˜ao do ar um recipiente (cubeta) de comprimento s ´e
inserido no caminho do feixe, em frente ao espelho m´ovel. Uma bomba de v´acuo permite
variar a press˜ao no recipiente. O ´ındice de refra¸c˜ao de um g´as ´e linearmente dependente da
press˜ao p, tal que
n(p) = n(0) +
n p
p (5.17)
sendo que n(0) = 1 e n p
n(p + p) n(p) p
O caminho ´otico para o feixe luminoso percorrendo o recipiente de comprimento s ´e
x = n(p)s (5.19)
Se a press˜ao no recipiente for variada de p, este caminho ´otico sofrer´a uma varia¸c˜ao de
x = n(p + p)s n(p)s (5.20)
Iniciando-se com a press˜ao ambiente (p 0 ) e diminuindo-se at´e um valor p, observaremos
que a configura¸c˜ao inicial do padr˜ao de interferˆencia (caracterizada, por exemplo, por um
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- Laser, He-Ne com chave seletora de potˆencia: 0,3 - 0,9 mW
- Placa de vidro (espessura t = 4 mm)
- Cubeta de vidro para v´acuo (comprimento s = 41 mm)
- Bomba de v´acuo manual com manˆometro
Antes de passar para o pr´oximo item, verifique se a placa de vidro e/ou a c´elula de
v´acuo est˜ao montadas no interferˆometro. Caso estejam, retire-as do instrumento.
5.3.1 Ajustes iniciais
- Retire o semi espelho, e incida o feixe do laser sobre a lente divergente. Essa lente tem a fun¸c˜ao de expandir a largura do feixe.
- Ajuste com cuidado os parafusos da base do laser de modo que o feixe de luz refletido pelo espelho m´ovel retorne sobre a lente divergente de modo sim´etrico. Se necess´ario, gire tamb´em a base do laser para se obter a imagem desejada. Uma vez conclu´ıda esta etapa, a posi¸c˜ao do laser n˜ao deve ser alterada at´e o fim do experimento.
- Retire a lente divergente e recoloque o semi espelho na base do espectrˆometro, posi- cionando a seta indicadora como mostra a figura 5.4. Esta seta indica o lado onde o filme semi refletor est´a depositado sobre o vidro.
- Vocˆe ir´a notar que na tela de observa¸c˜ao haver´a dois pontos brilhantes. Gire cuida- dosamente os parafusos que regulam a inclina¸c˜ao do espelho fixo at´e que estes pontos coincidam. Se necess´ario, baixe a potˆencia do laser para melhor visualiza¸c˜ao (cuidado para n˜ao deslocar este instrumento!).
- Recoloque a lente divergente e os an´eis de interferˆencia dever˜ao aparecer na tela. Caso n˜ao apare¸cam, gire com muito cuidado os parafusos do espelho at´e obter a imagem desejada.
5.3.2 Medida de comprimento de onda do laser. Montagem padr˜ao
- Monte o interferˆometro de acordo com a figura acima, mas sem a placa de vidro e sem a c´elula de v´acuo. Certifique-se de que a seta indicadora esteja na posi¸c˜ao mostrada na figura.
- Gire o parafuso microm´etrico at´e ±25 mm e logo em seguida volte para ± 20 mm (´e para evitar as imprecis˜oes ao mudar a dire¸c˜ao de rota¸c˜ao). Ajuste o micrˆometro para que fique uma franja escura (m´ınimo de interferˆencia) no centro. Anote o valor desta posi¸c˜ao (d 0 ).
- Gire o micrˆometro no sentido hor´ario e conte o n´umero N = 30 de m´ınimos que se formam no centro do padr˜ao. Anote a posi¸c˜ao (d)
- O valor do comprimento de onda ´e dado por
|d d 0 |
N
5.3. PARTE EXPERIMENTAL 65
- Repita o procedimento para N = 40 e N = 50
- Calcule o desvio
Observa¸c˜oes:
- O movimento do espelho m´ovel ´e reduzido por um mecanismo (excˆentrico) por um fator 1000. Assim, um movimento de 1 mm no micrˆometro equivale a 1μm=1000 nm no espelho. A express˜ao 5.24 deve ser multiplicada por 1000 para se obter o valor de em nm
- No bra¸co do micrˆometro h´a uma escala milimetrada. Logo abaixo da linha horizontal do bra¸co, h´a tamb´em uma escala milim´etrica, mas deslocada de 0,5 mm em rela¸c˜ao `a escala superior. Na figura abaixo, mostramos um exemplo de como efetuar uma leitura.
Figura 5.5: Escala do micrˆometro
5.3.3 Medidas de ´ındice de refra¸c˜ao do vidro
- Mantendo a montagem padr˜ao, insira a placa de vidro no interferˆometro. Se for o caso, fa¸ca pequenos ajustes nos parafusos do espelho fixo para que o padr˜ao de interferˆencia se mantenha centralizado.
- Posicione a placa o mais pr´oximo de 0 , de maneira a formar um m´ınimo no centro do padr˜ao. Anote este valor ' 0.
- Gire lentamente e com muito cuidado o vidro e ao mesmo tempo conte o n´umero N de m´ınimos que se forma no centro do padr˜ao. Anote o valor do ˆangulo 'm para N = 50. O ´ındice de refra¸c˜ao do vidro ´e dado por:
n =
(2t N )(1 cos') +
N 2 ^2 4 t
2 t(1 cos') N
onde t = 4 mm ´e a espessura do vidro, ' = 'm ' 0 e = 633 nm ´e o comprimento de onda do laser.
- Volte a placa para a posi¸c˜ao ' 0 e repita a medida para N = 100.
- Ao t´ermino das medidas, retire a placa de vidro do interferˆometro.
