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Este documento aborda o cálculo e o dimensionamento de armaduras transversais em vigas de concreto armado, com foco em resistir à força cortante. São apresentadas equações para o cálculo da armadura mínima e máxima, considerando diferentes tipos de aço e concreto, além de exemplos práticos com valores específicos. Também é discutido o modelo de cálculo i e ii para o dimensionamento de armaduras.
Tipologia: Notas de aula
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NOTAS DE AULA
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)
Bauru/SP Março/
APRESENTAÇÃO
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina
1309 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.
O texto apresenta a análise teórica e os procedimentos aplicados pela nova NBR
6118/2003 (“ Projeto de estruturas de concreto – Procedimento ”) para o projeto de vigas de
concreto armado à força cortante.
A nova metodologia apresentada na NBR 6118/2003, embora continue considerando a
analogia de treliça, em alguns aspectos difere significativamente daqueles constantes da NBR
6118/80 (NB 1/78). A NBR 6118/2003 admite como hipótese básica a analogia com o modelo
em treliça, de banzos paralelos, associada a mecanismos resistentes complementares
desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc.
A verificação do elemento estrutural à força cortante é sugerida com base em dois modelos de
cálculo, chamados Modelos de Cálculo I e II. Uma das principais inovações está na possibilidade
de se poder considerar inclinações variáveis (30° ≤ θ ≤ 45 °) para as diagonais comprimidas
(bielas de compressão).
De modo geral, a nova metodologia segue o MC-90 do CEB-FIP e o Eurocode 2, com
algumas modificações e adaptações.
Apesar das modificações introduzidas foi possível simplificar o equacionamento,
possibilitando a automatização manual dos cálculos de dimensionamento, com conseqüente
ganho de tempo nos cálculos.
O autor agradece ao Prof. Luttgardes de Oliveira Neto pelo auxílio e discussão, que
contribuíram para melhorar a qualidade do texto e dos exemplos.
Agradecimento especial à ex-aluna Cristiane Pegoraro Xavier, que fez os estudos iniciais
do texto sobre força cortante na NBR 6118/2003.
Agradecimento também ao técnico Éderson dos Santos Martins, pela confecção dos
desenhos.
Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser
melhorada.
1
No dimensionamento de uma viga de Concreto Armado geralmente o primeiro cálculo feito é o de determinação das armaduras longitudinais de flexão. O dimensionamento da armadura transversal para resistência à força cortante é geralmente feito em seguida. O dimensionamento à força cortante é muito importante, pois a ruptura de uma viga nunca deve ocorrer por efeito de força cortante, por ser freqüentemente violenta e frágil. Portanto, deve ser evitada. De acordo com a NBR 6118/2003 (item 16.2.3) “ é necessário garantir uma boa ductilidade, de forma que uma eventual ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usuários ”. A armadura de flexão é que deve ser proporcionada de forma a garantir que a ruptura se desenvolva lenta e gradualmente. Existe uma infinidade de teorias e modelos para análise de vigas de concreto sob força cortante, desenvolvidos geralmente com base na analogia de treliça ou de campos de compressão de concreto. No Brasil se destacam os modelos de treliça denominados treliça clássica e treliça generalizada. O modelo inicial de treliça, desenvolvido por RITTER (1899) e MÖRSCH (1920, 1922), tem sido adotado pelas principais normas do mundo como a base para o projeto de vigas à força cortante. Adicionalmente ao modelo de treliça vem sendo considerada também a “contribuição do concreto” (Vc), e a possibilidade de variação do ângulo de inclinação (θ) das fissuras e bielas de compressão. Apesar da analogia de uma viga fissurada com uma treliça ter sido criada há cerca de cem anos, a sua simplicidade a faz continuar sendo um modelo para o dimensionamento da armadura transversal das vigas. No caso específico da norma brasileira NBR 6118/03, ela admite dois modelos para cálculo da armadura transversal resistente à força cortante nas vigas, denominados Modelo de Cálculo I e Modelo de Cálculo II. A treliça clássica de Ritter-Mörsch, que pressupõe ângulo θ fixo de 45° para a inclinação das diagonais comprimidas (bielas de concreto), é adotada no Modelo de Cálculo I. O Modelo de Cálculo II admite a chamada “treliça generalizada”, onde o ângulo θ pode variar de 30° a 45°, sendo essa a maior inovação da norma na questão da força cortante. Nas últimas décadas surgiram vários modelos mais refinados, como o RA-STM e o FA- STM, desenvolvidos por HSU e seus colaboradores, e o modelo que considera o atrito entre as superfícies das fissuras inclinadas ( Truss model with crack friction). Os modelos mais conhecidos com base em campos de compressão são o CFT e MCFT desenvolvidos por MITCHELL, VECCHIO e COLLINS, mas não serão objeto de estudo nesta apostila.
Na teoria clássica de viga a hipótese assumida da seção transversal permanecer plana proporciona um modelo simples e suficientemente preciso para o projeto de vigas fletidas, com ou sem forças axiais aplicadas. Mesmo após a fissuração a teoria pode ser mantida, porque as fissuras de flexão, perpendiculares ao eixo longitudinal da viga, não invalidam a hipótese de seção plana. Como a ruptura por flexão ocorre na seção sob o máximo momento fletor, as condições fixadas para esta seção são geralmente suficientes para o projeto da viga à flexão. Por outro lado, o mesmo não se pode dizer quanto ao projeto das vigas para a força cortante, porque há enormes diferenças de comportamento e de fatores intervenientes. A ruptura por efeito
3
p
A 2 A 1
a
a
b (^) w
L.N. h
a 2 a 2
a 1 a 1
y
Linha Neutra
c,máx
t,máx
τ 0
y
x
Figura 2 – Tensões normais e de cisalhamento numa viga de material homogêneo.
As tensões normais de tração e de compressão, atuantes ao nível dos planos a 1 e a 2 , respectivamente, assim como a variação da tensão de cisalhamento ao longo da altura da viga, encontram-se indicadas na Figura 2. Da teoria clássica da Resistência dos Materiais, a tensão normal e a tensão de cisalhamento num elemento A são:
My σ = Eq. 1
b I
w
y τ = Eq. 2
com: M e V = momento fletor e força cortante na seção a-a; y = distância do elemento à linha neutra; Sy = momento estático da área considerada em relação à linha neutra; I = momento de inércia da seção transversal; bw = largura da viga.
Para seção retangular, a equação quadrática que representa a tensão de cisalhamento τ é:
τ = −^2
2 y 4
h 2 I
Eq. 3
Com y = 0 na Eq. 3, a tensão de cisalhamento máxima na seção retangular ocorre na posição da linha neutra:
b h
w
τ (^) máx = Eq. 4
As Figura 3 e Figura 4 mostram o estado de tensão nos elementos A 1 e A 2 , bem como o círculo de Mohr correspondente.
4
L.N.
R
R A 1
x
y
(^02)
tensão principal de tração I
tensão principal de compressão (^) II
máxima tensão de cisalhamento
cc
st
y (^) x x y
x x
x y
I y x
V
Figura 3 - Tensões no elemento A 1.
A 2
L.N.
V
I
R
R
y x
2
tensão principal de compressão II
máxima tensão de cisalhamento
tensão principal de tração
cc
st (^) II
y (^) x
x
yx
x
x y
Figura 4 - Tensões no elemento A 2.
Uma viga de Concreto Armado resiste a carregamentos externos primariamente pela mobilização de momentos fletores (M) e forças cortantes (V) - Figura 5.
6
surgem as primeiras fissuras no trecho de flexão pura, chamadas “ fissuras de flexão ” (Figura 7b). As fissuras de flexão são aquelas que iniciam na fibra mais tracionada e prolongam-se em direção à linha neutra, conforme aumenta o carregamento externo aplicado. Apresentam-se aproximadamente perpendiculares ao eixo longitudinal da viga e às trajetórias das tensões principais de tração, ou seja, a inclinação das fissuras depende da inclinação das tensões principais de tração. O trecho fissurado passa do Estádio I para o Estádio II e os trechos entre os apoios e as forças concentradas, sem fissuras, permanecem no Estádio I, isto é, a viga apresenta trechos nos Estádios I ou II. A Figura 7c mostra os diagramas de deformação e de tensão nas seções a e b da viga, nos Estádios I e II, respectivamente. No Estádio I a máxima tensão de compressão (σc) ainda pode ser avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo não valendo para o Estádio II.
a)
b)
c)
a
a
b
b
Estádio I Estádio II Estádio I
Seção a-a Seção b-b c
s
c
s
c c
s t
= (^) cEc
< ct,f
tração
compressão
d)
b
b
Estádio II Seção b-b
s
c
s
c = f^ c
f (^) y
Figura 7 - Comportamento resistente de uma viga bi-apoiada. (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).
Continuando a aumentar as forças P outras fissuras de flexão continuam a surgir, e aquelas já existentes aumentam de abertura e prolongam-se em direção ao topo da viga (Figura 7d). Nos trechos entre os apoios e as forças P, as fissuras de flexão inclinam-se, devido à inclinação das
7
tensões principais de tração σI , por influência das forças cortantes. Essas fissuras inclinadas são chamadas de “ fissuras de flexão com força cortante ”, ou fissuras de flexão com cisalhamento, que não é o termo mais adequado porque tensões de cisalhamento não ocorrem por ação exclusiva de força cortante. Nas proximidades dos apoios, como a influência dos momentos fletores é muito pequena, podem surgir as chamadas “ fissuras por força cortante, ou de cisalhamento ” (ver Figura 7d e Figura 8). Com carga elevada, a viga se apresenta no Estádio II em quase toda a sua extensão.
Figura 8 - Fissuras na viga no Estádio II (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).
O carregamento externo introduz numa viga diferentes estados de tensões principais, em cada um dos seus infinitos pontos. Na Figura 9, por exemplo, são mostradas as trajetórias das tensões principais de uma viga ainda no Estádio I, e o estado de tensões principais num ponto sobre a linha neutra. Na altura da linha neutra, as trajetórias das tensões principais apresentam-se inclinadas de 45 ° (ou 135°) com o eixo longitudinal da viga, e em pontos fora as trajetórias têm inclinações diferentes de 45°.
9
De modo geral, as tensões verticais σy podem ser desprezadas, tendo importância apenas nos trechos próximos à introdução de forças na viga (região de forças externas aplicadas, apoios, etc.). Considerando σy = 0, as expressões que correlacionam σI e σII com as componentes σx e τ (lembrando que τ = τxy = τyx ) são:
(^22) x x I 2 4
(^22) x x II 4 2
− σ + τ σ σ = Eq. 6
O dimensionamento das estruturas de Concreto Armado toma como base normalmente as tensões σx e τxy. No entanto, conhecer as trajetórias das tensões principais é importante para se posicionar corretamente as armaduras de tração e para conhecer a direção das bielas de compressão. As tensões principais de tração inclinadas na alma exigem uma armadura denominada armadura transversal , composta normalmente na forma de estribos verticais fechados. Note que, na região de maior intensidade das forças cortantes, a inclinação mais favorável para os estribos seria de aproximadamente 45 °, ou seja, paralelos às trajetórias das tensões de tração e perpendiculares às fissuras. Por razões de ordem prática os estribos são normalmente posicionados na direção vertical, o que os torna menos eficientes se comparados aos estribos inclinados de 45°. A colocação da armadura transversal evita a ruptura prematura das vigas e, além disso, possibilita que as tensões principais de compressão possam continuar atuando, sem maiores restrições, entre as fissuras inclinadas próximas aos apoios. O comportamento da região da viga sob maior influência das forças cortantes e com fissuras inclinadas no Estádio II, pode ser muito bem descrito fazendo-se a analogia com uma treliça isostática (Figura 11). A analogia de treliça consiste em simbolizar a armadura transversal como as diagonais inclinadas tracionadas (montantes verticais no caso de estribos verticais), o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compressão) como as diagonais inclinadas comprimidas, o banzo inferior como a armadura de flexão tracionada e o banzo superior como o concreto comprimido acima da linha neutra, no caso de momento fletor positivo. A treliça isostática com banzos paralelos e diagonais comprimidas de 45° é chamada “treliça clássica de Ritter-Mörsch”. Sobre ela, Lobo Carneiro escreveu o seguinte: “ A chamada treliça clássica de Ritter-Mörsch foi uma das concepções mais fecundas na história do concreto armado. Há mais de meio século tem sido a base do dimensionamento das armaduras transversais – estribos e barras inclinadas – das vigas de concreto armado, e está muito longe de ser abandonada ou considerada superada. As pesquisas sugerem apenas modificações ou complementações na teoria, mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre a viga de concreto armado, depois de fissurada, e a treliça ”. É válido afirmar que essas palavras continuam verdadeiras até o presente momento.
10
R^ cb
s R R s R^ cb
Figura 11 - Analogia de treliça para as forças internas na região próxima ao apoio de uma viga (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).
Os estribos devem estar próximos entre si a fim de interceptarem qualquer possível fissura inclinada devido às forças cortantes, pois uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distância entre os estribos for ≥ 2 z para estribos inclinados a 45° e > z para estribos a 90° (Figura 12).
2 z fissura de cisalhamento z fissura de cisalhamento
Figura 12 - Analogia clássica de uma viga com uma treliça. (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).
A NBR 6118/03 (item 17.4.1) preconiza que o dimensionamento de elementos lineares (vigas) pode ser feito segundo “ modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo de treliça, de banzos paralelos, associados a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural ”. No item 10 são deduzidas as forças e tensões nas barras da treliça clássica de Ritter-Mörsch.
Em 1968, Fenwick e Paulay afirmaram que o mecanismo de ruptura das vigas por efeito de força cortante não estava ainda claramente definido. Os mecanismos existentes numa viga responsáveis pela transferência da força cortante são complexos e difíceis de identificar e medir, porque após a fissuração ocorre uma complexa redistribuição de tensões, influenciada por vários fatores. Os mecanismos básicos responsáveis pela transferência da força cortante numa viga são vários, e cada um deles tem uma importância relativa de acordo com o pesquisador ou órgão. Excluindo-se a armadura transversal são cinco os mecanismos mais importantes: 1) força cortante na zona de concreto não fissurado (banzo de concreto comprimido – Vcz); 2) engrenamento dos agregados ou atrito das superfícies nas fissuras inclinadas (Vay); 3) ação de pino da armadura longitudinal (Vd ); 4) ação de arco; 5) tensão de tração residual transversal existente nas fissuras inclinadas (MACGREGOR e WIGHT, 2005).
12
Os numerosos estudos feitos sobre o comportamento de elementos de Concreto Armado submetidos à flexão têm garantido um bom entendimento sobre o comportamento e os mecanismos de ruptura desses elementos, estando as conclusões incorporadas nas normas de vários países. Na questão dos elementos sob flexão e força cortante, no entanto, o progresso no entendimento e formulações não tem alcançado o mesmo sucesso. Isso se deve à complexidade do problema, segundo PARK e PAULAY (1975). Os elementos submetidos à força cortante geralmente encontram-se também sob os esforços de momento fletor, força axial e torção. Por isso, além do estudo sobre os efeitos da força cortante agindo isolada, é importante examinar também a interação com os outros esforços solicitantes. No caso das vigas sob flexão, os mecanismos resistentes à força cortante interagem com a aderência entre o concreto e a armadura longitudinal, bem como com a ancoragem dessa armadura na sua extremidade. A transferência da força cortante nas vigas de Concreto Armado é muito dependente das resistências do concreto à tração e à compressão, e tem, por isso, a ruptura frágil ou não dúctil por efeito da força cortante. Portanto, é muito importante o correto dimensionamento das vigas à força cortante, de modo a sempre evitar a ruptura frágil por força cortante, principalmente nos elementos sob ações de sismos e terremotos. Os modelos elásticos existentes proporcionam resultados aceitáveis na previsão da formação de fissuras e na resistência do elemento. No entanto, o comportamento de elementos sob força cortante torna-se muito complexo após o surgimento de fissuras, que alteram bastante as tensões existentes. As características dos cinco principais mecanismos de transferência de força cortante são descritas a seguir.
5.1 Ação de Arco
Nas proximidades dos apoios o banzo comprimido inclina-se em sua direção, formando um arco, como ilustrado na Figura 15.
q
P P
Figura 15 – Ação de arco ou de pórtico atirantado nas proximidades dos apoios. (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).
A formação do arco requer uma reação horizontal no apoio, que em vigas bi-apoiadas pode ser fornecida pela armadura longitudinal positiva, que deve ser cuidadosamente ancorada nas extremidades da viga para servir a esta função.
13
A resistência à força cortante proporcionada pela ação de arco depende muito da possibilidade de acomodação das tensões de compressão do arco, e a intensidade dessas tensões depende principalmente da inclinação do arco, dada pela relação a/d (a = shear span = distância entre o ponto de aplicação da força P e o apoio; d = altura útil da viga), podendo ser expressa em função da força cortante V ou do momento fletor:
Vd
Vd
Va d
a = = Eq. 7
A ação de arco é o mecanismo dominante de resistência de vigas-paredes à força cortante com o carregamento aplicado na sua região comprimida.
5.2 Concreto Comprimido Não Fissurado
A zona não fissurada de concreto comprimido pela flexão (banzo de concreto) contribui e proporciona uma certa resistência à força cortante atuante numa viga ou laje fissurada. A integração das tensões de cisalhamento sobre a altura desse banzo comprimido fornece uma componente de força cortante, que é as vezes a explicação para a chamada “contribuição do concreto” ( concrete contribution ), como encontrado em textos de normas estrangeiras, principalmente o ACI 318. Essa componente de força cortante não é a componente vertical de um banzo de concreto comprimido inclinado (ASCE-ACI, 1998). A contribuição do banzo comprimido depende principalmente da altura da zona comprimida, conseqüentemente, vigas com alturas baixas sem força axial de compressão apresentam pequena contribuição à resistência, porque a altura do banzo é relativamente pequena (TAYLOR, 1972, REINECK, 1991). Diversas pesquisas experimentais executadas em vigas com armadura transversal mostraram que a contribuição da zona do banzo comprimido de concreto alcança valores entre 20 % e 40 % de resistência à força cortante na seção, sendo esta variação dependente principalmente da forma e da natureza das fissuras nas vigas, conforme ACHAYA e KEMP (1965), FENWICK e PAULAY (1968), TAYLOR (1972) e GERGELY (1969), citados no ASCE-ACI (1973).
5.3 Transferência na Interface das Fissuras Inclinadas
Devido à rugosidade dos agregados ocorre um engrenamento entre eles nas superfícies das fissuras, o que proporciona uma resistência ao deslizamento e a transferência de força cortante através uma fissura inclinada. O termo engrenamento dos agregados ( aggregate interlock ) vem sendo substituído por atrito entre as superfícies ( crack friction ), porque os concretos de alta resistência têm matriz com resistência semelhante à dos agregados, contribuindo para o mecanismo da transferência de força cortante, mesmo após a propagação da fissura entre os agregados. Além disso o termo também indica que o mecanismo não depende meramente das característica do material, o concreto. Nas duas últimas décadas foram feitos grandes progressos para o entendimento desse mecanismo, principalmente por MILLARD e JOHNSON (1984), GAMBAROVA (1981), WALRAVEN (1981) e NISSEN (1987), entre outros citados pelo ASCE-ACI (1998). São quatro os parâmetros mais importantes no mecanismo de atrito nas fissuras: tensão de cisalhamento nas interfaces, tensão normal, largura e escorregamento da fissura. O atrito entre duas superfícies de concreto é reconhecido como um mecanismo básico para a resistência à força cortante em elementos fletidos de concreto. O atrito é aquele que ocorre numa fissura do concreto quando um deslocamento ( s ) é imposto à fissura (Figura 16).
15
Figura 17 – Curvas de grau de armadura transversal e resultados de ensaios de vigas. (POLI, GAMBAROVA e KARAKOÇ, 1987).
Segundo a ASCE/ACI (1998), WALRAVEN (1981) desenvolveu um modelo que considera a probabilidade que as partículas de agregado (idealizadas como esferas) se projetarão da interface da fissura. Neste modelo a relação entre as tensões e os deslocamentos são função da resistência do concreto à compressão, de concretos com resistências normais. Outras relações
foram desenvolvidas em função de f 'c, e embora grandes diferenças possam ocorrer entre as
leis constitutivas, o mecanismo de atrito na interface é agora bem conhecido e largamente aceito como um importante mecanismo de transferência de força cortante.
5.4 Ação de Pino da Armadura Longitudinal
A ação de pino de uma barra de aço inserida no concreto proporciona um mecanismo de transferência de força cortante que foi percebida na década de 30 do século passado, e ocorre num grande número de aplicações práticas das estruturas de Concreto Armado, como mostrado na Figura 18.
Figura 18 – Exemplos onde a ação de pino ocorre (POLI et al., 1992).
16
Em 1973, na ASCE/ACI (1973) foi comentado que procedimentos de projeto modernos consideravam a totalidade da força cortante sendo resistida pela zona de concreto comprimido e pelos estribos. Porém, estudos recentes demonstravam que a ação de pino da armadura longitudinal e o engrenamento dos agregados nas fissuras também desempenham efeito importante sobre a capacidade e o modo de ruptura das vigas. Estudos experimentais feitos por KREFELD e THURSTON (1966), PARMELEE (1961), FENWICK e PAULAY (1968), GERGELY (1969), TAYLOR (1969), BAUMANN (1968) e vários outros, citados no ASCE/ACI (1973), indicaram que a força resistente à força cortante proporcionada pela barra de aço na ação de pino ( dowel action ) é entre 15 % e 25 % da força cortante total. A força cortante que pode ser transferida pela ação de pino depende de vários parâmetros, como: a) quantidade de armadura; b) diâmetro da barra; c) espaçamento entre as barras; d) espessura do cobrimento embaixo da barra de aço; e) propriedades do concreto; f) tensões axiais na armadura; g) existência de armadura transversal impedindo o deslocamento da barra longitudinal. A resistência é pequena no caso de barras em região de tração e ausência de armadura transversal, porque a ação fica limitada pela resistência do concreto à tração. Na situação de carga última é necessário considerar as não-linearidades do concreto e do aço, assim como o dano no concreto localizado, na região próxima ao plano da força cortante. Existem equações desenvolvidas com base em modelos de análise limite simples que avaliam a capacidade última do efeito pino (Vu ), que fornecem resultados seguros, como indicados na Figura 19.
Figura 19 – Força Vu relativa ao efeito pino em função do diâmetro da barra, para concretos com resistência à compressão de 30 e 75 MPa (POLI et al., 1992).
Dois modos de ruptura podem ocorrer: fendilhamento do concreto do cobrimento, e esmagamento do concreto sob a barra, acompanhada pelo escoamento da barra (Figura 20). O modo de ruptura que irá ocorrer depende dos parâmetros listados anteriormente (POLI et al., 1992). O modo de ruptura do tipo I ocorre para pequenas espessuras de cobrimento, e para grandes cobrimentos ocorre a ruptura do tipo II, com o esmagamento do concreto sob a barra. Para o caso de ruptura devido ao aparecimento de fissuras de fendilhamento na superfície de concreto na região próxima à barra (ruptura tipo I - Figura 20), a resistência máxima do efeito pino não é proporcional ao diâmetro da barra, isto é, a eficiência do mecanismo é reduzida
