Baixe Equações polinomiais: Soluções algébricas, geométricas e ... e outras Notas de estudo em PDF para Geometria, somente na Docsity!
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Matemática
Mestrado Pro ssional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT
Equações polinomiais:
Soluções algébricas, geométricas e
com o auxílio de derivadas †
por
Ronaldo da Silva Pontes
sob orientação do
Prof. Dr. Napoleón Caro Tuesta
Dissertação apresentada ao Corpo Do- cente do Mestrado Pro ssional em Ma- temática em Rede Nacional PROFMAT CCEN-UFPB, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Agosto/ João Pessoa - PB †O presente trabalho foi realizado com apoio da CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior.
P814e Pontes, Ronaldo da Silva. Equações polinomiais: soluções algébricas, geométricas e com o auxílio de derivadas / Ronaldo da Silva Pontes.-- João Pessoa, 20 13. 89 f. : il. Orientador: Napoleón Caro Tuesta Dissertação (Mestrado) – UFPB/CCEN
- Matemática. 2. Polinômios. 3. Equações polinomiais.
UFPB/BC CDU: 51 (043)
Agradecimentos
Em primeiro lugar, a Deus, por ter me dado forças e capacidade para executar esse trabalho.
Aos meus queridos pais, que contribuíram de forma prática na formação do meu caráter, com seus exemplos de dignidade e honestidade.
À minha amada esposa por ter abdicado de minha presença e assumido minhas responsabilidades familiares.
Aos meus lhos, cujo amor e carinho trouxeram alegria nos momentos de exaus- tão e desânimo.
Aos meus irmãos que sempre me apoiaram nessa caminhada.
A todos os professores e colegas de curso pelo crescimento intelectual proporci- onado e às coordenações, local e geral, do PROFMAT pelo excelente projeto que concretizou a realização de um sonho.
A Napoleón Caro Tuesta, meu orientador, por toda contribuição intelectual e pelas horas de empenho em busca de me mostrar os melhores caminhos da pesquisa e pela paciência com minhas limitações e di culdades que foram superadas com seu excelente apoio.
Aos amigos, Aldeck, Alysson, Diego, Francisco e Marcelo pelo companheirismo durante todo o curso e as horas de estudos compartilhadas.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pela bolsa concedida.
À Universidade Federal da Paraíba-UFPB onde conclui minha graduação e agora este trabalho de mestrado.
Dedicatória
Aos meus pais, José e Maria Lúcia, a minha esposa Marizete e aos meus lhos Déborah e Miguel.
Abstract
Since ancient times, for about 4000 years, many people have already solved poly- nomial equations in their daily lives through problems and practices constructions. In this paper, we study some algebraic and geometric methods used for solving polynomial equations. We start talking about factoring and division of polynomi- als, device Briot-Ru ni, relationships Girard, theorem of the complex roots and the theorem of the rational roots research. In chapter 2, we will show the methods algebraic of Viète, Cardano, Ferrari and Euler, and some geometric methods, such as the of proportion, of the Descartes and Thomas Carlyle and of the conicas. In section 3, we see the derivative of a polynomial, Newton's iterative method, transla- tion of coordinate axes, using the derived for to nd coe cients of the reduced form of the polynomial and with the aid of derivatives show a method of resolution the equations 3rd and 4th degrees.
Keywords: polynomials, polynomial equations.
vi
Sumário
Introdução
Este trabalho trata do uso das derivadas da função polinomial para determinar os coe cientes das equações polinomiais na forma reduzida ou canônica, obtidos da transformação x = y − an− 1 /nan que converte qualquer equação completa de grau n da forma anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0 em uma equação de grau n em y faltando o termo de expoente n − 1 , a qual chamaremos de forma reduzida ou canônica. A busca de uma forma mais simples para resolver equações polinomiais levou os gênios Vièti, Cardano e Ferrari a fazer uma translação do domínio da função polinomial de grau correspondente pela seguinte substituição x = y − b/na onde n é o grau da função polinomial. O grande problema no nosso ponto de vista são as relações entre os coe cientes da forma reduzida e a forma original (completa). Observe: Na equação completa do 2o^ grau ax^2 + bx + c = 0, com a 6 = 0, mediante a subs- tituição de x por y − b/ 2 a apresenta a forma reduzida y^2 + p = 0, onde a relação entre os coe cientes é:
p =
4 ac − b^2 4 a^2
Na equação completa do 3o^ grau ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, com a 6 = 0, mediante a substituição de x por y − b/ 3 a apresenta a forma reduzida y^3 + py + q = 0, onde as relações entre os coe cientes são:
p = −
b^2 3 a^2
c a
q =
2 b^3 27 a^3
bc 3 a^2
d a
Na equação completa do 4o^ grau ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e = 0, com a 6 = 0, mediante a substituição de x por y − b/ 4 a apresenta a forma reduzida y^4 + py^2 + qy + r = 0 onde p, q e r são:
ix
p =
c a
3 b^2 8 a^2
q =
d a
bc 2 a^2
b^3 8 a^3
r =
e a
bd 4 a^2
b^2 c 16 a^3
3 b^4 256 a^4
Como são indispensáveis nos métodos de resolução de cada equação, vamos pro- por um método para relacionar de forma simples os coe cientes da equação reduzida com os da forma original (completa), usando apenas as derivadas da função polino- mial que possui as mesmas raízes que a equação original (completa). Mostraremos também que toda equação na forma reduzida obedece a uma fórmula geral, baseada na série de Taylor. Iniciaremos falando sobre polinômios, equações polinomiais e derivada de uma função polinomial, demonstraremos na medida do possível alguns resultados e teore- mas. Estudaremos alguns métodos algébricos de resolução de equações polinomiais destacando, o método de completar quadrados e a fórmula de Bháskara para a equação do 2o^ grau, a fórmula de Cardano e a solução trigonométrica de Viète que dispensa o "calculo de raízes de números complexos" para a equação do 3o^ grau,
2.4 Equações do 4o grau e o método de Ferrari
Newton para equações de grau maior que 4. Veremos também alguns métodos ge- ométricos que podem ser aplicados facilmente nas aulas do ensino médio, como os métodos de Descartes e Thomas Carlyle para a equação do 2o^ grau e o método das cônicas para a do 3o^ grau. Em cada sessão dos capítulos serão expostas a utilidade de cada método e técnica de resolução de equações polinomiais, obedecendo à seguinte sequência: fatoração de polinômios, pesquisa de raízes racionas, e em último caso, as fórmulas.
x
1.1 Polinômio em uma variável
1.1.1 Função polinomial
De nição 1.2 Uma função f: R → R é do tipo polinomial quando existem nú- meros reais a 0 , a 1 , ..., an tais que, para todo x ∈ R tem-se
f (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0.
Observações:
- Funções polinomiais são originadas por polinômios.
- A cada função polinomial associa-se um único polinômio e vice-versa, de forma que não há confusão em nos referirmos sem distinção às funções polinomiais ou aos polinômios.
Exemplos:
- As funções polinomiais do tipo p(x) = a, com a 6 = 0, são chamadas de funções constantes.
- As funções polinomiais da forma p(x) = ax + b, com a 6 = 0, são chamadas de funções a ns.
- As funções polinomiais do tipo p(x) = ax^2 + bx + c, com a 6 = 0, são chamadas de funções quadráticas.
Polinômio identicamente nulo
De nição 1.3 Um polinômio cujos coe cientes são todos iguais a zero é denomi- nado de polinômio identicamente nulo ou polinômio zero. De modo que, um polinômio p(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 é identicamente nulo se an = an− 1 = · · · = a 1 = a 0 = 0.
Observação: O grau do polinômio identicamente nulo não é de nido.
Igualdade de polinômios
De nição 1.4 Dados dois polinômios p 1 (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 e p 2 (x) = bmxm^ + bn− 1 xn−^1 + · · · + b 1 x + a 0. Então p 1 (x) = p 2 (x) se, m = n e, além disso, os seus coe cientes são ordenadamente iguais, ou seja:
an = bm, an− 1 = bm− 1 , ..., a 1 = b 1 , a 0 = b 0.
1.1. POLINÔMIO EM UMA VARIÁVEL
Exemplo: Determine os valores de a, b, c, d e e de modo que os polinômios p(x) = ax^4 + 5x^2 + dx − b e q(x) = 2x^4 + (b − 3)x^3 + (2c − 1)x^2 + x + e sejam iguais.
Solução: Para que seja p(x) = q(x), devemos ter:
a = 2,
0 = b − 3 ⇒ b = 3,
5 = 2c − 1 ⇒ 2 c = 6 ⇒ c = 3,
d = 1,
e = −b ⇒ e = − 3.
Logo, a = 2, b = 3, c = 3, d = 1 e e = − 3.
3.1 Derivada de uma função polinomial
De nição 1.5 Considere uma função polinomial f (x) e um número real α.O valor numérico da função polinomial f (x) para x = α é o valor que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos necessários. Indica-se por f (α). Então, f (α) é o valor numérico de f (x) para x = α. Assim, de modo geral, dado o polinômio
f (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0
o valor de f (x) para x = α é
f (α) = anαn^ + an− 1 αn−^1 + · · · + a 1 α + a 0.
Exemplo: O valor numérico de p(x) = 2x^2 − 3 x + 5 para x = 4 é
p(4) = 2(4)^2 − 3(4) + 5 = 32 − 12 + 5 = 25.
Observação: Se f (α) = 0, o número α é denominado raiz de f (x). Por exemplo, na função f (x) = x^2 − 6 x+8, temos f (2) = 0. Logo, 2 é raiz dessa função polinomial.
Grá cos de funções polinomiais
Os grá cos de funções polinomiais são estudados desde o 9o^ ano do ensino fun- damental, apresentando diversas aplicações na Física, na Química e na Estatística. Por exemplo, em Cinemática o movimento retilíneo uniforme (MRU) tem a posição
1.1. POLINÔMIO EM UMA VARIÁVEL
Função a m.
Seja f (x) : R → R uma função polinomial de nida por f (x) = ax + b com a 6 = 0 conhecida como função a m. Ela será crescente se a > 0 e decrescente se a < 0 , o seu grá co é uma linha reta inclinada ao eixo horizontal. De modo análogo à função constante, basta calcular dois pontos distintos da reta de coordenadas (x, f (x)) e traçar a linha reta que passa por esses pontos.
Exemplo: Esboce o grá co da função a m f (x) = 2x − 4.
Solução: Como a = 2 > 0 , a função é crescente. Escolhendo arbitrariamente x = 0 e x = 4 obtemos f (0) = − 4 e f (4) = 4. Logo, temos os pontos P 1 = (0, −4) e P 2 = (4, 4), por onde vamos traçar nossa linha reta. Ver gura 1.2.
Figura 1.2: Grá co da função a m f (x) = 2x − 4.
Função quadrática.
Seja f (x) : R → R uma função polinomial de nida por f (x) = ax^2 + bx + c, com a 6 = 0, conhecida como função quadrática. O seu grá co é uma parábola com concavidade para cima se a > 0 e, para baixo se a < 0. Possui um ponto especial
chamado de vértice de coordenadas V =
b 2 a
b^2 − 4 ac 4 a
. Marcando o vértice, e
alguns pontinhos de coordenadas (x, f (x)) no plano cartesiano, podemos traçar por
1.1. POLINÔMIO EM UMA VARIÁVEL
eles o grá co da função.
Exemplo: Esboce o grá co da função quadrática f (x) = x^2 − 6 x + 5.
Solução: As coordenadas do vértice são V =
b 2 a
b^2 − 4 ac 4 a
= (3, −4). Como
a = 1 > 0 a concavidade da parábola é para cima. Calculemos alguns pontos de coordenadas (x, f (x)). Para x = 1 ⇒ f (1) = 0; para x = 2 ⇒ f (2) = 3; para x = 4 ⇒ f (4) = 3 e para x = 5 ⇒ f (5) = 0. Marcando o vértice e esses pontos no plano cartesiano, podemos traçar, por eles, o grá co da função. Ver Figura 1.3.
Figura 1.3: Grá co da função quadrática f (x) = x^2 − 6 x + 5.
1.1.2 Operações com polinômios
Adição de polinômios
De nição 1.6 A adição de dois polinômios é feita somando os termos de mesmo expoente.
1.1. POLINÔMIO EM UMA VARIÁVEL
Exemplos:
- Sendo p(x) = 3x^2 e q(x) = x^2 − 3 x + 2, calcule p(x) · q(x).
Solução: Multiplicando termo a termo, temos:
p(x) · q(x) = (3x^2 )(x^2 − 3 x + 2) = 2 · 3 x^2 − 3 x · 3 x^2 + x^2 · 3 x^2 = 6x^2 − 9 x^3 + 3x^4.
- Dados os polinômios p(x) = 3x − 4 e q(x) = − 2 x + 5, calcule p(x) · q(x).
Solução: Multiplicando termo a termo, temos:
p(x) · q(x) = (3x − 4)(− 2 x + 5) = −20 + 15x + 8x − 6 x^2 = −20 + 23x − 6 x^2.
1.1.3 Produto notáveis e fatoração
No próximo capítulo, trabalharemos a equação polinomial do segundo grau, onde discutiremos a sua resolução por completamento de quadrados ou por fatoração, quando for o caso. Também usaremos produtos notáveis em outras demonstrações.
Produtos notáveis
São produtos que aparecem com muita frequência na resolução de equações e no desenvolvimento de expressões algébricas:
- Quadrado da soma de dois termos:
(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 +ab+ba+b^2 = a^2 +2ab+b^2 ⇒ (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2.
- Quadrado da diferença de dois termos:
(a−b)^2 = (a−b)(a−b) = a^2 −ab−ba+b^2 = a^2 − 2 ab+b^2 ⇒ (a−b)^2 = a^2 − 2 ab+b^2.
- Produto da soma pela diferença de dois termos:
(a + b)(a − b) = a^2 − ab + ba + b^2 = a^2 − b^2 ⇒ (a + b)(a − b) = a^2 − b^2.
- Cubo da soma de dois termos :
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3.
1.1. POLINÔMIO EM UMA VARIÁVEL
- Cubo da diferença de dois termos:
(a − b)^3 = a^3 − 3 a^2 b + 3ab^2 − b^3.
(a + b)(a^2 − ab + b^2 ) = a^3 + b^3.
(a − b)(a^2 + ab + b^2 ) = a^3 − b^3.
Observação: Caso seja necessário calcular o produto de um binômio de potência maior que 3, podemos usar o famoso binômio de Newton
(a + b)n^ =
∑^ n
k=
(nk ) an−kbk
com k, n ∈ N.
Fatoração de polinômios:
A fatoração de polinômios é de grande utilidade na resolução de equações polino- miais, facilitando a simpli cação de expressões algébricas, por exemplo, no cálculo de limites.
Veremos agora alguns casos:
- Fatoração por fator comum: Deve-se observar se todos o termos do polinô- mio apresentam um fator em comum. Em caso a rmativo devemos colocá-lo em evidência. Por exemplo.
4 x^3 − 8 x^2 + 16x = 4x(x^2 − 2 x + 4).
- Fatoração por agrupamento: Deve-se aplicar a fatoração por fator comum mais de uma vez. Veja o exemplo:
2 x^3 + 4x^2 − 6 x − 12 = 2x^2 (x + 2) − 6(x + 2) = (x + 2)(2x^2 − 6).
- Fatoração de um trinômio quadrado perfeito:
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
