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Um estudo teórico sobre a variação da espessura de penetração de um fluido em movimento, utilizando a equação de momentum para estimar a mudança da espessura com o tempo. O documento também discute as condições de contorno e a solução da equação diferencial.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de estudo
1 / 39
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1
Hipóteses:
d
Continuidade:
(^) xu (^) yv zw = 0 v = cte 0 ( 5 ) 0 ( 4 )
r t ( r V ) = 0 r = cte V^ = 0
Condição de contorno: y=0 ; v=0 v = 0 V u y t i
(^) = ( , ) DD Vt g p V
2
Q. M. L - direção z e y satisfeitas de acordo com as hipótese listadas
Q.M.L. (Navier-Stokes):
Q. M. L - direção x
^ (^)
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
x u v w g p
m r = r =
2
y
u t
u
1) y=0; u = uo
Condição inicial 1) t ≤ 0 ; u = 0
Para introduzir a mudança de variáveis na equação de conservação, é preciso utilizar a regra da cadeia
mas
t
U t
U t
U
t t
=
t t
2
3 2 1 = 4 21 = ( ) ^ /
y
U y
U y
U
t t
= ^
y t y
= = 4
(^1) = 0 = 1 y t
t
t ;
t
y
4
1 2
2
(^) = =
2 2 4 2 t t
substituindo ^ ^ U U = U Condições^ de^ contorno
t
4
1
=
t
(^) = U
Condições de contorno
t t
4 ^ U^ = U 2 U 2
2
2
2
(^4122) 2
2 T t dd t T^ =^ H dd H H dd^ H = ^ l
t
l d t
4
= ln T = l 4 ln t ln C
T = C t^
8
Condições de contorno e inicial
1 2
0
1 2 =
= e ^ '^ d '
C
= (^)
(^)
0
1 2 U C e '^2 d ' C
( ) ' ' ( ) ( )
(^) 1 2 1 erf erfc 0
(^2) = então U = e ^ d =
erf é a função erro e erfc é a função complementar
=
( , ) ( )
( , ) ( )
t
u y t u y
t
u y t u y
4
erfc
4
1 erf
A espessura de penetração pode ser definida como a distância da placa onde a velocidade é 1% de uo. Neste caso, 2, logo d = 4 t
Hipóteses:
Como já vimos, a equação da continuidade incompressível é
o que implica que
V^ = 0 V u y t i
(^) = ( , )
Vimos que a equação de conservação de quantidade de movimento se reduz a
2
y
u t
u
_o
Condição inicial 1) t ≤ 0 ; u = 0 para 0 < y ≤ b
Adimensionalizando
2 2
1 2 b t t (^) b ref
U U ref
= =
o
U u = v b = y tref
t t =
t
U (^) = U
b^2
O tempo característico corresponde aproximadamente ao tempo para o momentum se difundir em uma distância b Condições de contorno e inicial
Primeiro vamos encontrar a solução em regime permanente
2 0 1 2
U C C d
Condições de contorno,
U ( ) = 1
Condições de contorno
Substituindo na equação diferencial obtém-se
2 0
= d
d U 2
t
U (^) t (^) = U t
Condições de contorno e inicial
Procura-se solução do tipo: U = U ( ) U t ( , t )
U∞ é a solução em regime permanente e Ut é a parte transiente da solução que desaparece quando t ∞
f (^) n = Bn sin( n )
Condições de contorno
Porém existem infinitos valores c que satisfazem esta condição, i.e., são os auto-valores cn=n , n = 0, 1, 2, 3, .....
Para cada auto-valores, existe uma auto-função correspondente fn e função gn
n = 0, 1, 2, 3, .....
Aplicando a condição inicial: t =0, U (^) t = U∞ temos
Para determinar as constantes Dn precisamos explorar a condição de ortogonalidade.
= = 1
1 n n^
D sin( n )
Cada produto gn fn satisfaz a equação diferencial, então a solução completa é a soma do todas as soluções particulares
= t (^) n = n U D exp( n^2 ^2 t )sin( n )
onde Dn = An Bn.
Como o termo n =0 é nulo e sin ( n ) = sin ( n ), podemos omitir o valor nulo e negativos de n.
U (^) t = (^) n = 1 Dn exp( n^2 ^2 t )sin( n )
A equação anterior pode ser reescrita como:
(^) q x x y dx
p x dy d
d x
l
= =
=
=
x p x f f x e
q x p x f x
p x e
1
1
com 2
No exemplo do escoamento transiente entre placas: p(x) =1 ; q(x)=0 ; (x) =
Funções ortogonais: Sejam j n (x) e j m (x) duas auto-funções correspondentes a auto-valores l n e l m distintos. Estas funções são ortogonais num intervalo (a, b) com respeito a função peso (x) pois: ( x ) ( x ) ( x ) dx ; ( m n )
b a
Voltando ao exemplo: Para determinar as constantes Dn vamos utilizar a condição de ortogonalidade.
então
1/2^0 quandoquando mm n n
1
== =
= =
m d D n m d n n m
( ) sin( ) sin( ) sin( ) /( )
n n n
D 1
1
m n m n n
D 1
1
oscilante com descolamento X(t)= Xo sin t
Como já vimos V ^ = u ( y , t ) i ^22 y
u t
u
u ( , t ) X cos( t ) v o
Condições de contorno, t > 1) y=0 ; u = vo cos ( _t)
As partículas de fluido estarão sujeitas a oscilações com freqüência , porém com ângulo de fase e amplitude que são função somente da posição.
Para a obtenção desta solução “ permanente periódica ” é conveniente utilizar uma técnica baseada em números complexos. A solução desejada é a solução assintótica para t ∞.
