Notas sobre Escoamento na Camada Limite, Esquemas de Crescimento

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Escoamento Na Camada

Limite, Re 

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Re >> 1

Re ~ 1

Região onde predominam efeitos viscosos com presença de gradientes de velocidade

 Termos Viscosos 

Re VL  TermosInerciais 

^ 

U ext U ext

L

N. Reynolds e seu efeito no escoamento

Escoamentos com ReL >> 1

‘Euler & Camada Limite

=

Termo Inercial

Força Pressão

Termo Viscoso

Força Campo



 

 Dt

DV*  p*^2 * L

V Re

(^1)  

 

 * L

g Fr

1 

 



Para ReL >> 1 a contribuição dos termos viscosos é muito pequena. O balanço de forças se dá entre os termos convectivos e pressão. Resulta na equação de Euler:

  ^  j i

i j i x

P x

V V t

V 

  ^  

   

 

Escoamentos com ReL >> 1

‘Camada Limite & Euler’ Região onde a Eq.

Euler é válida,os efeitos viscosos são desprezíveis; região fora da Camada Limite

Região da Camada Limite onde os efeitos viscosos não são desprezíveis; a Eq. Euler não é válida, dentro

L

d

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Características da Camada Limite

Região Externa: os efeitos viscosos são desprezíveis, escoamento pode ser modelado por Euler ou Potencial.

Região Interna: os efeitos viscosos e os de inércia são igualmente importantes. Há atrito na parede. Bernoulli não pode se usado.

y = d(x) há um ‘casamento’ entre a região externa e a interna. Ambas soluções devem coincidir para y = d(x)

Camada limite hidrodinâmica sobre uma placa plana

d(x) = espessura camada limite d(x)/L << 1

Camada Limite

A camada limite hidrodinâmica é uma pequena região próxima da parede ou ‘shear layer’ onde existe um forte gradiente de velocidades.

Esta região que faz a ‘ponte’ entre a parede e o escoamento externo, Euler. Dentro da C.L. os efeitos viscosos são igualmente importantes.

1 L

d 

Importante característica da C.L.

  x t  m^ e c^ t  me cm^ ^ t Eq.(1) Solução Geral p/ m  (^0)  

 /m >> c/  porque m  0. A solução geral possui duas constantes de tempo: uma de decaimento lento (  /m)t e-(c/  )t^ e outra de decaimento rápido e-

   

c x t m^ e t^ me m^ t^ e x t e mt Eq.(2)

   ^   ^    

A solução aproximada, Eq.(2), sol. não satisfaz x( 0 )= 0 e x’( 0 )= 1

m c^ t x t e 

  

0

mx  x  cx  0

O termo que decai vagarosamente,

é a solução da eq.:

Para t = 0 , x( 0 )= 0 e x’( 0 )= 0 que não satisfazem C.I. x( 0 )= 0 e x’( 0 )= 1!

O termo que decai rapidamente surge na equação geral. Ele só existe nos primeiros instantes e, por meio dele, a solução pode satisfazer as C.I. : x(0)=0 e x’(0)=

Veja uma breve introdução ao método de perturbação no link:

0

1

0 0.5 1 1. t

m=0. m=0. m=0.

x(t)   m c^ t (^) x t  e  decaimento lento

decaimento

rápido

(t)

ESCOAMENTO PARABÓLICO

uma direção predominante – one way flow

Equação N-S para Camada Limite Bi-dimensional (x,y)

momentoy 0 p y

y

u x

p y

u v x

u u t

u momentox

d dy

2

2

^ 

^ 

 ^ 



Isto faz que a eq. dir. x seja parabólica e que a eq. dir. y informe apenas que não há grad pressão normal `a C.L. Como d /L << 1 os efeitos de curvatura dentro da camada limite são desprezíveis, p/  y = 0 e (x,y) também pode representar coordenadas curvilíneas nas direções paralela e normal à superfície do corpo.

Como d /L << 1 pode-se mostrar, através da análise de escala, que u/y >> u/x e a eq. N-S reduz para