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Equações e inequações
Antes de ler o capítulo O texto a seguir supõe que o lei- tor domine o conteúdo do Capí- tulo 1. Também se exige habi- lidade para trabalhar com vá- rias unidades de comprimento, massa e volume.
O propósito desse capítulo é discutir como descrever um problema prático em lingua- gem matemática, e como resolvê-lo usando equações, inequações e a regra de três. Trataremos aqui dos tipos básicos de equações e inequações – lineares, quadráticas, racionais, irracionais e modulares –, deixando os casos mais complexos para os próxi- mos capítulos. Apesar de, em muitas seções, detalharmos os métodos de resolução de equações e inequações, o leitor deve ter claro que o processo de conversão de um texto escrito em um modelo matemático, também conhecido como modelagem , é o ponto mais importante de todo o livro. Aprendendo a usá-lo, o leitor verá os problemas cotidianos com outros olhos, e conseguirá enfrentá-los com maior facilidade.
2.1 Equações
Uma equação é uma declaração de que duas expressões são iguais. Essa igualdade é representada pelo símbolo “=”. Assim, se sabemos que a expressão A é igual à expressão B , escrevemos A = B.
São exemplos de equações:
a)
12 y 18
2 y 3
b) S x S =
x^2 ;
c) 3 x − 2 = 10 ;
d) x^2 + 2 x − 15 = 0.
A primeira dessas equações afirma que as frações 1218 y e 23 y são equivalentes. Já a equação (b) fornece a definição de módulo a partir da raiz quadrada. Em ambos os casos, temos equações que são sempre válidas, não dependendo do valor das variáveis que nelas aparecem. Quando isso acontece, a equação recebe o nome de identidade. Nessa seção, abordaremos as equações que não são identidades, ou seja, nos de- dicaremos às equações que só são válidas para alguns valores reais (ou mesmo para nenhum valor), como os exemplos (c) e (d). Em equações desse tipo, o termo cujo valor é desconhecido é chamado incógnita , ou simplesmente variável. Nos exemplos (c) e (d), a incógnita é representada pela letra x. Quando escrevemos equações com incógnitas, nosso objetivo é resolver a equação, o que significa que queremos encontrar os valores da variável que fazem com que a equação seja válida. Tais valores são chamados raízes ou soluções da equação. Uma solução da equação do item (c) é x = 4. De fato, essa é a única solução do problema, já que 4 é único valor de x para o qual a equação é válida. Por sua vez, a equação do item (d) possui duas soluções, x = − 5 e x = 3. Para comprovar, por exemplo, que − 5 é uma raiz de x^2 + 2 x − 15 = 0 , devemos substituir esse valor na equação:
108 Capítulo 2. Equações e inequações
x^2 + 2 x − 15 = 0 Equação original.
(− 5 )^2 + 2 ⋅ (− 5 ) − 15 = 0 Substituição de x por − 5 na equação.
25 − 10 − 15 = 0 Cálculo da expressão.
0 = 0 Ok! A equação foi satisfeita.
∎ Solução de equações
Duas equações que possuem exatamente as mesmas soluções são chamadas equiva- lentes. Assim, as equações
4 x + 6 = 26 e 3 x − 4 = 11
são equivalentes, pois x = 5 é a única solução de ambas. A forma mais comumente usada para resolver uma equação consiste em escrever uma sequência de equações equivalentes até que a variável fique isolada , ou seja, apareça sozinha em um dos lados da igualdade. No caso do exemplo (c) apresentado acima, podemos escrever as seguintes equações equivalentes:
3 x − 2 = 10 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x =
⇒ x = 4_._
A obtenção de equações equivalentes, como nesse exemplo, é feita com base em certas propriedades, as quais apresentamos a seguir.
O item 3 decorre diretamente da defi- nição de igualdade, não constituindo, de fato, uma propriedade das equa- ções. Esse item foi incluído na tabela por ser usado na resolução de proble- mas.
Propriedades das equações
Sejam dadas as expressões A , B e C.
Propriedade Exemplo
1. Se A = B , então A + C = B + C Se x − 2 = 5 , então x − 2 + 2 = 5 + 2 2. Se A = B e C ≠ 0 , então CA = CB Se 3 x = 12 , então 13 ⋅ 3 x = 13 ⋅ 12. 3. Se A = B , então B = A Se 21 = 7 x , então 7 x = 21.
Vimos no Capítulo 1 que a subtração A − C é equivalente à soma A + (− C ). Sendo assim, a Propriedade 1 implica que
Se A = B , então A − C = B − C.
De forma análoga, dividir uma expressão por C corresponde a multiplicá-la por 1 Observe que, no exemplo da Proprie- C. Logo, a Propriedade 2 também implica que dade 2 da tabela, poderíamos ter es- crito simplesmente 33 x = 123. (^) Se A = B e C ≠ 0 , então (^) CA = BC.
Exemplo 1. Resolução de uma equação
Vamos resolver a equação 12 x − 26 = 34_._
aplicando as propriedades apresentadas acima até conseguirmos isolar a variável x. Naturalmente, não há uma forma única de se obter uma equação equivalente a outra. Assim, devemos usar uma certa dose de bom senso para que a aplicação das propriedades gere, a cada passo, uma equação mais simples que a anterior.
110 Capítulo 2. Equações e inequações
b) 42 = 9 x + 36 Equação original.
42 − 36 = 9 x + 36 − 36 Propriedade 1.
6 = 9 x Termo sem x = termo com x.
6 9
9 x 9
Propriedade 2.
2 3
= x Equação simplificada.
x =
Propriedade 3.
c) 8 x − 25 = 5 + 2 x Equação original.
8 x − 2 x − 25 = 5 + 2 x − 2 x Propriedade 1.
6 x − 25 = 5 Variável x só do lado esquerdo.
6 x − 25 + 25 = 5 + 25 Propriedade 1.
6 x = 30 Termo com x = termo sem x.
6 x 6
Propriedade 2.
x = 5 Solução da equação.
d) 3 ( x + 2 ) = 5 x − 12 Equação original.
3 x + 6 = 5 x − 12 Propriedade distributiva.
3 x − 3 x + 6 = 5 x − 3 x − 12 Propriedade 1.
6 = 2 x − 12 Variável x só do lado direito.
6 + 12 = 2 x − 12 + 12 Propriedade 1.
18 = 2 x Termo sem x = termo com x.
18 2
2 x 2
Propriedade 2.
9 = x Equação simplificada.
x = 9 Propriedade 3.
Seção 2.1. Equações 111
e) x 4
3 x 2
x 4
3 x 2
3 x 2
3 x 2
x 4
3 x 2
- 11 = 15 Variável x só do lado esquerdo.
x − 6 x 4
- 11 = 15 Subtração de frações.
5 x 4
- 11 = 15 Equação simplificada.
5 x 4
- 11 − 11 = 15 − 11 Propriedade 1.
5 x 4
= 4 Termo com x = termo sem x.
5 x 4
⋅ 4 Propriedade 2.
x = −
Solução da equação.
As estratégias usadas para resolver f) essas equações não são as únicas pos- síveis. Assim o leitor não deve se preocupar se seguir outros caminhos, desde que aplique corretamente as propriedades apresentadas.
4 x − 2 3
2 x − 3 4
5 − x 6
− 2 Equação original.
4 x − 2 3
2 x − 3 4
5 − x 6
Propriedade 2, usando o mmc dos denominadores.
4 ( 4 x − 2 ) + 3 ( 2 x − 3 ) = 2 ( 5 − x ) − 24 Equação simplificada.
16 x − 8 + 6 x − 9 = 10 − 2 x − 24 Propriedade distributiva.
22 x − 17 = − 14 − 2 x Equação simplificada.
22 x + 2 x − 17 = − 14 − 2 x + 2 x Propriedade 1.
24 x − 17 = − 14 Variável x só do lado esquerdo.
24 x − 17 + 17 = − 14 + 17 Propriedade 1.
24 x = 3 Termo com x = termo sem x.
24 x 24
Propriedade 2.
x =
Solução da equação.
Agora, tente o Exercício 7.
Ao terminar de resolver uma equação, é conveniente conferir se o valor encontrado é realmente uma solução, ou seja, se não ocorreu um erro de conta. Para o problema (d) acima, por exemplo, calculamos
3 ( x + 2 ) = 5 x − 12 ⇒ 3 ( 9 + 2 ) = 5 ⋅ 9 − 12 ⇒ 33 = 33 Verdadeiro!
Seção 2.1. Equações 113
se quer eliminar um termo do denominador, é costume “passá-lo para o outro lado, no numerador”. Veja os exemplos.
8 x = 32
x = 32 ~ 8
x = 4
x ~ 10 = 9
x = 9 ⋅ 10
x = 90
Essas regras correspondem à segunda propriedade, segundo a qual podemos multiplicar ou dividir os dois lados da equação pelo mesmo valor:
8 x = 32
8 x 8
x = 4
x 10
x 10
x = 90
Um dos erros mais comuns na aplicação dessa regra é a passagem de um termo que está multiplicando apenas uma parte da expressão:
Errado
2 x + 14 = 36
x + 14 = 36 ~ 2
x + 14 = 18
x = 18 − 14
x = 4
Certo
2 x + 14 = 36
2 x + 14 − 14 = 36 − 14
2 x = 22
2 x 2
x = 11
Outro erro frequente é a passagem de um termo com o sinal trocado:
Errado
7 x = − 42
x = − 42 ~(− 7 )
x = 6
Certo
7 x = − 42
7 x 7
x = − 6
Exercícios 2.
1. Verifique se 35 é uma raiz da equação 52 x + 56 x = 2. 2. Verifique se 5 é uma solução de 4 x − 11 = 2 ( x − 3 ) + 5_._ 3. Verifique se 4 é uma solução de 3 ( x − 2 ) + 5 ( 2 x − 1 ) = 7 ( 3 − x ). 4. Verifique se 3 e 2 são soluções da equação x^2 − 7 x + 12 = 0. 5. Verifique se − 4 e 23 são raízes da equação 3 x^2 + 10 x − 8 = 0. 6. Resolva as equações. a) x − 35 = 155 b) y + 22 = 42 c) y + 42 = 22 d) 2 x − 3 = 25 e) − 3 x + 2 = − 7
114 Capítulo 2. Equações e inequações
f) 35 x = − (^49) g) x − 23 = (^16) h) a 2 − 5 = 2 i) a − 2 5 = 2 j) 3 ( x − 4 ) + 8 = 5 k) 11 = 36 − 5 ( 1 − x ) l) − 23 = 7 − 6 ( x − 10 )
7. Resolva as equações. a) x + 12 = 2 x − 5 b) 3 y + 4 = − 9 y + 14 c) 2 ( x − 3 ) = 4 ( 2 x + 1 ) d) x − x ~ 6 = − 3 e) 3 , 5 x + 2 = 2 , 9 x − 1 f) 2 ( x − 5 ) + 5 x = 2 + 3 ( 4 − 3 x ) g) 3 − 3 ( x − 2 ) = 2 x − ( x − 4 ) h) 5 ( z + 1 ) − 2 ( 3 z + 1 ) = 4 ( 5 − z ) i) 2 ( y − 4 ) = 2 − 3 ( y − 5 ) + 10 ( 1 − 3 y ) j) 4 a 3 − 2 = 5 ( a 2 +^3 )
k) 32 x + 2 = 3 x − 2 l) 83 x − 5 = 52 x − 7 m) 2 x 4 − 3 + x − 21 = 5 − 2 x n) x + 3 2 − 4 − 25 x = 3 x 4 − 5 + (^13) o) 4 x 3 − 5 − 7 − 23 x = 5 − 6 x + 3
8. Transforme os problemas em equações e os resolva. a) Qual é o número que, somado a 34 , resulta em 12? b) Por quanto devemos multiplicar 23 para obter 54? c) Dividindo um número por 2 e somando o resultado a 5, obtemos 8. Que número é esse? d) Somando o dobro de um número ao seu triplo, ob- temos 125. Que número é esse? e) Qual é o número que, somado à sua quarta parte, fornece 15? f) Somando a metade de um número à terça parte desse mesmo número, obtemos 30. Qual é esse nú- mero?
Respostas dos Exercícios 2.
1. Sim 2. Sim 3. Não 4. O número 3 é solução. Já 2 não é solução. 5. Os dois valores são solução. 6. a) x = 190 b) y = 20 c) y = − 20 d) x = 14 e) x = 3 f) x = − (^2027)
g) x = (^56) h) a = 14 i) a = 9 j) x = 3 k) x = − 4 l) x = 15
7. a) x = 17 b) y = (^56) c) x = − (^53) d) x = − (^185) e) x = − 5 f) x = (^32) g) x = (^54) h) z = (^173)
i) y = 1 j) a = − 7 k) x = (^83) l) x = − 12 m) x = (^52) n) x = (^15) o) x = 3
8. a) x + 34 = 12 x = − (^14) b) 23 x = 54 x = (^158)
c) x 2 + 5 = 8 x = 6 d) 2 x + 3 x = 125 x = 25 e) x + x 4 = 15 x = 12 f) x 2 + x 3 = 30 x = 36
2.2 Proporções e a regra de três
Pretendendo comprar 2 kg de contrafilé, Lídice entrou no açougue Boi Bom e descobriu que o um quilo da peça custava R$ 13,50. Nesse caso, quanto Lídice pagou pelos 2 kg? Tabela 2.1: Preço do contrafilé.
Peso Preço (kg) (R$) 1 13, 2 27, 3 40, 4 54, 5 67,
A resposta para essa pergunta é simples: se um quilo custava R$ 13,50, então os 2 kg custaram o dobro, isto é, 2 × 13 , 50 = R$ 27 , 00. Efetuamos cálculos desse tipo tão corriqueiramente que nem nos damos conta de que eles envolvem um conceito matemático muito importante e útil: a proporcionalidade. Observando a Tabela 2.1, é possível perceber que a razão entre o preço e o peso do contrafilé é constante, ou seja,
R$ 13 , 50 1 kg
R$ 27 , 00
2 kg
R$ 40 , 50
3 kg
R$ 54 , 00
4 kg
R$ 67 , 50
5 kg
Quando duas razões, escritas de forma diferente, são iguais, ou seja, correspondem ao mesmo número real, dizemos que são proporcionais. Assim, as razões 272 e 675 ,^5 são proporcionais.
116 Capítulo 2. Equações e inequações
Exemplo 2. Densidade do óleo de soja
A Tabela 2.3 fornece a massa aproximada (em quilogramas) de diversos volumes O termo “massa” corresponde ao de óleo de soja (em litros), à temperatura de 25 ○ C. que, no dia a dia, chamamos (erro- neamente) de “peso”. Tabela 2.3: Volume e massa do óleo de soja.
Volume ( ` ) 0,2 0,4 0,6 0,8 1, Massa (kg) 0,184 0,328 0,552 0,736 0,
Calculando a razão (^) volume massa para cada um dos volumes apresentados na tabela, obtemos
0 , 184 kg 0 , 2 `
0 , 328 kg 0 , 4 `
0 , 552 kg 0 , 6 `
0 , 736 kg 0 , 8 `
0 , 920 kg 1 , 0 `
= 0 , 920 kg~ `.
Como essa razão é constante e o peso aumenta com o volume, podemos dizer que as duas grandezas são diretamente proporcionais. De fato, a razão entre massa e volume é tão usada em diversas áreas da ciência, que damos a ela o nome especial de densidade. Assim, a densidade do óleo de soja é igual a 0 , 920 kg~ `.
∎ Grandezas inversamente proporcionais
Em vários problemas práticos, apesar de haver relação entre duas grandezas, o au- mento de uma provoca a redução da outra. Nesse caso, dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais , como ocorre no exemplo abaixo.
Exemplo 3. Construção de uma cerca
O tempo gasto para cercar o pasto da fazenda de Geraldo depende do número de pessoas envolvidas na construção da cerca. A Tabela 2.4 fornece a relação entre o número de trabalhadores e o tempo gasto, segundo o levantamento feito por Geraldo.
Tabela 2.4: Tempo de construção em relação ao número de trabalhadores.
Trabalhadores 1 2 3 4 6 Tempo (dias) 36 18 12 9 6
Nesse caso, constatamos que
a) o tempo necessário à construção da cerca diminui à medida que o número de trabalhadores aumenta;
b) dividindo o tempo gasto pelo inverso do número de trabalhadores, obtemos um valor constante: 36 1 1
1 2
1 3
1 4
1 6
O quadro abaixo resume a ideia.
Seção 2.2. Proporções e a regra de três 117
Grandezas inversamente proporcionais
Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando
a) ao aumentarmos uma, a outra diminui;
b) a razão entre uma e o inverso da outra é constante, ou seja, dadas as medidas a, a ′ , a ′′ , a ′′′ ,... da primeira grandeza e as medidas b,b ′ ,b ′′ ,b ′′′ ,... da segunda grandeza, temos
a 1 b
a ′ 1 b ′
a ′′ 1 b ′′
a ′′′ 1 b ′′′
A condição (b) pode ser reescrita de forma bem mais simples como
a ⋅ b = a ′^ ⋅ b ′^ = a ′′^ ⋅ b ′′^ = a ′′′^ ⋅ b ′′′.
Aplicando o último comentário do quadro acima ao exemplo da cerca de Geraldo, podemos dizer que o produto entre o tempo e o número de trabalhadores é constante, ou seja,
Lembre-se de que, conforme vimos na Seção 1.3,
a 1 b
= a ⋅ b 1
= a ⋅ b.
Para grandezas inversamente proporcionais, a constante de proporcionalidade é dada por k = a 1 b = a ⋅ b. Logo, no caso de Geraldo, temos k = 36 dias ⋅ pessoa.
Exemplo 4. Lei de Boyle
Vários balões de volumes diferentes foram preenchidos com a mesma massa de um certo gás, mantido à temperatura constante. A Tabela 2.5 fornece a relação entre a pressão e o volume do gás.
Tabela 2.5: Volume e pressão de um gás, a uma temperatura constante.
Volume ( ` ) 2 3 4 5 Pressão (atm) 3,0 2,0 1,5 1,
Nesse exemplo, está claro que
a) a pressão diminui à medida que o volume aumenta;
b) o produto do volume pela pressão é constante:
2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 4 ⋅ 1 , 5 = 5 ⋅ 1 , 2 = 6_._
Logo, a uma temperatura constante, a pressão do gás é inversamente proporcional ao volume que ele ocupa. Essa propriedade dos gases é conhecida como Lei de Boyle , em homenagem ao cientista inglês Robert Boyle, que a observou no século 17. Para a massa de gás desse exemplo, a constante de proporcionalidade é k = 6 atm⋅ `.
∎ Regra de três para grandezas diretamente proporcionais
Em muitas situações práticas, sabemos que há proporcionalidade entre as grandezas envolvidas, mas uma dessas grandezas é desconhecida. Nesse caso, para resolver o problema, recorremos a um método denominado regra de três.
Seção 2.2. Proporções e a regra de três 119
o que nos leva à equação equivalente
ad = cb.
Essa equação pode ser obtida diretamente multiplicando-se o numerador de cada fração pelo denominador da outra, e igualando-se os resultados. Essa técnica, conhe- cida como produto cruzado , é ilustrada abaixo. a b
c d
⇒ ad = cb.
O produto cruzado é um processo prático de simplificação de equações nas quais cada lado da igualdade é escrito como uma única fração. Doravante, usaremos essa estratégia para resolver problemas que envolvem a regra de três.
Problema 6. Alimentação de peixes
João possui vários tanques de criação de peixes. O tanque de tilápias adultas, por exemplo, tinha, no mês passado, 250 peixes, que consumiam 70 kg de ração por dia. Sabendo que, nesse mês, o mesmo tanque tem 350 peixes, determine o consumo diário atual de ração para tilápias.
Solução.
A incógnita desse problema, x , corresponde à quantidade de ração (em kg) gasta por dia para alimentar as tilápias adultas. Supondo que as tilápias tenham peso parecido e, portanto, consumam quantidades semelhantes de ração, podemos considerar que a quantidade de ração gasta é dire- tamente proporcional ao número de peixes no tanque. Os dados do problema estão resumidos na Tabela 2.7. Com base nos dados da tabela, montamos a equação Tabela 2.7: Peixes × ração
Número de Ração peixes (kg)
250 70 350 x
250 peixes 70 kg
350 peixes x kg
Aplicando, agora, o produto cruzado, obtemos
250 x = 350 ⋅ 70 ⇒ 250 x = 24500 ,
donde x =
Logo, o consumo de ração de tilápias subiu para 98 kg por dia.
Problema 7. Compra de fio por metro
Uma loja de material elétrico vende fios por metro. Em uma visita recente à loja, Manoel pagou R$ 62,00 por 40 m de fio com 4 mm de diâmetro. Agora, ele precisa de mais 18 m do mesmo fio para efetuar outra instalação. Quanto Manoel irá desembolsar dessa vez?
Solução.
Nesse problema, x representa o preço de 18 m de fio. A Tabela 2.8 reúne as informações disponíveis. Da tabela, concluímos que
Tabela 2.8: Comprim. × preço
Comprimento Preço (m) (R$)
40 62 18 x
62 reais 40 m
x reais 18 m
O produto cruzado fornece 62 ⋅ 18 = 40 x.
120 Capítulo 2. Equações e inequações
Desse modo, 18 m de fio saem por
x =
= R$ 27 , 90.
Se analisarmos o problema acima tomando especial cuidado com as unidades, veremos que x =
R$ 62 ⋅ 18 m 40 m
Essa equação também pode ser escrita na forma
x =
R$ 62
40 m ´¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¶ custo por metro
⋅ 18 m. ² comprimento do fio
Logo, o custo de 18 metros de fio pode ser obtido em duas etapas:
a) Calculamos o custo por metro de fio:
R$ 62 40 m
= R$ 1 , 55 ~m_._
Note que, nesse caso, também opera- b) Calculamos o custo de 18 metros de fio: mos com as unidades, ou seja, faze- mos R$ m ⋅ m = R$.
R$ 1 , 55 ~m ⋅ 18 m = R$ 27 , 90_._
Esse procedimento pode ser aplicado a qualquer problema envolvendo a regra de três, como mostrado no exemplo abaixo.
Problema 8. Pagamento parcial de uma conta
Passei a receber o sinal de TV a cabo em minha casa no dia 19 do mês passado. Se a empresa que fornece o sinal cobra R$ 80,00 de mensalidade, começando a contagem no dia 1 de cada mês, qual deve ser o valor do meu primeiro pagamento?
Solução.
Vamos supor, como é comum em situações que envolvem pagamento mensal, que Note que o período que vai do dia um mês tenha 30 dias. Nesse caso, x é o valor a ser pago por 12 dias serviço. 19 ao dia 30 de um mês compreende 30 − 18 = 12 dias.
Para resolver esse problema, usaremos o método apresentado acima, que consiste nos seguintes passos:
- Cálculo dos custo por dia: Se o sinal da TV custa R$ 80,00 por mês, então o custo diário é igual a R$ 80 30 dias
≈ R$ 2 , 667 ~dia_._
Mais uma vez, operamos com as uni- 2. Cálculo do custo por 12 dias: dades, fazendo
R$ dia ⋅ dia = R$.
x = R$ 2 , 667 ~dia ⋅ 12 dias ≈ R$ 32 , 00_._
Agora, tente resolver esse problema usando a regra de três tradicional, para com- provar que o resultado é o mesmo.
122 Capítulo 2. Equações e inequações
constante de proporcionalidade é definida por um produto, e não por uma razão, como veremos nos exemplos a seguir.
Problema 10. Administração da produção
Para atender as encomendas de natal que recebeu, uma indústria com 48 operários gastaria 42 dias. Entretanto, o prazo de entrega das encomendas se encerra em 28 dias. Se a empresa puder contratar trabalhadores avulsos, quantos devem ser chamados para que seja possível terminar essa empreitada dentro do prazo?
Solução.
Tabela 2.10: Trab. × tempo
Empregados Tempo (d)
48 42 x 28
O tempo gasto para atender as encomendas da indústria é inversamente propor- cional ao número de operários, o que significa que, quanto maior for o número de trabalhadores, menor será o tempo gasto na produção. Na Tabela 2.10, essa relação inversa é indicada pelas setas que apontam em dire- ções opostas. A variável x representa o número total de operários que participarão da produção, incluindo os trabalhadores avulsos. Observe que, para determinar o número de trabalhadores avulsos que a empresa deve contratar, vamos supor que a produtividade dos novos trabalhadores seja igual à dos funcionários atuais da empresa. Como as grandezas são inversamente proporcionais, o número de trabalhadores é proporcional ao inverso do tempo gasto na produção, de modo que a equação associada ao problema é 48 1 42
x 1 28
Como vimos anteriormente, essa equação também pode ser escrita na forma de pro- Lembre-se de que, quando as grande- duto como zas são inversamente proporcionais, a constante de proporcionalidade k é dada pelo produto. Assim, nesse exemplo, temos
k = 48 empregados ⋅ 42 dias_._
48 ⋅ 42 = 28 x, donde x =
Assim, a empresa deve contratar 72 − 48 = 24 trabalhadores temporários.
Problema 11. Assentamento de azulejos
Uma equipe de dois pedreiros assenta todos os azulejos de uma cozinha em 7 horas e meia. Se a equipe contasse com cinco pessoas, quanto tempo seria gasto para assentar o mesmo número de azulejos?
Solução.
Para resolver esse problema, vamos supor que todos os pedreiros sejam igualmente eficientes no assentamento de azulejos. Nesse caso, chamando de x o tempo gasto pela equipe de cinco pessoas, podemos montar a Tabela 2.11. Tabela 2.11: Pedreiros × tempo
Pedreiros Tempo (h)
2 7, 5 x
Observando que o número de pedreiros é inversamente proporcional ao tempo gasto, vamos escrever a regra de três usando o produto:
2 ⋅ 7 , 5 = 5 x.
Logo, x =
= 3 horas_._
Será que, mesmo quando lidamos com grandezas inversamente proporcionais, é possível reescrever a regra de três usando o custo unitário? É claro que sim. Para ver
Seção 2.2. Proporções e a regra de três 123
como isso é feito, vamos revisitar o Problema 11 acima, prestando muita atenção nas unidades envolvidas. Incluindo as unidades na equação da regra de três, obtemos
2 pedreiros ⋅ 7 , 5 horas = 5 pedreiros ⋅ x horas_._
Isolando x nessa equação, descobrimos que o número de horas de trabalho quando temos 5 pedreiros é igual a
x =
tempo gasto por um pedreiro ³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹μ 2 pedreiros ⋅ 7 , 5 horas 5 pedreiros ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ Número de pedreiros
Ou seja, para descobrirmos quanto tempo cada pedreiro irá trabalhar, devemos efetuar duas etapas:
O passo (a) corresponde ao cálculo a) Calcular o tempo gasto por um pedreiro, caso estivesse trabalhando sozinho: Se do “custo unitário”, ou seja, da cons- tante de proporcionalidade do pro- blema. Nesse exemplo, essa cons- tante corresponde a 15 h ⋅ pedreiro.
dois pedreiros gastam 7,5 h cada um, então um pedreiro, sozinho, teria que fazer o trabalho de dois, gastando 2 ⋅ 7 , 5 = 15 h_._
b) Dividir o valor encontrado pelo número de pedreiros disponíveis: Se um pedreiro gastaria 15 h para efetuar o serviço, cinco pedreiros gastarão 15 5
= 3 h_._
Tentemos resolver mais um problema prático usando essa ideia.
Problema 12. Água na piscina
Quando três registros iguais são abertos, uma piscina é enchida em 21 horas. Se apenas dois registros forem abertos, quanto tempo será gasto para encher a piscina?
Solução.
Como os registros são iguais, podemos supor que a vazão através deles é a mesma, ou seja, que a quantidade de água que passa a cada segundo pelos registros é a mesma. Nesse caso, o tempo necessário para o enchimento da piscina é inversamente proporcional ao número de registros abertos, como indica a Tabela 2.12. Tabela 2.12: Registros × tempo
Registros Tempo (horas)
3 21 2 x
Usando a regra de três tradicional
A partir da tabela, podemos escrever
3 ⋅ 21 = 2 x.
Desse modo, x =
= 31 , 5 horas_._
Usando a regra de três com o cálculo do “custo unitário”
Tentemos, agora, obter a mesma solução usando a estratégia em duas etapas apresentada acima.
a) Tempo gasto se há um único registro aberto: Quando três registros são abertos, a piscina é enchida em 21 h. Por outro lado, se apenas um registro estiver aberto, ele terá que fazer o trabalho dos três, gastando
3 ⋅ 21 = 63 h_._
Seção 2.2. Proporções e a regra de três 125
Exercícios 2.
1. Em uma loja de materiais de construção, o preço da pia de granito (com 0,55 m de largura) é diretamente proporcional ao comprimento da peça. Se uma pia com 1,5 m de comprimento custa R$ 330,00, quanto custará uma pia com 1,8 m? 2. Com 500 litros de leite se produz 23 kg de manteiga. Quantos quilos de manteiga será capaz de produzir uma cooperativa que possui 2700 litros de leite? 3. As 36 mulheres de uma empresa correspondem a 45% dos funcionários. Quantos empregados possui a em- presa? 4. Um copo de leite integral contém 248mg de cálcio, o que representa 31% do valor diário de cálcio recomendado. Qual é esse valor recomendado? 5. Se um litro de água do mar contém 35 g de sal, quantos litros de água do mar são necessários para a obtenção de 1 kg de sal? 6. Se uma torneira libera 78 litros de água em 5 minutos, quanto tempo será necessário para encher uma piscina plástica de 2300 litros? 7. Uma senhora consome duas caixas de reumatix a cada 45 dias. Quantas caixas ela consome por ano? Em quanto tempo ela consome 12 caixas? 8. No açougue do Zé, uma peça de 1,6 kg de lagarto custa R$ 19,20. Quanto Zé cobra por uma peça de 2,1 kg da mesma carne? 9. João gastou 8m30s para imprimir um texto de 180 pá- ginas em sua possante impressora. Quanto tempo ele gastaria para imprimir um texto de 342 páginas? 10. Um carro percorre os 500 km que separam Campinas e o Rio de Janeiro em 6 h 15 m. Mantendo a mesma velo- cidade, quanto tempo ele gastaria para ir de Campinas a Vitória, distantes 950 km? 11. O reservatório de Cachoeirinha está enfrentando um pe- ríodo de estiagem. Se a população mantiver o consumo atual de 150 litros por pessoa por dia, o reservatório estará seco em 160 dias. Qual deve se o consumo (em litros por pessoa por dia) para que a água do reserva- tório dure até o início do próximo período chuvoso, que começa em 200 dias? 12. Coloquei 50 litros de combustível no tanque de meu carro, gastando R$ 120,00. Quanto gastaria se colo- casse apenas 35 litros do mesmo combustível? 13. Quinze operários constroem uma casa em 6 meses. Em quanto tempo vinte operários seriam capazes de cons- truir a mesma casa? 14. Rodando a 60 km/h, um ônibus faz um percurso em 45 minutos. Em quanto tempo o ônibus faria o mesmo percurso trafegando a 80 km/h? 15. Uma embalagem de 900 g de um sabão em pós custa R$ 5,40. Quanto deve custar uma embalagem de 1,2 kg do mesmo sabão para que seja vantajoso comprá-la? 16. Uma equipe de 12 marceneiros fabrica um lote de ca- deiras em 10 dias. Se for preciso produzir o mesmo lote em 8 dias, quantos marceneiros deverão ser contra- tados (supondo que todos tenham o mesmo ritmo de trabalho)? 17. Um operário assentou 12 m^2 de piso em 8 h. Mantendo esse ritmo, em quanto tempo ele ainda gastará para terminar de assentar os 96 m^2 de piso da residência? 18. Usando um cano com vazão de 0,2 _ /s (litros por se- gundo), enchemos uma caixa d’água em 6 h. Se a vazão fosse aumentada para 0,5 _ /s, quanto tempo seria gasto para encher a caixa d’água? 19. Em um restaurante por quilo, um prato de 420 g custa R$ 5,25. Quanto custa um prato de 640 g nesse mesmo restaurante? 20. Navegando a 10 nós, uma barca atravessa uma baía em 20 minutos. Determine quanto tempo uma barca que navega a 16 nós gasta para fazer a mesma travessia. 21. Um professor corrige 50 provas em 70 minutos. Quanto tempo ele gasta para corrigir todas as 125 provas de seus alunos? 22. Em uma fazenda, 40 pessoas fazem a colheita de frutas em 8 dias. Se o número de pessoas aumentasse para 64, quanto tempo seria gasto na colheita das frutas? 23. Um fazendeiro pode transportar sua safra de grãos usando dois tipos de caminhões: um com 16 e outro com 24 toneladas de carga. Usando os caminhões de 16 toneladas, é preciso fazer 33 viagens. Quantas via- gens são necessárias quando se usa caminhões com 24 toneladas de capacidade? 24. Para produzir 120 blocos de cimento, uma fábrica con- some 420 kg de material. Quantos quilogramas seriam consumidos para produzir 1000 blocos? 25. Quando faz um churrasco em família, Abel compra 1,6 kg de carne. Hoje, Abel receberá três convidados, de modo que terá que fazer churrasco para 8 pessoas. Quantos quilogramas de carne ele deverá comprar? 26. Lendo 20 páginas por dia, Carla terminará um livro em 15 dias. Em quantos dias ela terminaria o mesmo livro se lesse 25 páginas por dia? 27. Para encher uma piscina infantil, Laís precisa transpor- tar 104 baldes com 2,5 litros de capacidade. Se usasse um balde de 4 litros, quantas vezes ela teria que trans- portar água da torneira à piscina? 28. Um caixa de banco gasta, em média, 5 minutos para atender 3 pessoas. Quanto tempo ele gastará para aten- der os 27 clientes que estão na fila?
126 Capítulo 2. Equações e inequações
29. Ezequiel gastou 2 horas para pintar 16 m^2 de um muro com 50 m^2. Mantendo esse ritmo, quanto tempo ele gastará para terminar de pintar o muro? 30. Dirigindo a 60 km/h, certo professor vai de casa à UNI- CAMP em 12 minutos. Em quanto tempo esse professor faz o mesmo percurso na hora do rush, trafegando a 42 km/h? 31. Em um treino para uma corrida, o piloto que ficou em primeiro lugar gastou 1 m 29,6 s para percorrer uma volta em uma pista, rodando a 236,7 km/h. Determine em quanto tempo o último colocado deu uma volta na pista, sabendo que ele dirigiu a uma velocidade média de 233,8 km/h. 32. Para pintar uma superfície de 25 m^2 de área, gasta-se 3,6 litros de tinta. Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 40 m^2? 33. Com uma equipe de 20 funcionários, uma empresa é ca- paz de atender uma encomenda de produtos natalinos em 48 dias. Se a empresa precisa reduzir o prazo de en- trega da encomenda para 32 dias, quantos funcionários deverão compor a equipe? 34. Em um dia normal de trabalho, uma colhedeira funci- ona por 8 horas e consome 360 litros de combustível. Se for necessário ampliar o turno de trabalho para 11 h, quanto combustível a colhedeira consumirá diaria- mente? 35. Um motorista viajou de Grumixama a Porangaba em 21 minutos, a uma velocidade média de 80 km/h. Na volta, o trânsito pesado fez com que a velocidade mé- dia baixasse para 64 km/h. Quanto tempo durou essa viagem de volta? 36. A luz viaja no vácuo a 300 mil km/s. Sabendo que a distância entre o Sol e a Terra é de, aproximadamente, 150 milhões de quilômetros, quantos minutos um raio de luz gasta para fazer essa travessia? 37. Segundo o censo do IBGE, em 2010, o Brasil tinha 147, milhões de pessoas com 10 anos ou mais que eram al- fabetizadas, o que correspondia a 91% da população nessa faixa etária. Determine o número de brasileiros com 10 anos ou mais em 2010. 38. Um relógio atrasa 5 segundos por semana. a) Quantos minutos ele atrasa por ano? b) Em quantos dias o atraso atinge um minuto? 39. Uma câmera tira fotos com 4896 pixels de largura por 3672 pixels de altura. Se quero imprimir uma fotografia com 15 cm de largura, que altura essa foto terá? 40. Um carro irá participar de uma corrida em que terá que percorrer 70 voltas em uma pista com 4,4 km de extensão. Como o carro tem um rendimento médio de 1,6 km/l e seu tanque só comporta 60 litros, o piloto terá que parar para reabastecer durante a corrida. a) Supondo que o carro iniciará a corrida com o tan- que cheio, quantas voltas completas ele poderá per- correr antes de parar para o primeiro reabasteci- mento?
b) Qual é o volume total de combustível que será gasto por esse carro na corrida?
41. Um carro bicombustível é capaz de percorrer 9 km com cada litro de álcool e 12,75 km com cada litro de ga- solina pura. Suponha que a distância percorrida com cada litro de combustível seja igual à soma das distân- cias relativas às quantidades de álcool e gasolina.
a) Quantos quilômetros esse carro consegue percorrer com cada litro de gasolina C (aquela que é vendida nos postos), que contém 80% de gasolina pura e 20% de álcool? b) Em um determinado posto, o litro da gasolina C custa R$ 2,40 e o do álcool custa R$1,35. Abastecendo-se nesse posto, qual combustível pro- porcionará o menor custo por quilômetro rodado? Justifique. c) Suponha que, ao chegar a um posto, o tanque do carro já contivesse 1/3 de seu volume preenchido com gasolina C e que seu proprietário tenha pre- enchido os 2/3 restantes com álcool. Se a capaci- dade do tanque é de 54 litros, quantos quilômetros o carro poderá percorrer com essa quantidade de combustível?
42. Fernanda está poupando para comprar um carro. A mãe de Fernanda decidiu ajudar, pagando 20% do valor do veículo. Entretanto, Fernanda ainda precisa juntar R$ 1.600,00, que correspondem a 8% da parcela que ela irá pagar, descontada a contribuição materna. Quanto custa o veículo? 43. Uma padaria de Campinas vendia pães por unidade, a um preço de R$ 0,20 por pãozinho de 50 g. Atualmente, a mesma padaria vende o pão por peso, cobrando R$ 4,50 por quilograma do produto.
a) Qual foi a variação percentual do preço do pãozi- nho provocada pela mudança de critério de cálculo do preço? b) Um consumidor comprou 14 pãezinhos de 50 g, pa- gando pelo peso, ao preço atual. Sabendo que os pãezinhos realmente tinham o peso previsto, cal- cule quantos reais o cliente gastou nessa compra.
44. A figura abaixo mostra um fragmento de mapa, em que se vê o trecho reto de estrada que liga as cidades de Pa- raguaçu e Piripiri. Os números apresentados no mapa representam as distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto de início da estrada (que não aparece na figura). Os traços perpendiculares à estrada estão igualmente espaçados de 1 cm.
