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Escoamento Permanente
Gradualmente Variado
LFRReis
Já vimos: tipos de escoamento
Escoamento Permanente Gradualmente
Variado (EPGV)
• acontece quando:
• alterações promovidas numa seção do canal, pela introdução de dispositivos ou
singularidades, provocam a variação gradual dos parâmetros hidráulicos do
escoamento (velocidade, profundidade, etc.) , modificando, o perfil da linha
d’agua original, na forma das chamadas curvas de remanso
- barragem na seção de um rio ou canal (degrau de grande altura)
- degrau (∆Z+) ou rebaixo (∆Z-)
- alargamento ou estreitamento de seção
- comporta de fundo (adufa)
- mudança de declividade de fundo do canal
- queda brusca
- combinações de diferentes efeitos citados anteriormente
Exemplos de dispositivos ou singularidades que podem ser
responsáveis pela ocorrência do EGV :
Classificação das curvas de remanso
1.de acordo com a declividade de fundo do canal e;
2. de acordo com a zona ou faixa de desenvolvimento do perfil d’água
em relação às profundidades normal e crítica.
Classificação de acordo com a declividade de fundo do canal (5 Tipos)
1. Curvas M (mild) - canais de baixa declividade (I 0 < Ic)
2. Curvas S (Step) - canais de alta declividade (I 0 > Ic)
3. Curvas C ( Critical) - canais de declividade crítica (I 0 = Ic)
4. Curvas H ou N ( Horizontal ou Null) - canais de declividade
horizontal ou nula (I 0 = 0)
5. Curvas aclive (I A ( Adverse) – canais de declividade adversa ou em
Tipo de declividade de fundo do canal Perfil longitudinal esquemático do canal
Declividade baixa ou moderada “ M ild” ( M ) I 0 < I c
Declividade alta “ S teep” ( S ) I 0 > I c
Declividade crítica “ C ritical” (C) I 0 = I c
D “Horizontal” (N oueclividade nula H ou) horizontal “Null”ou I 0 = 0
Declividade adversa “ (fundo do canal ascendente) A dverse” (A) I 0 > 0
I 0 > 0 Classificação de acordo com a declividade de fundo do canal (5 Tipos) Classificação de acordo com a zona ou faixa de desenvolvimento do perfil d’água (3 tipos)
Zona 1 : profundidades maiores que y 0 e yc
Zona 2 : profundidades entre y 0 e yc
Zona 3 : profundidades menores que y 0 e yc
Curvas H2 e H3 (HORIZONTAL) canais horizontais (declividade nula) Nestes canais não é possível a existência de movimento uniforme (y 0 não existe) Zona 1 : profundidades maiores que y 0 e yc Zona 3 : profundidades menores que y 0 e yc H H y > yc y < yc Curvas A2 e A3 (ADVERSE) canais em aclive Zona 1 : profundidades maiores que y 0 e yc Zona 3 : profundidades menores que y 0 e yc Nestes canais não é possível a existência de movimento uniforme (y 0 teoricamente = infinito) y > yc y < yc Curvas de Remanso: Equacionamento
Equação da Energia Total em Uma Seção Genérica
Pela análise da Figura, a específico, pode ser escrita como: energia total disponível numa dada seção, por unidade de peso
2 V H z y z E g Curvas de Remanso: Formulação
- Equação Diferencial do Escoamento
- Hipóteses simplificadoras:
medida Declividade perpendicularmente I 0 de fundo do canal ao fundo é pequena, do canal de podemodo ser que confundida a altura d’água com a
altura d’água medida na vertical;
Canal é prismático, ou seja, a seção transversal é constante ao longo do
comprimento em forma e em dimensões;
Coriolis Distribuição pode de ser velocidades considerado em igual uma a um seção; é fixa, isto é, o coeficiente de
Distribuição de pressões é hidrostática, ou seja, existe paralelismo entre as
linhas verticais de de corrente pressão. do escoamento , podendo ser desprezadas as forças
Curvas de Remanso: Equacionamento Equação da Energia Total em uma Seção em termos de Q
2 V H z y z E g
2 2 Q H z y z E gA Q = V.A E = energia específica Curvas de Remanso: Equacionamento Derivação da Eq. da Energia Total em x
2 V H z y z E g dH dz dE dx dx dx dE dH dz dx dx dx Curvas de Remanso: Equacionamento
- Equação Diferencial do Escoamento dE dH dz dx dx dx f dH I dx 0 dz (^) I dx
0 f
dE I I dx If : é a declividade da linha de energia, apresentando valor negativo pois decai na direção adotada para o eixo x (escoamento). I adotada para o eixo x (escoamento). 0 : é a declividade de fundo do canal, de valor negativo, pois decai segundo a direção Curvas de Remanso: Equacionamento
- Equação Diferencial do Escoamento : (dy/dx)
0 f
dE I I dx 1 2
r
dE (^) F dy
1 2
f
r
dE dx I^ I^ dy dE (^) F dx dy 𝑑𝐻 𝑑𝑦 =
Curvas S1, S2 e S
a b c d e f g h i j=f/i k
Decliv. fundo do Canal Tipo de perfil Faixa de profund. Comparaçã o
y e y 0
Comparaç ão I 0 e If Valor de (Io-If)
numerador
Comparaçã o
y e yc
Valor de Fr 2 Valor de (1 Fr 2 )-
denominador
Valor de
dy/dx
Desenvolv. da curva
Steep
I 0 >Ic y 0 <yc
S1 y>y 0 >yc y>y 0 If <I 0 >0 y>yc <1 >0 + + = + ascendente
S2 y 0 >y>yc y<y 0 If >I 0 <0 y>yc <1 >0 − + = - descendente
S3 y 0 >yc>y y<y 0 If >I 0 <0 y1 <0 − − = + ascendente
0 1 2 f r dy^ I^ I dx F (^)
f.^. 23
H
I^ n Q
A R
Curvas C1 e C
a b c d e f g h i j=f/i k
Decliv. fundo do Canal Tipo de perfil Faixa de profund. Comparaçã o
y e y 0
Comparaç ão I 0 e If Valor de (Io-If)
numerador
Comparaç ão
y e yc
Valor de Fr 2 Valor de (1 Fr 2 )-
denominador
Valor de
dy/dx
Des. da curva
Critical I 0 =Ic y 0 =yc
C1 y>y 0 =yc y>y 0 If <I 0 >0 y>yc <1 >0 + + = + ascendente
C2 (^) Não existe esta faixa de desenvolvimento da curva pois y 0 =yc
C3 y<y 0 =yc y<y 0 If >I 0 <0 y1 <0 − − = + ascendente
0 1 2 f r dy^ I^ I dx F
f. H
I^ n Q
A R
Curvas H2 e H
Decliv. fundo^ a^ b^ c^ d^ e^ f^ g^ h^ i^ j=f/i^ k
do Canal^ Tipo de perfil^ Faixa de profund.^ Comparaçã y e y o 0 Comparaç ão I 0 e If numerador^ Valor de (Io-If)^ Comparaç y e ão yc^ Valor de Fr^2 denominador^ Valor de (1 Fr^2 )- dy/dx^ Valor de^ Desenvolv. da curva
Horizontal I 0 =^0 y 0 = +∞
H1 Não existe esta faixa de desenvolvimento da curva pois y 0 teoricamente encontra-se em +∞
H2 y 0 >y>yc y<y 0 If >I 0 <0 y>yc <1 >0 − + = - descendente H3 y<y 0 <yc y<y 0 If >I 0 <0 y1 <0 − − = + ascendente 0 1 2 f r dy^ I^ I dx F (^) 2 (^23)
f. H
I^ n Q
A R
H 2 H 3 Curvas A2 e A
Decliv. fundo^ a^ b^ c^ d^ e^ f^ g^ h^ i^ j=f/i^ k
do Canal^ Tipo de perfil^ Faixa de profund.^ Comparaçã y e y o 0 Compara ção I If 0 e numerador^ Valor de (Io-If)^ Compara y e y çãoc^ Valor de Fr^2 denominador^ Valor de (1 Fr^2 )-^ Valor dy/dx de^ Desenvolv. da curva
Steep I 0 >
y 0 =+∞
A1 Não existe esta faixa de desenvolvimento da curva pois y 0 teoricamente encontra-se em +∞
A2 y 0 >y>yc y<y 0 If >I 0 <0 y>yc <1 >0 − + = - descendente A3 y<y 0 <yc y<y 0 If >I 0 <0 y1 <0 − − = + ascendente 0 1 2 f r dy^ I^ I dx F (^)
f.^. 23
H
I^ n Q
A R
^ ^
- Curvas de Remanso: M1, M2 e M3 Curvas de Remanso:S1, S2 e S
- Curvas de Remanso: C1 e C3 Curvas de Remanso:H2 e H
Cálculo das Curvas através do “Direct Step Method” (Diferenças Finitas)-cont. Na forma de diferenças finitas pode-se escrever (Eq.13): Relembrando-se que If pode ser representada por Chezy ou Manning; Na Equação 1.13, ∆E e If são dependentes de y, para um valor de Q e n constantes.
∆𝑥 = 𝐼 0 ∆ −𝐸 𝐼𝑓 =^ ∆^ 𝑦^ +^
𝑉 2𝑔^2
Cálculo das Curvas através do “ A aplicação da Equação 1.13, para um trecho de tamanho ∆x = x Direct Step Method” (Diferenças Finitas)-cont. 1 e 2, pode ser expressa por:^2 - x^1 , entre duas seções Eq. 14 Eq. O valor de e 2, ou seja: é calculado considerando-se a altura média da água entre as seções 1
∆𝑥 = 𝐼 0 ∆ −𝐸 𝐼𝑓 =^ ∆^ 𝑦^ +^
𝑉 2𝑔^2
∆𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 1 = 𝐸 𝐼^20 −−^ 𝐸𝐼𝑓^1
𝑦 = 𝑦^1 + 2 𝑦^2 𝐼𝑓 =^ 𝑓(𝑦)
Cálculo das Curvas através do “ A partir da Equação 14, discretizada Direct : Step Method” (Diferenças Finitas)-cont. Assumindo uniforme para o cálculo de-se válido o emprego de uma equação de resistência do movimento I f , por exemplo a equação de Manning: O procedimento de cálculo pode seguir os seguintes passos:
𝐻^2 /^3
∆𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 1 = 𝐸 𝐼^20 −−^ 𝐸𝐼𝑓^1
Cálculos- passo a passo “Direct Step Method” (Diferenças Finitas) 1.O cálculo tem início com um y 1 conhecido (a altura d’água y na seção de controle) 2.Adota quando o cálculo se iniciar da região-se um valor para ∆y, positivo ou montante para jusante negativo, se a curva for e negativo quando iniciar da região ascendente ou descendente, respectivamente. Positivo jusante para montante. 3.Com o ∆y conhecido, temos o valor de y 2 , que pode ser maior ou menor que y 1 4.Tendo y 1 e y 2 , calcula-se E 1 e E 2 , portanto tem-se o valor do numerador das Equações 1..
- Tendo se, portanto, o denominador das equações y 1 e y 2 , é possível determinar o valor de, 1.14 e assim calcular , através de Manning. Tem- (^6) procedimentos se sucedem, passo a passo, até atingir um valor coerente da extensão total x (dimensão longitudinal da. Utilizando-se a equação 1.14, e conhecendo-se (E 2 - E 1 ) e , calcula-se o primeiro valor de ∆x. A partir da seção 2, os curva). (M 1 , S 2 )^ ou, alternativamente^ (M 2 , M 3 , S 1 e^ S 3 )
𝑦 = 𝑦^1 + 2 𝑦^2 𝐼𝑓 =^ 𝑓(𝑦)
∆𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 1 = 𝐸 𝐼^20 −−^ 𝐸𝐼𝑓^1 ∆𝑥^ =^ 𝑥 2 −^ 𝑥 1 =^ 𝐼 0 −𝐸 12 −^ 𝐸^1
2 (𝐼𝑓^1 +^ 𝐼𝑓^2 )
Outro método de integração numérica
H
H
I n Q
dy A R
dx Q B
gA
^ ^
Nosso problema 𝑦′^ = 𝑓 𝑦 = 𝑘 1 = 𝑓(𝑦 1 ) 𝑘 2 = 𝑓(𝑦 1 + ∆ 2 𝑥 𝑘 1 ) 𝑘 3 = 𝑓(𝑦 1 + ∆ 2 𝑥 𝑘 2 ) 𝑘 4 = 𝑓 𝑦 1 + ∆𝑥𝑘 3 𝑦 2 = 𝑦 1 + ∆ 6 𝑥 (𝑘 1 + 2 𝑘 2 + 2 𝑘 3 + 𝑘 4 ) 𝑥 2 = 𝑥 1 + ∆𝑥
Observações:
∆x: positivos negativo quando iniciar na região jusante. ou negativos. Positivo quando o cálculo se iniciar na região montante e (depende do sentido em que o controle é
exercido)
Os as condições de contorno do problema. Por exemplo, no cálculo da curva M1, a valores da extensão total , ou devem estar de acordo e estarem compatíveis com
extensão total da curva , pode ter início nas proximidades do ponto de descarga do vertedor, terminando no ponto de equivalência com a altura normal situada na porção
montante do canal.
No valor constante para ∆y para cálculo dos valores correspondentes de ∆x. Conforme já “passo a passo”, nas mudanças progressivas das seções, costuma-se adotar um
citado, discretização a precisão dos. cálculos será tão maior quanto menor for o intervalo de
No curta e devido a isto, há que se tomar o cuidado em adotar valores relativamente cálculo por exemplo da citada curva M3, trata-se de uma curva relativamente
menores de ∆y, quando extensão. comparados ao caso da curva M1, em geral de longa
Exercício completo (13-6 do livro)
Um canal retangular, suficientemente longo, de 1 , 0 m de largura, I 0 =
0 , 001 , n = 0 , 015 , transporta em regime permanente e uniforme uma
certa vazão com altura d’água 0 , 50 m. Em uma determinada seção
necessita-se de uma altura d’´agua igual a 0. 8 m e para isso instalou-se
um vertedor retangular de parede delgada (que satisfaz eq. de Francis),
com a mesma largura do canal. Determine a altura que deve ter o
vertedor. Desenhe o perfil do escoamento , com as alturas que seja
possível calcular. Lembrando, para vertedor retangular de parede fina,
eq. de Francis (eq. 12. 75 ): Q = 1. 838 Lh^3 /^2 , com h carga sobre o
vertedor.
Exercício 13-6: resolução-Step Method:
y (m) 0,800 A (m2) 0,800 E (m) 0,814 dE (m) - ym (m) - A (m2) - ARH2/3 - /n If - dx - (m) x (m) 0,
0,790 0,780 0,7900,780 0,8040,795 - 0,010-0,010 0,7950,785 0,7950,785 24,11723,736 0,00030,0003^ - -13,79613,970 - -13,79627,
dy= - 0,
yc (m) y0>yc y>y0 Curva
declividade curva^ canal de fraca
M zona 1 M
B (m) 1,000 0,001I 0 0,015n 0,500 y0 (m)
A (m 0,500 2 ) 2,000P (m) RH (m)0,250 Q (m3/s)0,
h (m)^ vertedor p (m) nível (m)
canal
Exemplo de aplicação 1 Um dissipação vertedor retangular de uma debarragem mesma descarregalargura que umao vertedor vazão. (^) Aunitária formação q = de 7. 0 um m 3 ressalto/(s.m) em hidráulico uma bacia deverá de ser crítico ocorrer sobre pela a soleira, colocação determine de uma a soleiraaltura elevada∆Z requerida na extremidade pela soleira da para bacia que. Supondo o ressalto escoamento se forme dentro da bacia de dissipação. Despreze as perdas de carga no escoamento pelo vertedor.
