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Este documento contém estudos sobre dinâmica de fluidos, equações de bernoulli, escoamento de fluidos e cálculos relacionados. É apresentado o cálculo da aceleração de uma partícula de fluido em um ponto específico, a verificação de um campo de velocidade irrotacional e a aplicação da equação de bernoulli em um escoamento de um jato contra uma parede.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de aula
1 / 35
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1
Em diversas situações, como nos escoamentos de fluidos de baixa viscosidade longe de paredes, as forças de cisalhamento podem ser desprezadas e a força de superfície por unidade de área agindo sobre cada face do volume de controle diferencial é igual a pressão com sinal negativo.
ou
22
Equação de Euler
z^ z
u r θ z
u r^ θ
u t r
u
θ
r θ z
u r θ z
u r^ θ
u t r
u
r
θ z
u r θ z
u r^ θ
u t r
u
z z z z
θ θ θ θ
r r r r
radial
Direção angular
Direção axial
z
y
x
coordenadas cartesianas
coordenadas cilíndricas
4
ds s
z ds g s
P ρ
1 ds 2
V s
ds t
V 2
constante
gz ρ
dP 2
V ds t
V 2 Equação de Bernoulli
a constante de Bernoulli é única ao longo de uma mesma linha de corrente
5
2
Casos particulares:
Regime permanente:
2
2
(^22)
2 1 1 2
2 1 2 2
P gz
V P gz
7
Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica Aplicando a equação de Bernoulli na mesma cota de altura, temos
p = pressão estática ou
termodinâmica
po = pressão de estagnação
= pressão dinâmica
8
P* P ρ gh ρgH
P* P ρgh ρgH
1
2
h p* (^) p*
g h ρ
ρ ρ ρ
P 1 P 2 m
ρ
2 ρ ρ g h V m^
( )
(^1) gz ρ
P 2
V gz ρ
P 2
V
ρ
P 2
V ρ
P 1 2
ρ
P P V 1 2
^2
10
Exercício 6.4: Determine: (i)a velocidade da água saindo como um jato livre. (ii) a pressão no ponto A
Exercício 6.5 e 4.6: Água escoa sob uma comporta. Determine a força na comporta da figura.
D 1 =1,5 m (^) D 2 =0,0563 m
11
D 1 =1,5 m (^) D 2 =0,0563 m
V 1 (^) A 1 V 2 A 2 V 1 V 2 A 2 / A 1 0
2 2 2 0
2 1
0
m V V D W V SC
u V ndA VC
u d ext t
( (^) 1 2 ) 0
2 0
1
1 2 R PWdz PWdz P W D D ext
F (^) atm
D D
2
2
2 2 1
1
2
z 0
ρ
P g D 2
V ρ
V 22 2 g ( D 1 D 2 )
13
Exemplo 6.9: (i) Determine a velocidade da água na saída da tubulação. Em uma primeira aproximação, despreze o atrito e considere regime permanente e D >> d
1
2
h
d
b
Equação da continuidade:
VC SC
^ ^ ^
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável (^) V n d A V A V A SC
D
V V d 2
2 1 2
mas
14
^ ^2 ^ ^ g^ z^ ^ z
2 1
2
^2 ^1 ^2 ^ ^ g^ z^ ^ z
2 1
2
o
2
16
ds^ ^ d p^ ^ V^2 ^ V^ ^ g^ z^ ^ z
2 1
2
g z z 0 2
ds p p V t
2 1
2 1
2 (^2212) 1
g h 0 2
ds V t
ds V t
V o
2 2
Vt ds
2 b V 0 Vt 0
b 1 2 b
1 1 2
^
^
g h 0 2
dt
dV o 2 22
1
2
h
d
b
17
d V g h V
d t o L
2 2
(^2) 2 2 integrando 0 V 2 V 2 e 0 t t
V g h
t o L^ g ho
2 2 2
2
tanh
Note que quando t→∞ V 2 2 g ho (caso anterior) 0
1
0 1 2 3 4 t sqrt(2 g ho) /(2L)*
V2/ sqrt(2 g ho)
19
ds^ ^ d p^ ^ V^2 ^ V^ ^ g^ z^ ^ z
2 1
2
2 1
2 1
2 (^2212)
1
t
ds V t
ds V^ V^ g h
b
1 b^2
2 22 12 ^ ^ ^ ^
d V d t
ds d V d t
ds V^ V^ g h d V d t
h d V d t
L V^ V^ g h
b
b
1 2 2 2
2 1
2 1 2 2
2 1
2
1 2 2
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^0
2 gh^0
V A L 1 A dt h dV A
A dt
d V^222
1
2 2 1
(^2 2)
g h^0 2
V A
h L 1 A A
A dt
d V^222 1
2 1
(^2 2)
(^)
20
(^)
1 2 2
1
2
2 2
2 1
2 2
A
V A dt
dh
2 AA h L
2 gh 1 AA V
dt
dV
(^)
h L A
A A
2 A
dt
dh A
A A
2 gh 1 A
dt
d h
1
2 2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
condição inicial: 1) t = 0 , h = ho , 2) t = 0 , V 2 = 0
Para resolver estas equações diferenciais ordinárias, o MatLab pode ser utilizado. As
equações serão resolvidas pelo método de Runge-Kutta.
Para utilizar o método de Runge-Kutta, deve-se resolver as duas equações de 1a. ordem para h e V 2 , em vez da eq. de 2a. ordem para h
